Introduzione

Chiamiamo equazione differenziale un'equazione in cui l'incognita da determinare è una funzione e in cui compaiono la funzione stessa e le sue derivate. Per esempio:

È un'equazione differenziale del secondo ordine. L'ordine dell'equazione cresce in base alle derivate presenti nell'equazione: se la derivata maggiore è la seconda, l'equazione sarà di secondo grado, se è presente al massimo la derivata terza sarà di terzo ordine e così via. Il metodo di soluzione delle equazioni differenziali è articolato e prevede un procedimento a scala: passeremo dal risolvere le equazioni del primo ordine omogenee a coefficienti costanti, poi a coefficienti non costanti, poi le non omogenee e così via. In questa sezione arriveremo a trattare al massimo le equazioni di secondo grado lineari non omogenee, prestando un occhio di riguardo al caso di risonanza, notevolmente utile in fisica.

Per studiare appieno le equazioni differenziali, è opportuno avere una buona conoscenza degli argomenti precedentemente trattati, in particolari il calcolo differenziale e il calcolo integrale.

Prima di passare alla teoria vera e propria, introduciamo un po' di notazioni.

  1. La funzione risolvente l'equazione si chiama integrale dell'equazione;
    1. Nel caso di equazioni non omogenee, si distingue tra integrale generale e integrale particolare, come vedremo;
  2. Un sistema simile:

È chiamato problema di Cauchy


Inoltre, nello studio delle equazioni differenziali è fondamentale avere una conoscenza dei numeri complessi, come vedremo per le equazioni del secondo ordine.

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