Introduzione alle successioni

Iniziamo a trattare un nuovo argomento: le successioni numeriche di reali. Intuitivamente, un elenco numerato di numeri reali è già un'ottima definizione per la successione, ma definiamola matematicamente.

Definizione (Successione di reali)

Chiameremo successione di numeri reali l'immagine di una funzione e che associa ad ogni numero naturale un elemento dell'insieme dei reali:

 


Un esempio banale: è una successione di numeri naturali (e quindi reali) che associa ad ogni naturale se stesso. il termine n-simo della funzione non lo indicheremo con bensì con la più pratica scrittura per differenziare le successioni dalle funzioni.

Ci sono vari modi per definire una successione. Il modo più intuitivo è quello di elencare gli elementi uno ad uno, in un insieme ordinato. La cosa risulta essere pratica per successioni di numeri non infinite e con non molti elementi, ma quando si ha a che fare con successioni con infiniti numeri potrebbe risultare leggermente scomodo scriverli uno ad uno. Leggermente.

C'è un modo più pratico per definire una successione, ed è per ricorrenza; sia chiaro ora e per sempre: non tutte le successioni possono essere definite per ricorrenza.

Definizione (per ricorrenza)

Possiamo definire una successione di reali per ricorrenza: si mette in evidenza il primo termine della successione, che viene di solito chiamato (attenzione alle successioni che non ammettono lo 0) e poi si mette in evidenza il termine in funzione del termine n-simo . La forma canonica è:

 


Per fare un esempio di successione per ricorrenza, mostriamo quello che viene chiamato albero di Feienbaum (o mappa logistica), che descrive l'incremento della densità di popolazione:

Dove è un valore generico dipendente da vari fattori.

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