Successioni monotone

Chiudiamo la sezione sulle successioni reali trattando un particolare gruppo di successioni, ovvero le successioni monotone.

Definizione (Successione monotona)

Sia una successione; allora:

Le relazioni si intendono valide

 


Trattiamo ora le proprietà delle successioni monotone.

Proposizione

è monotona è regolare (ovvero ammette limite). In particolare:

 


Dimostrazione

Studiamo prima il caso in cui la successione sia crescente. Preso , avremo che:

Ma, se , appena scendo sotto il limite deve esserci un tale che , quindi è vera la conclusione.

Il caso decrescente è analogo e invitiamo a dimostrarlo per esercizio.

 


Parliamo adesso di relazioni tra funzioni monotone. Siano date due successioni crescenti. Cosa possiamo dire riguardo le relazioni tra di loro?

  1. è anch'essa crescente.
  2. è decrescente;
  3. è crescente sono concordi.

In generale, la successione non si può definire monotona (in realtà non possiamo dire proprio nulla).

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