Primitive

Definizione ed esempi

Il calcolo delle primitive di una funzione è l'operazione inversa della derivazione di una funzione.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale esprime la relazione che esiste tra primitive e integrali.

Definizione 11.1

Sia $f:I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f:I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, allora $\phi$$\phi$ si dice una primitiva di $f$$f$ se $\phi '(x)=f$$\phi '(x)=f$ per ogni $x\in I$$x\in I$ (quindi $\phi$$\phi$ dev'essere derivabile in tutto $I$$I$).

 

Esempio 11.1

Ad esempio,

• Una primitiva di $f(x)=\cos x$$f(x)=\cos x$ è $\phi (x)=\sin x$$\phi (x)=\sin x$.
• Una primitiva di $f(x)={\frac {1}{x}}$$f(x)={\frac {1}{x}}$ su $\mathbb {R} ^{+}$$\mathbb {R} ^{+}$ è $\phi (x)=\ln x$$\phi (x)=\ln x$
• Una primitiva di $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$$f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ è $\phi (x)=\arctan x$$\phi (x)=\arctan x$.

 

Alcune primitive si possono ricavare leggendo al contrario la tabella di derivazione.

Esistenza delle primitive

Può avvenire che una funzione non ammetta primitiva. Infatti se una funzione $f$$f$ ammette primitiva, $f$$f$ è a sua volta una funzione derivata, quindi deve avere le proprietà delle funzioni derivate.

Ad esempio, se una funzione ha punti di discontinuità di prima specie o eliminabile, essa non può ammettere primitiva, perchè una funzione derivata può avere solo punti di discontinuità di seconda specie.

Considero ad esempio la funzione:

$$f(x)={\begin{cases}-1&{\hbox{per }}x\in [-1,0)\\1&{\hbox{per }}x\in [0,1]\end{cases}}$$

$$f(x)={\begin{cases}-1&{\hbox{per }}x\in [-1,0)\\1&{\hbox{per }}x\in [0,1]\end{cases}}$$

che ha una discontinuità di prima specie in $x=0$$x=0$ e non ammette primitiva in $[-1,1]$$[-1,1]$.

Dimostreremo che una funzione continua ammette sempre primitive, quindi le funzioni elementari hanno sempre primitive e anche le funzioni composte di funzioni elementari hanno primitive negli intervalli in cui sono definite.

Esempio 11.2

• La funzione $f(x)={\rm {{mant}x,\,x\in (0,1)}}$$f(x)={\rm {{mant}x,\,x\in (0,1)}}$ ammette come primitiva $\rho (x)={\frac {1}{2}}\cdot x^{2}$$\rho (x)={\frac {1}{2}}\cdot x^{2}$.
• La funzione $f(x)={\rm {{mant}x\,[0<x<1]}}$$f(x)={\rm {{mant}x\,[0<x<1]}}$ non ammette primitive perchè c'è una discontinuità di prima specie nel punto $x=1$$x=1$, infatti ${\rm {{mant}(1)=0}}$${\rm {{mant}(1)=0}}$.
• La funzione che vale 0 per $x$$x$ irrazionali e 1 per $x$$x$ razionali non ha primitive in alcun intervallo $I$$I$.

 

Calcolo delle primitive

Una complicazione nel calcolo delle primitive deriva dal fatto che, data una funzione derivata, bisogna risalire alla primitiva e ricostruire le semplificazioni fatte per ottenere questa funzione.

Tutte le funzioni elementari ammettono primitive, ma, per alcune di queste funzioni, tra cui $e^{-x^{2}}$$e^{-x^2}$ e $\sin x^{2}$$\sin x^{2}$, si può dimostrare che le primitive non si possono esprimere mediante funzioni elementari e questa è una complicazione non da poco.

Teorema 11.1

Sia $f:I\to \mathbb {R}$$f:I\to \mathbb {R}$, sia $I$$I$ un intervallo e sia $\phi$$\phi$ una primitiva di $f$$f$ in $I$$I$. Allora $\psi$$\psi$ è un'altra primitiva di $f$$f$ in $I$$I$ se e solo se $\psi (x)=\phi (x)+C$$\psi (x)=\phi (x)+C$, ove $C$$C$ è una costante.

(In forma sintetica, se a una primitiva di una funzione in un intervallo si aggiunge una costante arbitraria, al variare della costante si trovano tutte le primitive della funzione in quell'intervallo)

 

Dimostrazione

Questo teorema deriva dal teorema di Lagrange, cioè dalla caratterizzazione delle costanti.

Si dimostra facilmente che se $\phi$$\phi$ è una primitiva di $f$$f$, le funzioni della forma $\phi +C$$\phi +C$ sono primitive di $f$$f$. Bisogna dimostrare che le funzioni della forma $\phi +C$$\phi +C$ sono tutte e sole le primitive di $f$$f$.

$\phi$$\phi$, $\psi$$\psi$ sono due primitive della stessa funzione. Considero la funzione $h(x)=\phi (x)-\psi (x)$$h(x)=\phi (x)-\psi (x)$. E' una funzione derivabile e la sua derivata è

$$h'(x)=\phi '(x)-\psi '(x)=f(x)-f(x)=0$$

$$h'(x)=\phi '(x)-\psi '(x)=f(x)-f(x)=0$$

Se una funzione ha la derivata identicamente uguale a 0 su un intervallo, allora è una costante. Allora

$$h(x)=\phi (x)-\psi (x)=C'$$

$$h(x)=\phi (x)-\psi (x)=C'$$

Quindi $\psi (x)=\phi (x)-C'$$\psi (x)=\phi (x)-C'$ e se chiamo $C=-C'$$C=-C'$ ottengo la tesi.

 

Regole per il calcolo delle primitive

Ad ogni regola di derivazione corrisponde una regola per trovare le primitive.

Il simbolo per indicare tutte le primitive di $f$$f$ in un intervallo è $\int f\,dx$$\int f\,dx$ , che è detto integrale indefinito di $f$$f$.

Regola 1: Sappiamo che la derivata di una combinazione lineare è la combinazione lineare delle derivate.

Di conseguenza, se $f,g$$f,g$ ammettono primitive, anche $\alpha \cdot f+\beta \cdot g$$\alpha \cdot f+\beta \cdot g$ ammette primitiva e la sua primitiva è $\alpha \cdot \int f(x)\,dx+\,\beta \int g(x)\,dx+C$$\alpha \cdot \int f(x)\,dx+\,\beta \int g(x)\,dx+C$.

Esempio 11.3

$$\int (\cos x+\sin x)\,dx=-\cos x+\sin x+C$$

$$\int (\cos x+\sin x)\,dx=-\cos x+\sin x+C$$

 

Regola 2:

$$\int f'(x)\,dx=f(x)+C$$

$$\int f'(x)\,dx=f(x)+C$$

Integrazione per parti

Regola 3 (integrazione per parti):

Questa regola deriva dalla regola di derivazione del prodotto.

Siano $f$$f$ e $g$$g$ due funzioni definite in $I$$I$ a valori in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$. Siano $f,g\in C^{1}(I)$$f,g\in C^{1}(I)$ (cioè appartenenti alla classe delle funzioni derivabili con derivata continua in $I$$I$).

Allora $f\cdot g$$f\cdot g$ è derivabile e per la formula di derivazione del prodotto si ha:

$$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

$$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Il secondo membro ammette primitiva, perchè è una somma di funzioni continue.

Quindi si ottiene

$$\int (f\cdot g)'(x)\,dx=\int f'(x)\cdot g(x)\,dx+\int f(x)\cdot g'(x)\,dx$$

$$\int (f\cdot g)'(x)\,dx=\int f'(x)\cdot g(x)\,dx+\int f(x)\cdot g'(x)\,dx$$

Siccome per la regola precedente $\int (f\cdot g)^{\prime }\,dx=f(x)\cdot g(x)$$\int (f\cdot g)^{\prime }\,dx=f(x)\cdot g(x)$, allora vale la seguente formula:

$$\int f'(x)\cdot g(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)\,dx$$

$$\int f'(x)\cdot g(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)\,dx$$

Questa formula a volte rende più semplici i calcoli.

Esempio 11.4

Calcoliamo $\int x\cdot e^{x}\,dx$$\int x\cdot e^{x}\,dx$. Si può scegliere, a seconda della convenienza, per quale delle due funzioni si vuole trovare la derivata, per l'altra si calcola la primitiva.

In questo caso conviene derivare $x$$x$ e calcolare la primitiva di $e^{x}$$e^x$. Quindi $f'=e^{x}$$f'=e^{x}$, $f(x)=e^{x}$$f(x)=e^x$, $g(x)=x$$g(x)=x$.

$$\int x\cdot e^{x}\,dx=x\cdot e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$$

$$\int x\cdot e^{x}\,dx=x\cdot e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$$

$$\int x\cdot e^{x}\,dx=x\cdot e^{x}-e^{x}+C=e^{x}(x-1)+C$$

$$\int x\cdot e^{x}\,dx=x\cdot e^{x}-e^{x}+C=e^{x}(x-1)+C$$

Ripetendo questo procedimento $n$$n$ volte si possono calcolare le primitive di $\int x^{n}\cdot e^{x}\,dx$$\int x^{n}\cdot e^{x}\,dx$.

Ad esempio, calcoliamo $\int x^{3}\cdot e^{x}\,dx$$\int x^{3}\cdot e^{x}\,dx$

$$f'(x)=e^{x};\,f(x)=e^{x},\,g(x)=x^{3}$$

$$f'(x)=e^{x};\,f(x)=e^{x},\,g(x)=x^{3}$$

$$\int x^{3}\cdot e^{x}\,dx=$$

$$\int x^{3}\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-\int 3x^{2}\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-\int 3x^{2}\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-[e^{x}\cdot 3x^{2}-\int 6x\cdot e^{x}\,dx]=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-[e^{x}\cdot 3x^{2}-\int 6x\cdot e^{x}\,dx]=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+\int 6x\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+\int 6x\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+6x\cdot e^{x}-\int 6\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+6x\cdot e^{x}-\int 6\cdot e^{x}\,dx=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+6x\cdot e^{x}-6\cdot e^{x}=$$

$$x^{3}\cdot e^{x}-e^{x}\cdot 3x^{2}+6x\cdot e^{x}-6\cdot e^{x}=$$

$$e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C$$

$$e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C$$

 

Integrazione per sostituzione

Regola 4: Siano $I,J$$I,J$ un intervalli, e sia $f:I\to \mathbb {R}$$f:I\to \mathbb {R}$ continua. Supponiamo di avere un'altra funzione $P:J\to I$$P:J\to I$ di classe $C^{1}$$C^1$ (cioè continua, derivabile e con derivata continua). Allora posso considerare $f(x)$$f(x)$ per $x\in I$$x\in I$ e $f(P(t))\cdot P'(t)$$f(P(t))\cdot P'(t)$ per $t\in J$$t\in J$.

Chiamo $\phi (x)$$\phi(x)$ una primitiva di $f$$f$ e $\psi (t)$$\psi (t)$ una primitiva di $f(p(t))\cdot f'(t)$$f(p(t))\cdot f'(t)$. Allora il legame tra $\phi$$\phi$ e $\psi$$\psi$ è il seguente:

$$\phi (P(t))=\psi (t)+C$$

$$\phi (P(t))=\psi (t)+C$$

Infatti, la derivata di entrambi i membri è uguale a $f(p(t))\cdot p'(t)$$f(p(t))\cdot p'(t)$.
In base a questo risultato, per trovare una primitiva di $f(P(t))\cdot P'(t)$$f(P(t))\cdot P'(t)$ basta conoscere una primitiva di $f$$f$ e poi calcolarla in $P(t)$$P(t)$.
Viceversa, nell'ipotesi che $P$$P$ sia invertibile, conoscendo una primitiva di $f(P(t))\cdot P'(t)$$f(P(t))\cdot P'(t)$ posso trovare una primitiva di $f$$f$: posso invertire la relazione con il cambio di variabile $P(t)=x$$P(t)=x$, allora $t=P^{-1}(x)$$t=P^{-1}(x)$, e

$$\phi (x)=\psi (P^{-1}(x))+c$$

$$\phi (x)=\psi (P^{-1}(x))+c$$

Esempio 11.5

Calcoliamo

$$\int (\sin t)^{4}\cdot \cos t\,dx.$$

$$\int (\sin t)^{4}\cdot \cos t\,dx.$$

Applicando il risultato precedente, pongo $P(t)=\sin t$$P(t)=\sin t$, quindi $P\colon \mathbb {R} \to [0,1]$$P\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ è sicuramente derivabile.

$$f(P(t))=(\sin t)^{4}$$

$$f(P(t))=(\sin t)^{4}$$

$$p'(t)=\cos t$$

$$p'(t)=\cos t$$

$$f(x)=x^{4}$$

$$f(x)=x^{4}$$

$$f(P(t))\cdot P'(t)=(\sin t)^{4}\cdot \cos t$$

$$f(P(t))\cdot P'(t)=(\sin t)^{4}\cdot \cos t$$

Allora l'integrale da calcolare è uguale a:

$$\int x^{4}\,dx={\frac {x^{5}}{5}}+C$$

$$\int x^{4}\,dx={\frac {x^{5}}{5}}+C$$

risostituisco $x$$x$ con $\sin x$$\sin x$ nella primitiva trovata:

$$\psi (t)={\frac {(\sin t)^{5}}{5}}+C$$

$$\psi (t)={\frac {(\sin t)^{5}}{5}}+C$$

 

Teorema fondamentale dell'algebra per polinomi reali

Nel calcolo degli integrali di funzioni razionali fratte si applica il seguente fatto: ogni polinomio reale si può scrivere come il prodotto di polinomi di grado 1 e 2 irriducibili, ognuno elevato ad un certo esponente (molteplicità).

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio complesso si può scrivere come

$$P_{n}(Z)=A_{n}\cdot (z-\alpha _{1})^{m_{1}}\cdot (z-\alpha _{2})^{m_{2}}\cdot (z-\alpha _{k})^{m_{k}}$$

$$P_{n}(Z)=A_{n}\cdot (z-\alpha _{1})^{m_{1}}\cdot (z-\alpha _{2})^{m_{2}}\cdot (z-\alpha _{k})^{m_{k}}$$

Sappiamo però che se un polinomio a coefficienti reali e ammette una radice complessa $\alpha$$\alpha$, allora ammette anche il suo coniugato ${\bar {\alpha }}$${\bar {\alpha }}$ come radice.

$$(x-\alpha )\cdot (x-{\bar {\alpha }})=$$

$$(x-\alpha )\cdot (x-{\bar {\alpha }})=$$

$$x^{2}-x\cdot {\bar {\alpha }}-\alpha x+\alpha \cdot {\bar {\alpha }}=$$

$$x^{2}-x\cdot {\bar {\alpha }}-\alpha x+\alpha \cdot {\bar {\alpha }}=$$

$$x^{2}+(-\alpha -{\bar {\alpha }})x+\alpha \cdot {\bar {\alpha }}=$$

$$x^{2}+(-\alpha -{\bar {\alpha }})x+\alpha \cdot {\bar {\alpha }}=$$

$\alpha \cdot {\bar {\alpha }}$$\alpha \cdot {\bar {\alpha }}$ è un numero reale e anche $-\alpha -{\bar {\alpha }}$$-\alpha -{\bar {\alpha }}$ è reale, perché la parte immaginaria si elimina.

Quindi si può concludere che un polinomio a coefficienti reali di grado $n$$n$ si può scrivere come il prodotto di polinomi a coefficienti reali di primo e secondo grado elevati ad opportuni esponenti (la molteplicità).

Proviamo il fatto che se un polinomio ha una certa radice $\alpha$$\alpha$, allora anche ${\bar {\alpha }}$${\bar {\alpha }}$ sarà una radice:

Dimostrazione

Considero un polinomio a coefficienti reali della forma:

$$a_{0}+a_{1}\cdot z+a_{2}\cdot z^{2}+\dots +a_{n}\cdot z^{n}=0$$

$$a_{0}+a_{1}\cdot z+a_{2}\cdot z^{2}+\dots +a_{n}\cdot z^{n}=0$$

Se questo polinomio ammette una radice $\alpha$$\alpha$, allora

$$a_{0}+a_{1}\cdot \alpha +a_{2}\cdot (\alpha )^{2}+a_{n}\cdot (\alpha )^{n}=0$$

$$a_{0}+a_{1}\cdot \alpha +a_{2}\cdot (\alpha )^{2}+a_{n}\cdot (\alpha )^{n}=0$$

facendo il coniugato di entrambi i membri si ottiene:

$$a_{0}+a_{1}\cdot ({\bar {\alpha }})+a_{2}\cdot ({\bar {\alpha }})^{2}+a_{n}\cdot ({\bar {\alpha }}_{n})^{n}=0$$

$$a_{0}+a_{1}\cdot ({\bar {\alpha }})+a_{2}\cdot ({\bar {\alpha }})^{2}+a_{n}\cdot ({\bar {\alpha }}_{n})^{n}=0$$

e quindi anche ${\bar {\alpha }}$${\bar {\alpha }}$ è una radice.