Integrali impropri

L'integrale di Riemann è definito per funzioni limitate e definite in un intervallo chiuso e limitato .

Con il concetto di integrale improprio vogliamo dare un significato all'integrale di una funzione su un intervallo , anche quando la funzione non è limitata nell'intorno di o di , oppure quando gli estremi dell'intervallo sono o .

Integrali impropri di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione definita in .

La funzione sia integrabile in ogni intervallo con , quindi si può calcolare

con compreso tra e . è la funzione integrale.

La funzione ammette integrale improprio in se esiste

Il limite potrebbe non esistere o essere infinito: in questi casi non si può definire l'integrale di neanche mediante l'integrale improprio.
Se la funzione fosse limitata, il limite sarebbe l'integrale, perché la funzione sarebbe integrabile in tutto . Se la funzione è positiva e integrabile, l'area del sottografico che è una figura illimitata è un numero finito!
Se esiste finito, il limite si indica con

Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma 1/t^n[modifica | modifica wikitesto]

Queste funzioni non sono definite in
Per ottengo:
Per una primitiva di è
Se questa quantità converge a per , se la quantità tende a .

Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in , allora si integra negli intervalli , con poi si calcola il limite per .
Esempio 11.7

E' integrabile per . Se l'integrale diverge.

 

Integrali impropri di seconda specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia la funzione . è integrabile in ogni intervallo chiuso , con . Allora si considera:

Se il limite è finito, lo si pone .

Se il limite non esiste la funzione non è integrabile in .


Esempio 11.8

Vogliamo stabilire se le funzioni sono integrabili in

Per , ottengo
Non esiste l'integrale di in

Altrimenti la primitiva è

Se il limite va a e l'integrale improprio non esiste, mentre se la quantità tende a (stesso comportamento delle serie).

 

Funzioni illimitate possono avere un'area finita su . Per esempio considero una funzione:

è non limitata ma integrabile.

Criteri per le funzioni ricavati dalla condizione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Dal criterio di Cauchy per le serie si ricava che se una serie converge assolutamente allora converge anche in senso ordinario e quindi per il criterio del confronto se una serie in modulo è minorante di una serie convergente, allora converge.

Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:

Criterio 1: Sia , integrabile in ogni intervallo chiuso , con .

Se e , allora, se è integrabile in anche lo è. (se è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)

Inoltre, se , se g è integrabile, lo è anche e vale .
Esempio 11.9

In base al criterio, posso concludere che esiste

Infatti in modulo la funzione è minore di e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.

 

Sono quindi valide le considerazioni fatte per le serie.

Criterio 2: Sia , integrabile in ogni , per ogni t in , allora se è integrabile in lo è anche .

Inoltre se è verificato il punto precedente vale la condizione:

Integrali impropri di terza specie[modifica | modifica wikitesto]

Caso 1[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere una funzione , e finiti. Supponiamo che sia integrabile in ogni intervallo in cui è definita la funzione.

Questa funzione ammette integrale di terza specie se fissato un C entro esiste l'integrale di prima specie tra e di ed esiste anche l'integrale di prima specie tra e .

L'esistenza non dipende dal punto in cui viene fissato C. Nel caso entrambi esistono si pone:

L'esistenza dell'integrale non dipende dal punto C.
Si lavora separatamente vicino ad A e a B.

Esempio 11.10

Considero la funzione per x compreso tra e .


Questa funzione non è integrabile in , perché

e
Ma se calcolo:
Nonostante ciò, secondo la definizione non è integrabile.

 

Caso 2[modifica | modifica wikitesto]

Considero . F è integrabile per ogni intervallo con .

In la funzione non è definita.
Esempio 11.11

Considero , essa è integrabile in ogni intervallo e ho un asintoto verticale in .

Fisso un punto c con , considero quello che succede tra a e c e poi quello che succede tra c e . Se i due integrali esistono si fa la somma e si pone

Se cambia c, la somma non varia.

 


Esempio 11.12

Anche questo integrale non esiste in , poichè esiste in , ma non esiste in .

 

Caso 3[modifica | modifica wikitesto]

Se è singolare in n punti , posso cercare di definire l'integrale tra a e divido questo intervallo in tanti pezzi.

Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli , , , , e ottengo l'integrale in
Esempio 11.13

Verifichiamo se esiste

Ci sono problemi nei punti , , .
Considero gli asintotici della funzione per , , . Infatti se allora e quindi per il teorema del confronto se è integrabile, anche è integrabile.

Per , , infatti:

da cui
quindi la funzione è integrabile nell'intervallo .
Per , . Infatti
da cui:
ammette integrale di prima specie in .

Per , per,

Quindi è integrabile anche nell'intorno di , da cui la funzione è integrabile in .

 

Integrali e serie[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 11.10

Sia in , continua, , monotona decrescente, (ad esempio ). Allora esiste

se e solo se la serie
converge.

 
Dimostrazione

La serie è a termini positivi, la funzione integrale è monotona decrescente.

Consideriamo la funzione
da cui
Quindi si ricava subito che:
è finito se e sole se converge.

 
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