Proprietà degli integrali

Linearità

Teorema 11.4

Siano $f,g$$f,g$ Riemann-integrabili su $[a,b]$$[a,b]$. Allora anche $f+g$$f+g$ è Riemann-integrabile e per ogni $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$$c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$, si ha che $c_{1}*f+c_{2}*g$$c_{1}*f+c_{2}*g$ è Riemann-integrabile. (In forma sintetica: una combinazione lineare di funzioni integrabili è integrabile.)

Inoltre

$$\int _{a}^{b}[c_{1}*f(x)+c_{2}*g(x)]dx=c_{1}*[\int _{a}^{b}f(x)dx]+c_{2}*[\int _{a}^{b}g(x)dx]$$

$$\int _{a}^{b}[c_{1}*f(x)+c_{2}*g(x)]dx=c_{1}*[\int _{a}^{b}f(x)dx]+c_{2}*[\int _{a}^{b}g(x)dx]$$

 

L'insieme delle funzioni Riemann integrabili su $[a,b]$$[a,b]$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ rispetto alle solite operazioni. L'applicazione che associa a una funzione nella classe delle funzioni integrabili il valore dell'integrale è lineare.

Proprietà di monotonia

Corollario 11.1

Siano $f,g\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$f,g\in {\mathfrak {R}}[a,b]$ e $f(x)\geq g(x)$$f(x)\geq g(x)$, allora

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx$$

 

Dimostrazione

$f(x)-g(x)\geq 0$$f(x)-g(x)\geq 0$, quindi $\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\geq 0$$\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\geq 0$ (le somme superiori di una funzione positiva sono sempre maggiori o uguali a 0). Quindi per linearità

$$\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$$

$$\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$$

 

Modulo dell'integrale

Teorema 11.5

sia $f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$. Allora $|f|\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$|f|\in {\mathfrak {R}}[a,b]$ e vale la disuguaglianza:

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

 

(Per le somme sarebbe: il modulo della somma è minore o uguale della somma dei moduli) Data una suddivisione P dell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$, allora $S(p,|f|)-s(p,|f|)\leq S(p,f)-s(p,f)$$S(p,|f|)-s(p,|f|)\leq S(p,f)-s(p,f)$. Infatti su ogni intervallo $[x_{k-1},x_{k}]$$[x_{k-1},x_{k}]$ se chiamo $L_{k}'=\sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}|f(x)|$$L_{k}'=\sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}|f(x)|$ e $l_{k}'=\inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}|f(x)|$$l_{k}'=\inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}|f(x)|$ si ha che $L_{k}'-l_{k}'\leq L_{k}-l_{k}$$L_{k}'-l_{k}'\leq L_{k}-l_{k}$, dove $L_{k}$$L_{k}$ e $l_{k}$$l_{k}$ sono inf e sup della funzione nel medesimo intervallo.

Suggerimento per la dimostrazione: considerare i tre casi $f(x)>0$$f(x)>0$, $f(x)<0$$f(x)<0$, $f(x)$$f(x)$ cambia segno.

Dimostrazione

Caso 1

$f(x)\geq 0$$f(x)\geq 0$: Se $f(x)\geq 0$$f(x)\geq 0$, quindi $L_{k}'-l_{k}'=L_{k}-l_{k}$$L_{k}'-l_{k}'=L_{k}-l_{k}$;

Caso 2

$f(x)\leq 0$$f(x)\leq 0$:In questo caso $f(x)=-|f(x)|$$f(x)=-|f(x)|$ e si ha $L_{k}'=-L_{k}$$L_{k}'=-L_{k}$ e $l_{k}'=-l_{k}$$l_{k}'=-l_{k}$, quindi $L_{k}'-l_{k}'=|-(L_{k})-(-l_{k})|=|-L_{k}-l_{k}|=L_{k}-l_{k}$$L_{k}'-l_{k}'=|-(L_{k})-(-l_{k})|=|-L_{k}-l_{k}|=L_{k}-l_{k}$

Caso 3

$f(x)$$f(x)$ cambia di segno:In questo caso $L_{k}'=\max(|l_{k}|,|L_{k}|)$$L_{k}'=\max(|l_{k}|,|L_{k}|)$ e $l_{k}'=\min(|L_{k}|,|l_{k}|)$$l_{k}'=\min(|L_{k}|,|l_{k}|)$, quindi $L_{k}'-l_{k}'=\max(|l_{k}|,|L_{k}|)-\min(|l_{k}|,|L_{k}|)=||L_{k}|-|l_{k}||\leq L_{k}-l_{k}$$L_{k}'-l_{k}'=\max(|l_{k}|,|L_{k}|)-\min(|l_{k}|,|L_{k}|)=||L_{k}|-|l_{k}||\leq L_{k}-l_{k}$

La massima variazione del modulo è piu' piccola della massima variazione della funzione. Si ha quindi che $S(p,|f|)-s(p,|f|)\leq S(p,f)-s(p,f)\leq \varepsilon$$S(p,|f|)-s(p,|f|)\leq S(p,f)-s(p,f)\leq \varepsilon$ quindi $|f|$$|f|$ è integrabile.

Siccome

$$-f(x)\leq |f(x)|\leq f(x)$$

$$-f(x)\leq |f(x)|\leq f(x)$$

per il teorema di monotonia si ha

$$-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

quindi

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

 

Teorema di additività

Teorema 11.6

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$, $f$$f$ limitata. Allora i due seguenti fatti sono equivalenti:

1. $f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$
2. per ogni $c\in [a,b]$$c\in [a,b]$, $f\in {\mathfrak {R}}[a,c]$$f\in {\mathfrak {R}}[a,c]$ e $f\in {\mathfrak {R}}[c,b]$$f\in {\mathfrak {R}}[c,b]$.

Inoltre, se una delle due condizioni è verificata, si ha:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

 

Se disegno il grafico di una funzione, nel caso di funzione positiva il teorema afferma che l'area del trapezoide T è uguale alla somma delle aree dei trapezoidi $t_{1}$$t_1$ (delimitato lateralmente da $x=a$$x=a$ e $x=c$$x=c$) e $t_{2}$$t_2$ delimitato lateralmente da $x=c$$x=c$ e $x=b$$x=b$.

Dimostrazione

La dimostrazione deriva dalla condizione di integrabilità e dalla definizione di integrali. Se la funzione è integrabile su $[a,b]$$[a,b]$ esistono $s(p)$$s(p)$ e $S(p)$$S(p)$ tali che $S(p)-s(p)<\varepsilon$$S(p)-s(p)<\varepsilon$ per la condizione di integrabilità su $[a,b]$$[a,b]$. Se aggiungo il punto c alla partizione P, la differenza tra le somme inferiori $s(P^{\ast })$$s(P^{\ast })$ e quelle superiori $S(P^{\ast })$$S(P^{\ast })$ diventa piu' piccola di $S(p)-s(p)$$S(p)-s(p)$ e quindi anche minore di $\varepsilon$$\varepsilon$, e nelle due partizioni parziali di $[a,c]$$[a,c]$ e $[c,b]$$[c,b]$ a maggior ragione è minore di $\varepsilon$$\varepsilon$, donde integrabile nei due sottointervalli. Il viceversa si ottiene con analoghe considerazioni.

 

Convenzioni

Definizione 11.6

Sia $f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$. Allora per definizione si pone:

$$\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

e

$$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$$

$$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$$

 

Ad esempio

$$\int _{2}^{1}\sin x=-\int _{2}^{1}\sin x\,dx$$

$$\int _{2}^{1}\sin x=-\int _{2}^{1}\sin x\,dx$$

Osservazione 11.2

Sia $f\in {\mathfrak {R}}[\alpha ,\beta ]$$f\in {\mathfrak {R}}[\alpha ,\beta ]$ e $a,b,c$$a, b, c$, messi in una posizione qualunque tra loro, appartengano ad $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha ,\beta ]$. Allora vale sempre che

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

 

Dimostrazione

Se $a<b<c$$a<b<c$ ottengo il teorema precedente sull'additività. Negli altri casi si può verificare comunque la relazione usando le convenzioni.

Siccome $a,b,c$$a,b,c$ sono in $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha ,\beta ]$ gli integrali sono definiti e se per esempio $c<a$$c<a$, allota $\int _{a}^{c}f(x)dx=-\int _{c}^{a}f(x)\,dx$$\int _{a}^{c}f(x)dx=-\int _{c}^{a}f(x)\,dx$

Se ad esempio $b<a<c$$b<a<c$ sappiamo che

$$\int _{b}^{c}f(x)\,dx=\int _{b}^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{c}f(x)\,dx$$

$$\int _{b}^{c}f(x)\,dx=\int _{b}^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{c}f(x)\,dx$$

inoltre

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$$

Dalla relazione precedente, portando $\int _{b}^{a}f(x)\,dx$$\int _{b}^{a}f(x)\,dx$ al primo membro ottengo

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx=-\int _{b}^{c}f(x)\,dx+\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx=-\int _{b}^{c}f(x)\,dx+\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$$

 

La disuguaglianza del modulo

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$$

non vale sempre, infatti se $b<a$$b<a$ il secondo membro è negativo, però vale la seguente:

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq |\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx|$$

$$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx|\leq |\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx|$$

per ogni $a,b$$a,b$ comunque messi.