Limiti di successioni

La definizione del limite di derivata la si deve a Cauchy, che la pubblicò per la prima volta nel XIX secolo. Il concetto di limite è nuovo per noi, quindi oltre a definirlo è bene che venga chiarito al meglio. Intuitivamente, passare al limite per una successione vuol dire che il termine della successione deve tendere all'infinito, espressione che in matematica si indica con:

Una volta passati al limite, si studia il termine n-esimo della successione: se il termine è un valore reale, vuol dire che gli elementi della successione, più andiamo avanti di indice, più si avvicinano a quel valore particolare. La definizione rigorosa è la seguente.

Definizione (Limite di successione)

Sia una successione di reali; sia . Diremo che il limite per n che tende a è , e scriveremo questa espressione come segue:

Se, preso un generico esiste un numero naturale grande a piacere tale che, per ogni la distanza di dal limite è minore di . In simboli:

 


La scrittura può sembrare complessa, ma è importante che diventi familiare, perché, come vedremo presto, il concetto di limite verrà esteso alle funzioni e potrà essere sfruttato in vari modi nel calcolo integrale e differenziale. Per avere familiarità con la definizione, utilizziamola nel seguente esempio.

Esempio

Sia ; calcoliamo la distanza del termine n-simo dal limite, ovvero:
Prendo a questo punto , ovvero la parte intera di . Per il principio di Archimede esiste un naturale maggiore di , che chiamo , per cui:

Per come è definito, il limite deve essere un valore finito. È intuitivo dire che non tutte le successioni ammettono limite; per esempio è una di queste: invitiamo a dimostrarlo utilizzando la definizione, e come suggerimento ricordiamo sempre che il principio di Archimede deve essere verificato.

La domanda cruciale è: "E la successione ammette non uno, bensì due limiti?"

Teorema (Unicità del limite)

Sia una successione di reali; se:

Ovvero se il limite esiste deve necessariamente essere unico.

 


Breve notazione: poiché per le successioni l'unico limite possibile è quando , possiamo ometterlo o abbreviarlo; le tre notazioni seguenti sono identiche per i limiti di successioni:

Dimostrazione

Fissiamo . Applichiamo la definizione di limite:

Studiamo il caso :
Ovvero i due limiti coincidono.

 


In matematica spesso, per dimostrare che due punti sono coincidenti, si dimostra che la loro distanza è piccola a piacere, ovvero è minore di qualsiasi , ed è la tecnica usata nella precedente dimostrazione.

Proposizione

Se una successione ammette limite, allora è limitata.

 


Ma cosa vuol dire che una successione è limitata?

Definizione (Successione limitata)

Sia una successione; diremo che è limitata se:

 


Procediamo con la dimostrazione.

Dimostrazione

Se , allora ; ponendo :

 


Definiamo la sottosuccessione per poter poi enunciare e dimostrare il prossimo teorema.

Definizione (Sottosuccessione)

Sia ; sia una funzione STRETTAMENTE crescente.

È detta sottosuccessione di

 


Esempio La funzione è la funzione dei numeri pari naturali; la sottosuccessione associata sarà:

Teorema

Sia una successione e sia . Se , allora ogni sottosuccessione è tale che;

 


Dimostrazione

Sia . La tesi è , mentre l'ipotesi è .

Osserviamo che, per definizione, è strettamente crescente, ovvero ; allora:

 


Il capitolo è ancora lungo, e tratterà vari argomenti. Diamo altre due definizioni e un teorema, prima di passare a quel che davvero ci importa: compiere calcoli con i limiti.

Definizione (Infinitesimo)

Si chiama infinitesimo qualunque cosa tenda a 0.

 


Questo NON vuol dire che davvero qualsiasi cosa tenda a 0 sia un infinitesimo; se su un tavolo non ci sono fette di pane, NON diremo che ci sono infinitesime fette di pane. Quando usiamo il termine qualunque, ci riferiamo ovviamente a oggetti matematici.

Definizione (Condizione di Cauchy)

è una successione di Cauchy se:

Ovvero: se, preso un qualunque positivo, esiste un tale che, presi maggiori di esso, si ha che .

 


Dalla definizione passiamo al diretto teorema.

Teorema

 


Dimostrazione

L'implicazione è banale (si ponga e si proceda a dimostrare per esercizio). Dimostriamo quindi .

Se , allora

Prendo e studio la distanza :

Gli spazi che soddisfano questo teorema si chiamano spazi metrici completi.

 


Da come è data la definizione, può sembrare complicato calcolare un limite; ci sono alcune operazioni valide, che riassumiamo nella seguente proposizione (non forniremo la dimostrazione, ma basterà applicare la definizione; si consiglia di farla per esercizio).

Proposizione

Siano due successioni reali. Supponiamo che:

Allora:

  • ;
  • Se ,

Le precedenti espressioni sono valide definitivamente, ovvero per valori di sufficientemente grandi.

 
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