Eq. differenziali del primo ordine

Le equazioni differenziali del primo ordine presentano una funzione e la sua derivata in relazione tra loro; procediamo per casi.

Lineare, omogenea, a coefficienti costanti[modifica | modifica wikitesto]

Chiameremo equazione differenziale del primo ordine lineare omogenea a coefficienti costanti una scrittura del tipo:

Lo spazio delle soluzioni è un spazio vettoriale, quindi se esistono due soluzioni dell'equazione, la loro somma è ancora soluzione; siano due soluzioni per la precedente eq. differenziale:
Che non è differente dalla precedente scrittura.

Procediamo alla soluzione. Osserviamo subito che , con è soluzione dell'equazione. Inoltre, sia un'altra soluzione tale che ; osserviamo che;

Quindi, sostituendo i termini nella equazione:
Il che vuol dire che ; per il teorema di Lagrange sappiamo che, se la derivata prima è nulla, la funzione è costante, quindi , ovvero:
Abbiamo appena dimostrato che è l'unico integrale possibile alle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Lineare, NON omogenea, a coefficienti costanti[modifica | modifica wikitesto]

Si chiamano così equazioni del tipo:

Osserviamo che, se , l'equazione diventa omogenea. A differenza di prima, si può dimostrare che lo spazio delle soluzioni non è uno spazio vettoriale: la perdita di omogeneità fa perdere questa caratteristica.

Cerchiamo soluzioni della forma : calcoliamo la derivata prima e sostituiamole nella equazione.

Supponiamo che sia continua per poter applicare il teorema fondamentale del calcolo:
Da cui ricaviamo che le soluzioni dell'equazione non omogenea sono della forma:
Osservazione: il primo termine della somma è soluzione dell'equazione omogenea associata, mentre il secondo termine è la soluzione dell'equazione non omogenea.

Non omogenea a coefficienti non costanti[modifica | modifica wikitesto]

Fanno parte di questa famiglia le espressioni del tipo:

Come prima, cerchiamo soluzione della forma esponenziale . Ipotizzando che abbia una primitiva:

Prendo a questo punto l'equazione iniziale e moltiplichiamo tutti i membri per , dove ricordiamo essere una primitiva di :
Osserviamo che al primo membro è presente la derivata di , ovvero:
Quindi possiamo riscrivere l'equazione come:
Possiamo eliminare l'operatore derivata, supponendo continua:
Dove gli ultimi due termini rappresentano due modi diversi di esprimere l'integrale risolvente l'equazione.

Per quanto riguarda le equazioni del primo ordine, la teoria è finita; per risolvere una di queste equazioni suggeriamo questo metodo a step:

  1. Trovare le soluzioni all'equazione omogenea associata;
  2. Trovare la soluzione generale dell'equazione e sommarle;
  3. Nel caso si tratti di risolvere un problema di Cauchy, sostituire all'integrale trovato il vaore dell'incognita e porre la funzione uguale al valore iniziale fornito dal problem per trovare la costante che ci offre la soluzione particolare.
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