Operazioni aritmetiche con il calcolatore

Non è detto che i risultati delle operazioni tra numeri macchina siano ancora dei numeri macchina. Ci sono dei bit di guardia che permettono di rappresentare l'operazione in maniera quasi esatta, e poi si converte il risultato in numero macchina.

Somma

Per eseguire la somma algebrica $x\pm y$$x\pm y$:

1. rappresento $x$$x$ e $y$$y$ con i loro floating, cioè $\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)$$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)$
2. dopo aver sommato faccio il floating del risultato

cioè

$$x\pm y=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))$$

$$x\pm y=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))$$

L'errore relativo ${\frac {\mathrm {fl} (x)-x}{x}}=\varepsilon$${\frac {\mathrm {fl} (x)-x}{x}}=\varepsilon$, e si pone $\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon )$$\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon )$. $\varepsilon$$\varepsilon$ non un infinitesimo.

$$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y})=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))=(1+\varepsilon _{s})(x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y}))$$

$$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y})=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))=(1+\varepsilon _{s})(x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y}))$$

Al primo ordine, si ha

$$=x(1+\varepsilon _{x})\pm y(1+\varepsilon _{y})+(x\pm y)\varepsilon _{s}$$

$$=x(1+\varepsilon _{x})\pm y(1+\varepsilon _{y})+(x\pm y)\varepsilon _{s}$$

$$=(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x\pm y)\varepsilon _{s}$$

$$=(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x\pm y)\varepsilon _{s}$$

Considerando l'errore relativo al primo ordine:

$$E_{r}=|{\frac {\mathrm {fl} (x\pm y)-(x\pm y)}{x\pm y}}|=^{\circ }{\frac {|(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}-(x\pm y)|}{x\pm y}}$$

$$E_{r}=|{\frac {\mathrm {fl} (x\pm y)-(x\pm y)}{x\pm y}}|=^{\circ }{\frac {|(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}-(x\pm y)|}{x\pm y}}$$

$$=^{\circ }{\frac {x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}|}{x\pm y}}$$

$$=^{\circ }{\frac {x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}|}{x\pm y}}$$

$$=|{\frac {x}{x\pm y}}*\varepsilon _{x}\pm {\frac {y}{x\pm y}}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}|$$

$$=|{\frac {x}{x\pm y}}*\varepsilon _{x}\pm {\frac {y}{x\pm y}}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}|$$

$$\leq |{\frac {x}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{x}|\pm |{\frac {y}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{s}|$$

$$\leq |{\frac {x}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{x}|\pm |{\frac {y}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{s}|$$

e in base al teorema sulla round of unit

$$\leq u*({\frac {|x|}{|x\pm y|}}+{\frac {|y|}{|x\pm y|}}+1)$$

$$\leq u*({\frac {|x|}{|x\pm y|}}+{\frac {|y|}{|x\pm y|}}+1)$$

Distinguo due casi:

1. Se i due numeri hanno segno concorde, allora $x/|x+y|$$x/|x+y|$ e $y/|x+y|$$y/|x+y|$ sono frazioni proprie, e sono minori o uguali ad 1. Allora l'errore relativo è maggiorato al primo ordine da $3u=3*2^{-52}$$3u=3*2^{-52}$. L'operazione è "stabile", e non dipende dai dati.
2. Nel caso di segno discorde, l'errore dipende dai dati, e non è sempre "stabile", perché può capitare il fenomeno della cancellazione numerica.

Esempio 1.6

Supponiamo ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(10,5,-6,6)$${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(10,5,-6,6)$. Considero

$$x=0.123456,\,y=-0.123454$$

$$x=0.123456,\,y=-0.123454$$

$$\mathrm {fl} (x)=0.12346*10^{0}\,{\hbox{per eccesso}}$$

$$\mathrm {fl} (x)=0.12346*10^{0}\,{\hbox{per eccesso}}$$

$$\mathrm {fl} (y)=-0.12345*10^{0}\,{\hbox{tper difetto}}$$

$$\mathrm {fl} (y)=-0.12345*10^{0}\,{\hbox{tper difetto}}$$

In aritmetica esatta

$$x+y=0.2*10^{-5}$$

$$x+y=0.2*10^{-5}$$

Per il calcolatore

$$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=0.1*10^{-4}\in {\mathcal {F}}$$

$$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=0.1*10^{-4}\in {\mathcal {F}}$$

Non c'è nessuna cifra esatta.

$$e_{A}=0.8*10^{-5},\,e_{r}=4,\,e_{p}=400\%$$

$$e_{A}=0.8*10^{-5},\,e_{r}=4,\,e_{p}=400\%$$

La somma fra due numeri quasi uguali in valore assoluto e con segno opposto, si ha un errore molto elevato dovuto all'approssimazione. Questo fenomeno viene chiamato cancellazione numerica.

 

L'errore relativo totale è fatto al primo ordine da tre termini:

1. $\varepsilon _{s}$$\varepsilon _{s}$, errore locale generato nell'operazione;
2. errore relativo al dato $x$$x$ moltiplicato per un coefficiente $c_{x}$$c_{x}$, ed è ${\frac {x}{x\pm y}}$${\frac {x}{x\pm y}}$
3. errore relativo al dato $y$$y$, moltiplicato per $c_{y}$$c_{y}$

Allora $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y}$$\varepsilon _{x},\varepsilon _{y}$ danno l'errore di rappresentazione sui dati, mentre $c_{x},c_{y}$$c_{x},c_{y}$, detti coefficienti di amplificazione.

L'errore totale al primo ordine è

$$\varepsilon _{s}+c_{x}*\varepsilon _{x}+c_{y}*\varepsilon _{y}$$

$$\varepsilon _{s}+c_{x}*\varepsilon _{x}+c_{y}*\varepsilon _{y}$$

(coefficiente lungo il ramo moltiplicato per errore)

Esercizio 1.1

Se l'operazione si scrive come $f(x,y)$$f(x,y)$ allora

$$c_{x}={\frac {x}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial x}}$$

$$c_{x}={\frac {x}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial x}}$$

$$c_{y}={\frac {y}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial y}}$$

$$c_{y}={\frac {y}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial y}}$$

Verificare che questo è vero per i risultati ottenuti per la somma, e dimostrarlo nel caso di moltiplicazione e divisione.

 

Nel caso della somma:

$${\begin{aligned}f(x,y)&=x+y\\{\frac {\partial f}{\partial x}}=1\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=1\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {|x|}{|x+y|}}*1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {|y|}{|x\pm y|}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}f(x,y)&=x+y\\{\frac {\partial f}{\partial x}}=1\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=1\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {|x|}{|x+y|}}*1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {|y|}{|x\pm y|}}\end{aligned}}$$

quindi

$$E_{r}={\frac {x}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{x}+{\frac {y}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}\quad {\hbox{coincide con l'espressione ottenuta}}$$

$$E_{r}={\frac {x}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{x}+{\frac {y}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}\quad {\hbox{coincide con l'espressione ottenuta}}$$

Nel caso della moltiplicazione ricavo il risultato con i due procedimenti:

1. Procedimento 1: $x*y$$x*y$ viene eseguita dal calcolatore come
   $$\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)*\mathrm {fl} (y))$$

   $$\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)*\mathrm {fl} (y))$$
   e considerando che $\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon _{x})$$\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon _{x})$ e $\mathrm {fl} (y)=y*(1-\varepsilon _{y})$$\mathrm {fl} (y)=y*(1-\varepsilon _{y})$ ottengo:
   $$=\mathrm {fl} (x(1+\varepsilon _{x})*y*(1+\varepsilon _{y}))$$

   $$=\mathrm {fl} (x(1+\varepsilon _{x})*y*(1+\varepsilon _{y}))$$
   $$=(1+\varepsilon _{m})[xy(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{y})]$$

   $$=(1+\varepsilon _{m})[xy(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{y})]$$
   e al primo ordine ottengo:
   $$=xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}$$

   $$=xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}$$
   e l'errore relativo è:
   $$E_{r}={\frac {|\mathrm {fl} (xy)-xy|}{|xy|}}=$$

   $$E_{r}={\frac {|\mathrm {fl} (xy)-xy|}{|xy|}}=$$
   $$=^{\circ }{\frac {xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}-xy}{|xy|}}$$

   $$=^{\circ }{\frac {xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}-xy}{|xy|}}$$
   $$=^{\circ }{\frac {xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}}{|xy|}}$$

   $$=^{\circ }{\frac {xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}}{|xy|}}$$
   $$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$

   $$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$
2. Procedimento 2:
   $${\begin{aligned}f(x,y)&=xy\\{\frac {\partial f}{\partial x}}&=y\\{\frac {\partial f}{\partial y}}&=x\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {x}{|xy|}}*y=1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {y}{|xy|}}*x=1\end{aligned}}$$

   $${\begin{aligned}f(x,y)&=xy\\{\frac {\partial f}{\partial x}}&=y\\{\frac {\partial f}{\partial y}}&=x\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {x}{|xy|}}*y=1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {y}{|xy|}}*x=1\end{aligned}}$$
   quindi
   $$E_{r}=c_{x}\varepsilon _{x}+c_{y}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$

   $$E_{r}=c_{x}\varepsilon _{x}+c_{y}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$
   $$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$

   $$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$$

Derivazione dei coefficienti di amplificazione

Voglio calcolare $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$$f (x_1, x_2, \dots, x_n)$. Ipotizzo che $f$$f$ sia sufficientemente regolare, e che non ci sia errore nel calcolo del valore di $f$$f$, ma solo nella rappresentazione dei dati.

Chiamo $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$$x = (x_1, \dots, x_n)$, e ne considero il floating, cioè $\mathrm {fl} (x)=(\mathrm {fl} (x_{1}),\dots ,\mathrm {fl} (x_{n}))$$\mathrm{fl}(x) = (\mathrm{fl}(x_1), \dots, \mathrm{fl}(x_n))$.

$$E_{r}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$E_r = \frac{f(\mathrm{fl}(x))-f(x)}{f(x)}$$

Caso 1: $n=1$$n=1$

$$E_{r}={\frac {f(x)+f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)+o(\mathrm {fl} (x)-x)-f(x)}{f(x)}}$$

$$E_r = \frac{f(x)+f'(x)*(\mathrm{fl}(x)-x)+o(\mathrm{fl}(x)-x)-f(x)}{f(x)}$$

Considerando ${\frac {f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)}{x}}$$\frac{f'(x)*(\mathrm{fl}(x)-x)}{x}$, moltiplico numeratore e denominatore per $x$$x$:

$${\frac {x*f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)}{x*f(x)}}$$

$$\frac{x*f'(x)*(\mathrm{fl}(x)-x)}{x*f(x)}$$

$$={\frac {x*f'(x)}{f(x)}}*{\frac {\mathrm {fl} (x)-x}{x}}+{\frac {o(\mathrm {fl} (x)-x)}{f(x)}}$$

$$= \frac{x*f'(x)}{f(x)}*\frac{\mathrm{fl}(x)-x}{x}+\frac{o(\mathrm{fl}(x)-x)}{f(x)}$$

$$=(c_{x}*\varepsilon _{x})+o(\mathrm {fl} (x)-x)$$

$$= (c_x*\varepsilon_x)+o(\mathrm{fl}(x)-x)$$

caso 2: n generico

$$E_{r}={\frac {1}{f(x)}}[f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)*(\mathrm {fl} (x_{i})-x_{i})+o(\vert \mathrm {fl} (x)-x\vert )-f(x)]$$

$$E_r = \frac{1}{f(x)} [f(x)+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)*(\mathrm{fl}(x_i)-x_i)+o(\vert \mathrm{fl}(x)-x \vert)-f(x)]$$

$$E_{r}=[\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{f(x}}*{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)]*{\frac {\mathrm {fl} (x_{i})-x_{i}}{x_{i}}}+{\frac {o(\vert \mathrm {fl} (x)-x\vert )}{f(x)}}$$

$$E_r = [\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{f(x}*\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)]*\frac{\mathrm{fl}(x_i)-x_i}{x_i}+\frac{o(\vert \mathrm{fl}(x)-x \vert)}{f(x)}$$

$$=\sum _{i}c_{x_{i}}\varepsilon _{x_{i}}+o(\mathrm {fl} (x)-x)$$

$$= \sum_i c_{x_i} \varepsilon_{x_i}+o(\mathrm{fl}(x)-x)$$

Divisione

$$x/y={\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$$

$$x/y={\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$$

$$(1+\varepsilon _{d}){\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$$

$$(1+\varepsilon _{d}){\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$$

$$=x/y*{\frac {(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{d})}{1+\varepsilon _{y}}}$$

$$=x/y*{\frac {(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{d})}{1+\varepsilon _{y}}}$$

Sappiamo che

$${\frac {1}{1+\varepsilon _{y}}}\circ 1-\varepsilon _{y}$$

$${\frac {1}{1+\varepsilon _{y}}}\circ 1-\varepsilon _{y}$$

Quindi

$$={\frac {x}{y}}(1+\varepsilon _{x})(1-\varepsilon _{y})(1+\varepsilon _{d})$$

$$={\frac {x}{y}}(1+\varepsilon _{x})(1-\varepsilon _{y})(1+\varepsilon _{d})$$

$$=x/y*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})$$

$$=x/y*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})$$

Considerando l'errore relativo:

$${\frac {|x/y|*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})-|x/y|}{x/y}}$$

$${\frac {|x/y|*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})-|x/y|}{x/y}}$$

$$1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}-1$$

$$1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}-1$$

$$=\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}\leq |\varepsilon _{x}|+|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{d}|\leq 3u$$

$$=\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}\leq |\varepsilon _{x}|+|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{d}|\leq 3u$$

e si ottiene lo stesso risultato della moltiplicazione, cioè l'operazione di divisione non dipende dai dati.

$$E_{r}=|c_{x}|*\varepsilon _{x}+|c_{y}|*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}$$

$$E_{r}=|c_{x}|*\varepsilon _{x}+|c_{y}|*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}$$

e ancora $c_{x}={\frac {x*1/y}{x/y}}=1,\,c_{y}={\frac {-x/y^{2}*y}{x/y}}=-1$$c_{x}={\frac {x*1/y}{x/y}}=1,\,c_{y}={\frac {-x/y^{2}*y}{x/y}}=-1$.