Eq. differenziali del secondo ordine omogenee

Se per le equazioni differenziali del primo ordine tutto era bello e facile, per quello del secondo ordine sarà tutto molto più complesso, nel senso che useremo i complessi. E sì, forse perché sarà anche più complesso. Tratteremo solo equazioni lineari, omogenee e non, a coefficienti costanti. Iniziamo dalle equazioni omogenee.

Fanno parte di questa famiglia le espressioni del tipo:

Osservazione carina: è soluzione. Ma non cerchiamo questa. Enunciamo un teorema di cui non forniremo la dimostrazione, che chiarirà diverse cose riguardo le equazioni del secondo ordine.

Teorema

Sia . Allora:

(i) K è spazio vettoriale su ;

(ii)

 


Ciò vuol dire che le soluzioni dell'equazione sono nel campo dei complessi e, in particolare, sono due soluzioni linearmente indipendenti. Andiamo a caccia di soluzioni armati di fucile a numeri complessi.

Cerchiamo una soluzione in . Osserviamo che un qualunque numero complesso può essere scritto come:

Poiché deve essere la funzione risolvente dell'equazione, calcoliamo le derivate prime e seconda:

Possiamo dividere entrambi i membri per , ottenendo quello che viene chiamato polinomio caratteristico:

Non resta che determinare che, sostituito nella forma: , ci fornisce una soluzione all'equazione. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio caratteristico ammette due soluzioni complesse; a seconda del segno del discriminante le soluzioni sono reali e distinte, reali e coincidenti o complesse coniugate. Esaminiamoli uno per volta.

Due radici reali e distinte:

È il caso in cui ; questo si traduce in due soluzioni reali del polinomio, corrispondenti a due funzioni che risolvono l'equazione:

sono linearmente indipendenti: poniamo
Osserviamo che l'unica soluzione possibile è , quindi sono tutte le soluzioni dell'equazione differenziale; l'integrale generale sarà quindi della forma:

Due radici reali e coincidenti:

Ci troviamo nel caso in cui , per cui le due soluzioni saranno:

L'osservazione da fare è che, quando si hanno due soluzioni come nel caso precedente, possiamo affermare che:
È ancora soluzione, perché combinazione lineare delle due. Passando al limite quando ,
Il che ci porta ad aver trovato due soluzioni alla nostra equazione; non ci resta che verificare che sia soluzione:
Sostituiamo nell'equazione di partenza:
Abbiamo trovato due soluzioni valide; osserviamo che sono linearmente indipendenti tra loro, infatti:
Quindi l'integrale generale nel caso in cui è:

Due radici complesse e coniugate:

Siamo nel caso in cui il polinomio caratteristico non ammette soluzioni reali bensì complesse coniugate:

Poiché sono funzioni del campo , possiamo porre:

E quindi cercare la parte reale di per avere le funzioni risolventi il sistema.

Osservando che possiamo riscrivere la funzione trovata:

Poiché stiamo cercando la parte, scriviamo ; osserviamo preliminarmente che le parti reali di coincidono e sono uguali a:

Dal teorema che abbiamo enunciato a inizio capitolo sappiamo che abbiamo bisogno di due soluzioni per ottenere quella generale, quindi una non basta. Ma poiché è soluzione in , un suo multiplo sarà ancora soluzione, quindi è ancora soluzione:

Che osserviamo essere anche linearmente indipendente da . Quindi, l'integrale generale dell'equazione nel caso in è:

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