Convergenza di successioni

Nel precedente capitolo abbiamo discusso i limiti di successioni, definendoli ed elencando alcune proprietà, tra cui le operazioni fondamentali con i limiti. In questo capitolo parleremo di convergenza e divergenza di successioni. Non è zuppa, le definiamo subito.

Definizione (Convergenza e divergenza)

Sia una successione:

 


Studiare convergenza o divergenza di successioni null'altro vuol dire che studiarne il comportamento al limite. Ci sono tanti teoremi carini, tra cui il famoso teorema dei carabinieri, che non vediamo l'ora di dimostrare.

Proposizione

Siano due successioni e supponiamo che definitivamente. Supponiamo inoltre che:

Allora è la tesi.

 


Dimostrazione

Fissiamo . Definitivamente:

Come volevasi dimostrare.

 


Questa proposizione ha conseguenza dirette molto importanti; siano valide le ipotesi, abbiamo i seguenti casi:

  • Se , allora necessariamente anche ;
  • Se , allora: , ovvero ;
  • Se , allora necessariamente ;
  • Se , allora: , ovvero .

È arrivato il momento.

Teorema (dei carabinieri)

Siano tre successioni reali. Supponiamo che definitivamente, e che:

Allora anche

 


Dimostrazione

Fissato , si ha che:

Che osserviamo essere la definizione di limite e, quindi, è valida la tesi.

 


Andremo adesso a dimostrare una proposizione molto importante per tutto il nostro avvenire.

Proposizione

Sia , con . Allora:

 


Dimostrazione

Per ipotesi, ; ciò vuol dire che:

Osserviamo che (dallo sviluppo della potenza n-sima del binomio), quindi:
(Abbiamo dimostra nello scorso capitolo che )

 


Allo stesso modo si può dimostrare (per esercizio) che:

  • Se ;
  • Se ;
  • Se .

Terminiamo il capitolo con lo strumento chiave per studiare la convergenza o divergenza di una successione.

Teorema (Criterio del rapporto per successioni)

Sia una successione reale positiva al termine n-simo; sia inoltre:

Allora la tesi è che

 


Dimostrazione

Sia ; definitivamente è valido:

Per una sorta di insanità mentale, chiamo ; osservando che per cui:
Poiché , abbiamo che:

 


Il criterio del rapporto è lo strumento chiave per lo studio di successioni; abbiamo dimostrato che e i comportanti di al variare di . Utilizzando queste successioni chiave, si può determinare il comportamento di altre successioni sfruttando il criterio di convergenza.

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