Ordini e confronti di infiniti

In questo capitolo confronteremo tra loro successioni che divergono a , determinando un ordine di infiniti, ovvero ordineremo le successioni divergenti in base alla rapidità con cui queste tendono all'infinito. Questo passaggio sarà cruciale nel calcolo differenziale per quanto riguarda le funzioni reali di variabile reale: come vedremo, grazie agli sviluppi di Taylor, alcune funzioni potranno essere scritte come serie. Ma procediamo con ordine.

Proposizione

Sia ; allora possiamo dire che:

Ovvero è più veloce di .

 


Dimostrazione

Sfruttiamo il criterio del rapporto dimostrato nel precedente capitolo:

Poiché e , è valida la conclusione e il criterio del rapporto.

 


Passiamo adesso ad un'altra relazione, che sfrutta il fattoriale.

Definizione (Fattoriale)

Si definisce fattoriale il prodotto:

 


Proposizione

 


Dimostrazione

Sfruttiamo il criterio del rapporto:

 


Possiamo dire che il fattore cresce di molto più rapidamente della potenza, visto che il rapporto tende direttamente a 0.

Procediamo trovando una successione più rapida del fattoriale.

Proposizione

 


Dimostrazione

Questa volta non serve neanche sfruttare il criterio del rapporto, ma basta scrivere l'espressione in forma esplicita per dimostrare la relazione:

Quindi possiamo dire che

 


Chiudiamo il capitolo parlando di forme indeterminate e forme infinite. Siano date due successioni , entrambi infinitesime. Allora:

  • ;
  • (forma indeterminata ).


Sia . Allora:

  • .


Sia . Allora:

  • (forma indeterminata );
  • (forma indeterminata ).


Sia . Allora:

  • (forma indeterminata ).


Abbiamo quindi trovato 4 forme indeterminate, non calcolabili:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
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