Proprietà degli integrali

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 11.4

Siano Riemann-integrabili su . Allora anche è Riemann-integrabile e per ogni , si ha che è Riemann-integrabile. (In forma sintetica: una combinazione lineare di funzioni integrabili è integrabile.)

Inoltre

 

L'insieme delle funzioni Riemann integrabili su è uno spazio vettoriale su rispetto alle solite operazioni. L'applicazione che associa a una funzione nella classe delle funzioni integrabili il valore dell'integrale è lineare.

Proprietà di monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Corollario 11.1

Siano e , allora

 
Dimostrazione

, quindi (le somme superiori di una funzione positiva sono sempre maggiori o uguali a 0). Quindi per linearità

 

Modulo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 11.5

sia . Allora e vale la disuguaglianza:

 

(Per le somme sarebbe: il modulo della somma è minore o uguale della somma dei moduli) Data una suddivisione P dell'intervallo , allora . Infatti su ogni intervallo se chiamo e si ha che , dove e sono inf e sup della funzione nel medesimo intervallo.

Suggerimento per la dimostrazione: considerare i tre casi , , cambia segno.

Dimostrazione
Caso 1
: Se , quindi ;
Caso 2
:In questo caso e si ha e , quindi
Caso 3
cambia di segno:In questo caso e , quindi

La massima variazione del modulo è piu' piccola della massima variazione della funzione. Si ha quindi che quindi è integrabile.

Siccome

per il teorema di monotonia si ha
quindi

 

Teorema di additività[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 11.6

Sia , limitata. Allora i due seguenti fatti sono equivalenti:

  1. per ogni , e .

Inoltre, se una delle due condizioni è verificata, si ha:

 

Se disegno il grafico di una funzione, nel caso di funzione positiva il teorema afferma che l'area del trapezoide T è uguale alla somma delle aree dei trapezoidi (delimitato lateralmente da e ) e delimitato lateralmente da e .

Dimostrazione

La dimostrazione deriva dalla condizione di integrabilità e dalla definizione di integrali. Se la funzione è integrabile su esistono e tali che per la condizione di integrabilità su . Se aggiungo il punto c alla partizione P, la differenza tra le somme inferiori e quelle superiori diventa piu' piccola di e quindi anche minore di , e nelle due partizioni parziali di e a maggior ragione è minore di , donde integrabile nei due sottointervalli. Il viceversa si ottiene con analoghe considerazioni.

 

Convenzioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 11.6

Sia . Allora per definizione si pone:

e

 

Ad esempio

Osservazione 11.2

Sia e , messi in una posizione qualunque tra loro, appartengano ad . Allora vale sempre che

 
Dimostrazione

Se ottengo il teorema precedente sull'additività. Negli altri casi si può verificare comunque la relazione usando le convenzioni.

Siccome sono in gli integrali sono definiti e se per esempio , allota

Se ad esempio sappiamo che
inoltre
Dalla relazione precedente, portando al primo membro ottengo
 

La disuguaglianza del modulo

non vale sempre, infatti se il secondo membro è negativo, però vale la seguente:
per ogni comunque messi.

 PrecedenteSuccessivo