Funzione integrale

Definizione 11.7

Supponiamo di avere una funzione $f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$$f\in {\mathfrak {R}}[a,b]$. Fissiamo $x_{0}$$x_0$ e $x$$x$ entro $[a,b]$$[a,b]$. Allora

$$\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt$$

$$\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt$$

dipende da $x$$x$ e da $x_{0}$$x_0$ (siccome la funzione è integrabile in $[a,b]$$[a,b]$ è integrabile anche in un sottointervallo).

Se fisso $x_{0}$$x_0$ e faccio variare $x$$x$, allora

$$F_{x_{0}}(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$$

$$F_{x_{0}}(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$$

si dice funzione integrale.

 

E' una funzione definita su $[a,b]$$[a,b]$ e dipende solo da $x$$x$, $x_{0}$$x_0$ è fissato. Se cambio $x_{0}$$x_0$ la funzione cambia ma conserva le sue proprietà.

Se scelgo $x_{1}$$x_{1}$ invece di $x_{0}$$x_0$ e calcolo $F_{x_{1}}(x)$$F_{x_{1}}(x)$ questa funzione differisce dalla precedente per una costante. Infatti

$$F_{x_{0}}(x)-F_{x_{1}}(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt+\int _{x}^{x_{1}}f(t)\,dt$$

$$F_{x_{0}}(x)-F_{x_{1}}(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt+\int _{x}^{x_{1}}f(t)\,dt$$

(ho cambiato segno all'integrale e quindi ho invertito gli estremi)

Per additività ottengo

$$\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt=C$$

$$\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt=C$$

Allora la differenza tra queste due funzioni è una costante.

Proprietà della funzione integrale

Teorema 11.7

Sia $f$$f$ R-integrabile su $[a,b]$$[a,b]$, $|f(x)|\leq M,\,\forall x\in [a,b]$$|f(x)|\leq M,\,\forall x\in [a,b]$ (quest'ipotesi è inclusa nel fatto che $f$$f$ sia integrabile). Sia $F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt$$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt$ allora:

1. $F$$F$ è uniformemente continua in $[a,b]$$[a,b]$
2. se in ${\bar {x}}$$\bar x$ $f$$f$ è continua, in ${\bar {x}}$$\bar x$ $F$$F$ è derivabile e vale $F'({\bar {x}})=f({\bar {x}})$$F'({\bar {x}})=f({\bar {x}})$

 

Nota: se $f$$f$ ha una discontinuità di prima specie in ${\bar {x}}$$\bar x$, allora la proprietà 2 non è valida. Se una funzione è continua nell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$, allora la funzione integrale è una primitiva di $f$$f$ su $[a,b]$$[a,b]$ e quindi le primitive di $f$$f$ sono quelle della forma $F+c$$F+c$.

Dimostrazione

1. Siano $x_{1}$$x_{1}$ ed $x_{2}$$x_{2}$ entro $[a,b]$$[a,b]$. Valutiamo
   $$|F(x_{1})-F(x_{2})|=|\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(t)\,dt|$$

   $$|F(x_{1})-F(x_{2})|=|\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(t)\,dt|$$
   Invertendo gli estremi del secondo integrale ottengo
   $$|F(x_{1})-F(x_{2})|=|\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{2}}^{x_{0}}f(t)\,dt|=|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|$$

   $$|F(x_{1})-F(x_{2})|=|\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{2}}^{x_{0}}f(t)\,dt|=|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|$$
   Per il teorema dei moduli:
   $$|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|\leq |\int _{x_{2}}^{x_{1}}|f(t)|\,dt|$$

   $$|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|\leq |\int _{x_{2}}^{x_{1}}|f(t)|\,dt|$$
   Ma siccome $|f(t)|<M$$|f(t)|<M$, allora $|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|\leq |x_{2}-x_{1}|*M$$|\int _{x_{2}}^{x_{1}}f(t)\,dt|\leq |x_{2}-x_{1}|*M$ quindi $|F(x_{1})-F(x_{2})|\leq M*|x_{2}-x_{1}|$$|F(x_{1})-F(x_{2})|\leq M*|x_{2}-x_{1}|$. Quindi la funzione è lipschitziana e uniformemente continua.
2. Mostriamo che il rapporto incrementale tende a $f({\bar {x}})$$f({\bar {x}})$. Devo dimostrare che
   $$|{\frac {F(x)-F({\bar {x}})}{x-{\bar {x}}}}-f({\bar {x}})|\,\to 0\,{\hbox{ per }}x\to {\bar {x}}$$

   $$|{\frac {F(x)-F({\bar {x}})}{x-{\bar {x}}}}-f({\bar {x}})|\,\to 0\,{\hbox{ per }}x\to {\bar {x}}$$
   Riscrivendo ottengo:
   $$|{\frac {\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{\bar {x}}f(t)\,dt}{x-{\bar {x}}}}-1/(x-{\bar {x}})*\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|$$

   $$|{\frac {\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{\bar {x}}f(t)\,dt}{x-{\bar {x}}}}-1/(x-{\bar {x}})*\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|$$
   Raccolgo $|x-{\bar {x}}|$$|x-{\bar {x}}|$
   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{\bar {x}}f(t)\,dt-\int _{x}^{\bar {x}}f({\bar {x}})\,dt|=$$

   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int _{x_{0}}^{\bar {x}}f(t)\,dt-\int _{x}^{\bar {x}}f({\bar {x}})\,dt|=$$
   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|-\int _{\bar {x}}^{x}f(t)\,dt-\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|=$$

   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|-\int _{\bar {x}}^{x}f(t)\,dt-\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|=$$
   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{\bar {x}}^{x}f(t)\,dt-\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|=$$

   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{\bar {x}}^{x}f(t)\,dt-\int _{\bar {x}}^{x}f({\bar {x}})\,dt|=$$
   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{\bar {x}}^{x}[f(t)-f({\bar {x}})]\,dt|\leq {\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}\int _{\bar {x}}^{x}|f(t)-f({\bar {x}})|\,dt$$

   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*|\int _{\bar {x}}^{x}[f(t)-f({\bar {x}})]\,dt|\leq {\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}\int _{\bar {x}}^{x}|f(t)-f({\bar {x}})|\,dt$$
   Sfrutto la continuità della funzione. Poiché la funzione è continua, fissato un $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ troviamo un $\delta >0$$\delta>0$ tale che se $|t-{\bar {x}}|<\delta$$|t-{\bar {x}}|<\delta$, si ha $|f(t)-f({\bar {x}})|<\varepsilon$$|f(t)-f({\bar {x}})|<\varepsilon$.Se $x-{\bar {x}}<\delta$$x-{\bar {x}}<\delta$, allora anche $|t-{\bar {x}}|<\delta$$|t-{\bar {x}}|<\delta$, (nell'integrale $t$$t$ varia tra $x$$x$ e ${\bar {x}}$$\bar x$), allora
   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*\int _{\bar {x}}^{x}|f(t)-f({\bar {x}})|\,dt\leq {\frac {1}{|x-{\bar {x}}|}}\int _{\bar {x}}^{x}\varepsilon \,dt=\varepsilon$$

   $${\frac {1}{|{\bar {x}}-x|}}*\int _{\bar {x}}^{x}|f(t)-f({\bar {x}})|\,dt\leq {\frac {1}{|x-{\bar {x}}|}}\int _{\bar {x}}^{x}\varepsilon \,dt=\varepsilon$$
   Fissato $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ ho trovato $\delta$$\delta$ tale che se $x-{\bar {x}}<\delta$$x-{\bar {x}}<\delta$, allora ${\frac {F(x)-F({\bar {x}})}{h}}-f(x)<\varepsilon$${\frac {F(x)-F({\bar {x}})}{h}}-f(x)<\varepsilon$ e quindi il rapporto incrementale tende a $f(x)$$f(x)$

 

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema 11.8

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ con $-\infty <a<b<+\infty$$-\infty <a<b<+\infty$, $f$$f$ continua su $[a,b]$$[a,b]$. Allora se $G$$G$ è una primitiva di $f$$f$ si ha

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)-G(a)$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)-G(a)$$

 

Nota: Siccome $f$$f$ è continua, è anche limitata e quindi integrabile, quindi l'iintegrale di $f(x)$$f(x)$ esiste. Una funzione integrale qualsiasi è una primitiva di $f$$f$, quindi $f$$f$ ammette primitiva.

Dimostrazione

La dimostrazione deriva dai teoremi precedenti.

$G(x)=F_{x_{0}}(x)+C$$G(x)=F_{x_{0}}(x)+C$ per il teorema dimostrato precedentemente sulle proprietà della funzione integrale. Questo implica che $G(b)-G(a)=F_{x_{0}}(b)-F_{x_{0}}(a)$$G(b)-G(a)=F_{x_{0}}(b)-F_{x_{0}}(a)$, ma questo equivale a

$$\int _{x_{0}}^{b}f(x)\,dx-\int _{x_{0}}^{a}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{x_{0}}^{b}f(x)\,dx-\int _{x_{0}}^{a}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

 

Questo teorema afferma che se conosco la primitiva di una funzione, allora l'integrale della funzione in $[a,b]$$[a,b]$ è la differenza tra le primitive valutate nei due estremi dell'intervallo.

In ogni caso il calcolo delle primitive presenta delle difficoltà. Infatti, non è detto che partendo da funzioni che si esprimono mediante funzioni elementari, si ottenga come primitiva una funzione che si esprime mediante funzioni elementari.

Calcolando la primitiva di una funzione la sua espressione analitica si complica.

Teorema della media integrale

Teorema 11.9

Sia $f$$f$ continua su $[a,b]$$[a,b]$, allora esiste un ${\bar {x}}$$\bar x$ in $(a,b)$$(a,b)$ tale che

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f({\bar {x}})*(b-a)$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f({\bar {x}})*(b-a)$$

 

Dimostrazione

Si osserva che se $|f(x)|\leq M$$|f(x)|\leq M$ è integrabile, allora

$$-M(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

$$-M(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

equivalentemente, se $f(x)$$f(x)$ è compresa tra $m=\min f(x)$$m=\min f(x)$ e $M=\max(f(x))$$M=\max(f(x))$, allora

$$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

$$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

Essendo continua, $f$$f$ assume tutti i valori tra $m$$m$ e $M$$M$ poichè si ha:

$$m<{\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}<M$$

$$m<{\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}<M$$

per il teorema di Darboux esiste ${\bar {x}}$$\bar x$ tale che ${\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}=f({\bar {x}})$${\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}=f({\bar {x}})$

 

Integrale di Cauchy

Esercizio 11.1

Sia $f(x)$$f(x)$ continua in $[a,b]$$[a,b]$, sia $[a,b]$$[a,b]$ chiuso e limitato, allora

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to +\infty }1/n*[\sum _{k=1}^{n}f(a+k*(b-a)/n)]$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to +\infty }1/n*[\sum _{k=1}^{n}f(a+k*(b-a)/n)]$$

Nell'integrale di Cauchy si prende una partizione dell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$ in n intervallini di lunghezza $(b-a)/n$$(b-a)/n$ relative a suddivisioni di passo costante.

Il limite rappresenta un numero che sta tra le somme inferiori e superiori.

Si mostra facilmente che questo limite è uguale a $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ facendo vedere che nel caso di funzioni continue il $\sup$$\sup$ delle somme inferiori, con suddivisioni a passo costante, è uguale all'$\inf$$\inf$ delle somme superiori riferite alle stesse suddivisioni.

 

Teorema fondamentale per le funzioni discrete

Supponiamo di avere una sommatoria $\sum _{k=1}^{N}f(k)$$\sum _{k=1}^{N}f(k)$ e supponiamo di sapere che $f(k)=F(k+1)-F(k)$$f(k)=F(k+1)-F(k)$. Allora

$$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\sum _{k=1}^{n}[F(k+1)-F(k)]=F(n+1)-F(1)$$

$$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\sum _{k=1}^{n}[F(k+1)-F(k)]=F(n+1)-F(1)$$

Interpretandola banalmente come una primitiva di $f$$f$ si ha il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni discrete.