Eq. differenziali del secondo ordine non omogenee

Si è preferito dividere in due il discorso sulle equazioni differenziali del secondo ordine perché ci soffermeremo su un caso particolare: la condizione di risonanza. Passiamo a studiare le equazioni del secondo ordine non omogenee. In generale, fanno parte di questa famiglia le espressioni:

L'osservazione che possiamo fare e che facciamo nasce dallo studio delle equazioni differenziali del primo ordine non omogenee: come abbiamo visto, le soluzioni di queste equazioni sono della forma
Questo è possibile grazie al principio di sovrapposizione, per cui possiamo sempre scrivere:
Per quanto riguarda l'equazione omogenea, ne abbiamo discusso nel precedente capitolo. Non ci resta quindi che cercare le soluzioni alla non omogenea. Non ci dilungheremo sui vari casi, tratteremo solo il caso delle forzanti periodiche, ovvero i casi in cui , ovviamente con .

Come nel caso precedente, cerchiamo soluzioni nel campo dei complessi ; osserviamo che:

Si ricorda che . L'obiettivo, come detto prima, è trovare soluzione dell'equazione, che possiamo riscrivere come:
Mi aspetto soluzioni della forma . Calcoliamo le derivate per sostituirle nella equazione:
Passiamo all'equazione:
È adesso necessaria una discussione su tutto questo. Abbiamo trovato un'equazione del secondo grado in che, risolta, ci da i valori da sostituire nella funzione . Una volta che questo è stato fatto, a seconda della forzante presente (coseno o seno) la nostra soluzione sarà la parte reale o immaginaria, rispettivamente. Ma c'è un caso in cui non abbiamo soluzioni, ovvero:

  1. Se e , NON ABBIAMO SOLUZIONI.

Siamo sicuri?

Osservazione è soluzione. Verificare!

Condizione di risonanza[modifica | modifica wikitesto]

Questo caso particolare è particolarmente significativo, in fisica, riguardo gli oscillatori armonici (di costante elastica ). Il caso di cui parliamo è descritto dalla seguente equazione:

Anzitutto, calcoliamo la soluzione dell'equazione omogenea associata, ovvero cerchiamo soluzioni all'espressione:
Il polinomio caratteristico associato è:
Da cui ricaviamo direttamente (la dimostrazione è elementare, basta applicare il procedimento studiato nel capitolo precedente) la funzione risolvente l'equazione omogenea, che è:

Dobbiamo adesso trovare una soluzione all'equazione non omogenea; come descritto sopra, sia:

E cerco soluzioni della forma ; calcoliamo le derivate:
Posto . Quindi la soluzione sarà del tipo :

Non ci resta che sommare le due soluzioni per ottenere l'integrale generale:

Osserviamo come sia fattore di amplificazione delle oscillazioni: più la frequenza si avvicina a , più la funzione tende a esplodere a . Ci resta però un ultimo caso da analizzare, ovvero quando . Dopo aver trovato la soluzione particolare, sfruttando le condizioni imposte dal problema di Cauchy, si studia il limite per , analizzando il comportamento della funzione in quel caso.

Se capitasse che , si noti che è anch'essa soluzione. Si ripete il procedimento qui sopra elencato e si risolve l'equazione.

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