Calcolo di aree

Lo scopo di questo capitolo sarà quello di spiegare, utilizzando gli strumenti finora spiegati, come calcolare le aree. Non andremo ad aggiungere altre nozioni alla teoria già data, semplicemente utilizzeremo quelle che abbiamo già.

Alla fine del capitolo precedente abbiamo visto come l'integrale delle funzioni periodiche sia anch'esso periodico, stando attenti ai segni. Vale la regola generale:

È facile dimostrarlo utilizzando il teorema fondamentale del calcolo; non ci perderemo più di molto tempo a calcolarli.

Funzioni esponenziali[modifica | modifica wikitesto]

Passiamo alla funzione esponenziale; in generale:

E teniamocelo buono da parte. Ora, ricordate la triste notizia riguardante ? Supponiamo avessimo da calcolare il seguente integrale definito:
Un buon modo per uscirne vivi è quello di sfruttare i polinomi di Taylor; ricordando quello dell'esponenziale:
Possiamo trovare il polinomio di . Come? Semplicemente sostituendo a nel polinomio, ovvero:
E sostituirlo nell'integrale:
E così procedere. Il problema è che avremo un'approssimazione dell'integrale, e non il risultato perfetto, che sarà uguale quindi a:
L'osservazione da fare è che questa serie converge, ed è quindi limitata superiormente.

Funzioni dispari[modifica | modifica wikitesto]

Cambiamo totalmente argomento, ora. Facciamo una breve osservazione grafica riguardante le funzioni dispari: essendo simmetriche rispetto all'origine, c'è da aspettarsi che:

Ora lo dimostreremo matematicamente. Per prima cosa, possiamo sfruttare le proprietà dell'integrale:
Operiamo sul primo termine attraverso sostituzioni di variabile: operando questo cambio di variabile:
Otteniamo questo integrale:
Quindi, ricapitolando il tutto e sfruttando la disparità della funzione:
Esattamente quello che avevamo intuito graficamente.

 PrecedenteSuccessivo