Calcolo di primitive

Come abbiamo visto, il teorema fondamentale del calcolo ci semplifica il lavoro quando si richiede l'integrale di una funzione continua, portando a svolgere un calcolo di primitive. A differenza delle derivate, per le quali avevamo una definizione che, applicata, permetteva di ricavare formule di derivazioni utili in numerosi casi, per gli integrali indefiniti bisogna rifarsi all'esperienza, alla logica e all'ingegno. Come già detto nel precedente capitolo, non tutte le funzioni ammettono una primitiva in forma compatta, ed alcune non le ammettono proprio. Esistono però formule particolari che semplificano il lavoro.

Iniziamo col dare una tabella di integrali immediati, ricavati invertendo le regole di derivazione.

Funzione Primitiva()
con


Osservazione non è un integrale immediato. Verificare che è esattamente uguale a

Proprio l'ultimo caso offre l'opportunità di chiarire una volta per tutte il metodo di conferma del risultato: se si è in dubbio sulla funzione primitiva, si può sempre provare a derivarla; se la derivata è la funzione di partenza, allora la primitiva è quella giusta; altrimenti, si rifanno i calcoli o si prova un altro metodo. Diamo adesso due metodi di integrazione che, usati appropriatamente, faciliteranno i calcoli e permetteranno di calcolare integrali particolarmente complicati.

Definizione (Integrazione per sostituzione)

Data la formula di derivazione della funzione composta:

Possiamo integrare i membri per ottenere la formula:
L'ultima formula è conosciuta anche come formula di integrazione per sostituzione.

 


L'utilizzo di questa formula, una volta riconosciute le funzioni sotto simbolo di integrale, permette la soluzione di funzione che sembrerebbero astruse ad una prima occhiata. Facciamo un esempio del doppio utilizzo di questa formula.

Esempio Calcoliamo

1. Se riconosciamo immediatamente che:

Possiamo calcolare immediatamente la primitiva:

2. Possiamo procedere altrimenti operando una sostituzione di variabile nel seguente modo:

La funzione da integrare diventa quindi:
Che è un integrale immediato. Procedendo otteniamo:
Tornando alla variabile x:
Che corrisponde al risultato trovate individuando funzione composta e derivata come al punto 1.

Osservazione Alcune volte, invece di sostituire ad una funzione una variabile ausiliaria si può sostituire alla variabile di partenza una funzione ausiliaria. Vediamo un caso in cui questo procedimento risulta comodo.:

Può essere calcolato in vari modi, ma se sostituiamo come di seguito:
Si noti che, essendo una funzione definita positiva per , il modulo può essere omesso. Si osservi anche che la funzione è la semicirconferenza goniometrica nel semiasse positivo delle ordinate. Quindi il suo integrale definito è? Esercizio veloce

Otteniamo un integrale del tipo:

Che può essere risolto sia sostituendo il con formule goniometriche equivalenti, sia usando il metodo seguente.

Definizione (Integrazione per parti)

Il metodo più noto, e a volte più efficace, di soluzione di integrali è il cosiddetto metodo di risoluzione per parti. Si ricava partendo dalla formula di Leibniz per la derivazione del prodotto, integrando i membri e ordinandoli nel seguente modo:

 


Osservazione Da una prima occhiata, potrebbe sembrare che risolvere per parti un integrale non porti alcun vantaggio:un integrale di partenza avevamo, un integrale abbiamo dopo averla applicata. In realtà non è così: molto spesso, applicare l'integrazione per parti porta ad una riduzione di termini sotto il segno di integrale, semplificando le funzioni fino a farle ricondurre ad un integrale noto o immediato. L'esperienza aiuta in questi casi, ma è bene osservare che i polinomi, attraverso un numero finito di derivazioni, si annullano,trasformandosi in numeri reali.

Osservazione Dalla formula di integrazione per parti, si può risolvere un integrale che non è stato inserito nella tabella iniziale, poiché non banale; parliamo di . Applicando la formula, consideriamo

(Si ricordi che può essere sempre scritto come )

Notazione Spesso, quando si parla di calcolare integrali definiti, si usa la seguente notazione:

Che equivale a dire l'integrale definito da a a b di vale il suo integrale indefinito calcolato negli estremi di integrazione

Osservazione L'integrale indefinito è un insieme infinito di funzioni. È consigliabile porre quando si calcola l'integrale definito.

Osservazione Per le funzioni periodiche e è comodo notare che l'integrale è anch'esso periodico. Infatti vale (lo si provi):

Prestando attenzione agli intervalli in cui le funzioni diventano negative (e di conseguenza anche i loro integrali definiti), quest'informazione può essere sfruttata per calcolare, in intervalli più lunghi, i sottografici delle funzioni.

È il momento delle brutte notizie; a differenza delle derivate, non tutti gli integrali sono risolvibili in forma esplicita. Spieghiamoci:

Non ammette una forma esplicita. Potete sbattere la testa al muro per tutti gli anni della vostra vita, purtroppo è così; prendere o lasciare, la matematica a volte riserva sgradite sorprese.

Osservazione "Ma se io utilizzassi i polinomi di Taylor?" potreste chiedere, riguardo all'integrale qui sopra. È un giusta osservazione per quello che riguarda il calcolo approssimato dell'integrale definito, come vedremo nel capitolo successivo.

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