L'integrale di Riemann è definito per funzioni limitate e definite in un intervallo chiuso e limitato
.
Con il concetto di integrale improprio vogliamo dare un significato all'integrale di una funzione
su un intervallo
, anche quando la funzione non è limitata nell'intorno di
o di
, oppure quando gli estremi dell'intervallo sono
o
.
Sia
una funzione definita in
.
La funzione sia integrabile in ogni intervallo
con
, quindi si può calcolare

con

compreso tra

e

.

è la funzione integrale.
La funzione
ammette integrale improprio in
se esiste
![{\displaystyle \lim _{x\to a+}[\int _{x}^{b}f(t)\,dt]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/76274ec5a77e20cdb694a1026d19a30b12b36ee3)
Il limite potrebbe non esistere o essere infinito: in questi casi non si può definire l'integrale di

neanche mediante l'integrale improprio.
Se la funzione fosse limitata, il limite sarebbe l'integrale, perché la funzione sarebbe integrabile in tutto
![[a,b]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
. Se la funzione è positiva e integrabile, l'area del sottografico che è una figura illimitata è un numero finito!
Se esiste finito, il limite si indica con
Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma 1/t^n[modifica | modifica wikitesto]

Queste funzioni non sono definite in

![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=\lim _{x\to 0+}[\int _{x}^{1}1/(t^{\alpha })\,dt]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3ee277f3f794468a8e8c31a561b5fd71acbf1105)
Per

ottengo:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=[\log t]_{x}^{1}=\log 1-\log x=-\log x\rightarrow +\infty \quad x\to 0^{+}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b42ca7f95bbb5a93f6e0c5e095a31b3e4336f417)
Per

una primitiva di

è
![{\displaystyle [1/(1-\alpha )*t^{1-\alpha }]_{x}^{1}=1/(1-\alpha )*[1-x^{1-\alpha }]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9001951572ff9b379bc8f775b27f48c215d49372)
Se

questa quantità converge a

per

, se

la quantità tende a

.
Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in

, allora si integra negli intervalli
![{\displaystyle [a,x]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/692f0edd0d40232c8a69ed5de7b142e1e343eff7)
, con

poi si calcola il limite per

.
Esempio 11.7
![{\displaystyle f([a,b]\to \mathbb {R} )=f(x)={\frac {1}{(b-x)^{\alpha }}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/01f2009ef37eb1c548752688b2a3ef1f288a9997)
E' integrabile per

.
Se

l'integrale diverge.
Sia
la funzione
.
è integrabile in ogni intervallo chiuso
, con
.
Allora si considera:

Se il limite è finito, lo si pone

.
Se il limite non esiste la funzione non è integrabile in
.
Esempio 11.8
Vogliamo stabilire se le funzioni
sono integrabili in 

Per

, ottengo

Non esiste l'integrale di

in
Altrimenti la primitiva è

Se

il limite va a

e l'integrale improprio non esiste, mentre se

la quantità tende a

(stesso comportamento delle serie).
Funzioni illimitate possono avere un'area finita su
. Per esempio considero una funzione:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }2^{n}{\mathcal {X}}_{[n,n+2^{2}n]}(x)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7784e622562536bf506a74b4007e41ce0bb8ddb9)
è non limitata ma integrabile.
Criteri per le funzioni ricavati dalla condizione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]
Dal criterio di Cauchy per le serie si ricava che se una serie converge assolutamente allora converge anche in senso ordinario e quindi per il criterio del confronto se una serie in modulo è minorante di una serie convergente, allora converge.
Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:
Criterio 1: Sia
,
integrabile in ogni intervallo chiuso
, con
.
Se
e
, allora, se
è integrabile in
anche
lo è.
(se
è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)
Inoltre, se

, se g è integrabile, lo è anche

e vale

.
Esempio 11.9
In base al criterio, posso concludere che esiste

Infatti in modulo la funzione è minore di

e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente

e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.
Sono quindi valide le considerazioni fatte per le serie.
Criterio 2: Sia
,
integrabile in ogni
,
per ogni t in
, allora se
è integrabile in
lo è anche
.
Inoltre se è verificato il punto precedente vale la condizione:
Supponiamo di avere una funzione
,
e
finiti. Supponiamo che
sia integrabile in ogni intervallo
in cui è definita la funzione.
Questa funzione ammette integrale di terza specie se fissato un C entro
esiste l'integrale di prima specie tra
e
di
ed esiste anche l'integrale di prima specie tra
e
.
L'esistenza non dipende dal punto in cui viene fissato C.
Nel caso entrambi esistono si pone:

L'esistenza dell'integrale non dipende dal punto C.
Si lavora separatamente vicino ad A e a B.
Esempio 11.10
Considero la funzione
per x compreso tra
e
.
Questa funzione non è integrabile in
, perché

e

Ma se calcolo:

Nonostante ciò, secondo la definizione

non è integrabile.
Considero
. F è integrabile per ogni intervallo
con
.
In

la funzione non è definita.
Esempio 11.11
Considero
, essa è integrabile in ogni intervallo
e ho un asintoto verticale in
.
Fisso un punto c con
, considero quello che succede tra a e c e poi quello che succede tra c e
.
Se i due integrali esistono si fa la somma e si pone

Se cambia c, la somma non varia.
Esempio 11.12

Anche questo integrale non esiste in

, poichè esiste in

, ma non esiste in
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
.
Se
è singolare in n punti
, posso cercare di definire l'integrale tra a e
divido questo intervallo in tanti pezzi.
Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli
![{\displaystyle (a,x_{1}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b2044bddd58174a918d620af609338bba7b39897)
,
![[x_1,x_2]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/91bdff343d848c2b70c68b5c04a2479b14a9fef0)
,
![{\displaystyle [x_{2},x_{3}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/aa8abf73ee9c4e88690839031b75276eed9b8cc6)
,
![{\displaystyle [x_{3},x_{n}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4244ba38c0424c0591635476aaf2616096ac50f6)
,

e ottengo l'integrale in

Esempio 11.13
Verifichiamo se esiste
![{\displaystyle \int {\frac {|\arctan(x-1)|^{1/2}*\sin x}{{\sqrt[{3}]{x^{2}}}*\log x}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b9e01974e9d5eef427e18b0264e27b3577df9e99)
Ci sono problemi nei punti

,

,

.
Considero gli asintotici della funzione per

,

,

. Infatti se

allora

e quindi per il teorema del confronto se

è integrabile, anche

è integrabile.
Per
,
, infatti:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {|\arctan(x-1)|^{1/2}*\sin x}{{\sqrt[{3}]{x^{2}}}*\log x}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/76e088c433a224656e5904f07b11bdf9e1122f67)


da cui

quindi la funzione è integrabile nell'intervallo

.
Per

,

. Infatti
![{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {|\arctan(x-1)|^{1/2}*\sin x}{{\sqrt[{3}]{x^{2}}}*\log x}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/166f0819822c8ef2df7e107eb56965480581a2f6)



da cui:

ammette integrale di prima specie in

.
Per
, per,

Quindi è integrabile anche nell'intorno di

, da cui la funzione è integrabile in

.
Teorema 11.10
Sia
in
,
continua,
,
monotona decrescente, (ad esempio
).
Allora esiste

se e solo se la serie

converge.
Dimostrazione
La serie è a termini positivi, la funzione integrale è monotona decrescente.

Consideriamo la funzione



da cui

Quindi si ricava subito che:

è finito se e sole se

converge.