Funzione integrabile

Definizione 11.5

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$, con $-\infty <a<b<+\infty$$-\infty <a<b<+\infty$ e $|f(x)|\leq M$$|f(x)|\leq M$. La funzione $f$$f$ si dice integrabile su $[a,b]$$[a,b]$ se

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$$

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$$

e il valore comune si chiama integrale su $[a,b]$$[a,b]$ e si denota con

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

 

Esempio 11.6

Osserviamo che non sempre l'integrale superiore è uguale a quello inferiore, ad esempio se consideriamo la funzione di Dirichlet,

$$f:[0,1]\to \mathbb {R} \,f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}$$

$$f:[0,1]\to \mathbb {R} \,f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}$$

Fatta una qualsiasi suddivisione $P$$P$, in ogni intervallo della suddivisione ci sono numeri irrazionali, quindi $\inf(f)$$\inf(f)$ in ogni intervallo è $0$$0$. Quindi $s(p)[0,1]=0$$s(p)[0,1]=0$.
$S(p)=1$$S(p)=1$, perchè in ogni intervallo della suddivisione vi sono numeri razionali. Quindi $S(p)[0,1]$$S(p)[0,1]$ è 1.

Questa funzione non è integrabile, perchè ${\underline {\int _{a}^{b}}}\neq {\overline {\int _{a}^{b}}}$${\underline {\int _{a}^{b}}}\neq {\overline {\int _{a}^{b}}}$.

 

Quest'esempio mostra che bisogna capire quali sono le classi di funzioni integrabili.

Vedremo che le funzioni monotone e le funzioni continue su un intervallo con un numero finito di discontinuità sono integrabili. Anche le funzioni monotone a pezzi e continue a pezzi sono integrabili.

Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità

Criterio: Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ limitata. Allora, $f$$f$ è integrabile su $[a,b]$$[a,b]$ se e solo se $\forall \varepsilon >0$$\forall \varepsilon >0$ esiste una suddivisione $p_{\varepsilon }$$p_{\varepsilon }$ tale che

$$S(p_{\varepsilon })-s(p_{\varepsilon })<\varepsilon$$

$$S(p_{\varepsilon })-s(p_{\varepsilon })<\varepsilon$$

Dimostrazione

Supponiamo che esista una suddivisione che soddisfa la tesi. Allora si ha che:

$$s(p_{\varepsilon })\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(P(\varepsilon ))$$

$$s(p_{\varepsilon })\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(P(\varepsilon ))$$

Allora la differenza

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{\varepsilon })-s(p_{\varepsilon })<\varepsilon$$

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{\varepsilon })-s(p_{\varepsilon })<\varepsilon$$

Allora per arbitrarietà di $\varepsilon$$\varepsilon$ l'integrale superiore è uguale a quello inferiore.

Viceversa, se $f$$f$ è integrabile, esistono partizioni $p_{1}$$p_{1}$ e $p_{2}$$p_{2}$ tali che

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-\varepsilon /2\leq s(p_{1})\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{2})\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon /2$$

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-\varepsilon /2\leq s(p_{1})\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{2})\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon /2$$

Se prendo un raffinamento $p_{\ast }$$p_{\ast }$ comune a $p_{1}$$p_{1}$ e $p_{2}$$p_{2}$ ottengo

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-\varepsilon /2\leq s(p\ast )\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{\ast })\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon /2$$

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-\varepsilon /2\leq s(p\ast )\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq S(p_{\ast })\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon /2$$

quindi

$$S(p_{\ast })-s(p_{\ast })<{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon$$

$$S(p_{\ast })-s(p_{\ast })<{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+\varepsilon$$

Siccome $f$$f$ è integrabile per ipotesi, allora ${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$ e ottengo:

$$S(p_{\ast })-s(p_{\ast })<\varepsilon$$

$$S(p_{\ast })-s(p_{\ast })<\varepsilon$$

 

Da questo teorema e da quello di continuità uniforme si può dimostrare il seguente teorema:

Teorema 11.2

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ con $-\infty <a<b<+\infty$$-\infty <a<b<+\infty$ una funzione continua su $[a,b]$$[a,b]$, allora $f$$f$ è integrabile su $[a,b]$$[a,b]$.

 

Dimostrazione

Siccome $f$$f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora è limitata, perchè ammette massimo e minimo (quindi l'ipotesi che $f$$f$ sia limitata non è necessaria).

La funzione è continua in un compatto e per Heine-Cantor è uniformemente continua. Quindi se fisso ${\frac {\varepsilon }{b-a}}\geq 0$${\frac {\varepsilon }{b-a}}\geq 0$, esiste $\delta >0$$\delta>0$ tale che

$$\forall x,y\in [a,b]\,,\,|x-y|<\delta ,\quad {\hbox{segue che}}|f(x)-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{b-a}}$$

$$\forall x,y\in [a,b]\,,\,|x-y|<\delta ,\quad {\hbox{segue che}}|f(x)-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{b-a}}$$

Consideriamo una suddivisione $p$$p$ tale che $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$$a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$ tale che $\max(x_{k}-x_{k-1})<\delta$$\max(x_{k}-x_{k-1})<\delta$.

Allora $L_{k}-l_{k}\leq {\frac {\varepsilon }{b-a}}$$L_{k}-l_{k}\leq {\frac {\varepsilon }{b-a}}$ perchè per la definizione di continuità uniforme due qualsiasi valori distinti della funzione hanno differenza minore di $\varepsilon$$\varepsilon$.

Allora $S(p)-s(p)=\sum _{k=1}^{n}(L_{k}-l_{k})*(x_{k}-x_{k-1})\leq {\frac {\varepsilon }{b-a}}*\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\leq \varepsilon$$S(p)-s(p)=\sum _{k=1}^{n}(L_{k}-l_{k})*(x_{k}-x_{k-1})\leq {\frac {\varepsilon }{b-a}}*\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\leq \varepsilon$.

 

Interpretazione geometrica

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ tale che $|f(x)|\leq M$$|f(x)|\leq M$ e data una partizione $p$$p$ dell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$ chiuso e limitato, abbiamo considerato le somme inferiori

$$s(p)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})*l_{k}$$

$$s(p)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})*l_{k}$$

e le somme superiori

$$S(p)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})*L_{k}$$

$$S(p)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})*L_{k}$$

Abbiamo definito

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx=\sup\{(s(p)),\,p\in \mathbb {S} \}$$

$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx=\sup\{(s(p)),\,p\in \mathbb {S} \}$$

$${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx=\inf\{(S(p)),\,p\in \mathbb {S} \}$$

$${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx=\inf\{(S(p)),\,p\in \mathbb {S} \}$$

Se $f$$f$ è Riemann-integrabile su $[a,b]$$[a,b]$ (cioè se ${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$) e supponiamo che $f(x)<M$$f(x)<M$ e $f\geq 0,\,\forall x\in [a,b]$$f\geq 0,\,\forall x\in [a,b]$, tracciando il grafico della funzione si forma un trapezoide $F$$F$ compreso tra l'asse x, le rette $x=a$$x=a$ e $x=b$$x=b$ e il grafico di $f(x)$$f(x)$. Per definizione l'area del trapezoide $F$$F$ è:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

Generalmente dato un insieme il cui contorno non sia un trapezoide si può dividere in tanti trapezoidi e calcolare l'area di ciascuno. L'area dell'insieme è la somma delle aree dei trapezoidi.

Geometricamente, l'integrabilità di $f(x)$$f(x)$ si traduce nel fatto che c'è un plurirettangolo di misura piccola a piacere che contiene il grafico della funzione $y=f(x)$$y=f(x)$, si veda il criterio di integrabilità.

Funzioni discontinue

Come già dimostrato, se una funzione è continua in $[a,b]$$[a,b]$, allora è integrabile. Si può anche mostrare che

Proposizione 11.1

Se una funzione ha un'infinità numerabile di punti di discontinuità, è ancora integrabile.

 

Dimostrazione

Noi mostreremo questo nel caso finito. Le discontinuità in numero finito, si possono isolare. Supponiamo prima che la funzione abbia un unico punto di discontinuità. Sia $c$$c$ il punto di discontinuità, allora per ogni $\delta >0$$\delta >0$ negli intervalli $[a,c-\delta ]$$[a,c-\delta ]$ e $[c+\delta ,b]$$[c+\delta ,b]$ la funzione è continua. In ognuno dei due intervalli prendo una partizione in modo che la distanza tra somme superiori e somme inferiori sia minore di $\varepsilon /3$$\varepsilon /3$.

Se considero l'intervallo $[c-\delta ,c+\delta ]$$[c-\delta ,c+\delta ]$ la lunghezza è $2\delta$$2\delta$ e la variazione massima delle $f$$f$ è $2M$$2M$. Quindi $4M*\delta$$4M*\delta$ è il massimo contributo che l'intervallino $[c-\delta ,c+\delta ]$$[c-\delta ,c+\delta ]$ può dare differenza tra le somme superiori e inferiori. Pongo $\varepsilon /3=4\delta *M$$\varepsilon /3=4\delta *M$ Allora se considero la partizione $P^{\ast }$$P^{\ast }$ in cui aggiungo l'intervallo $[c-\delta ,c+\delta ]$$[c-\delta ,c+\delta ]$ ottengo:

$$S(P^{\ast })-s(P^{\ast })\leq 2S(p)-2s(p)+4\delta *m\leq \varepsilon$$

$$S(P^{\ast })-s(P^{\ast })\leq 2S(p)-2s(p)+4\delta *m\leq \varepsilon$$

Si procede allo stesso modo se i punti di discontinuità sono numerabili, associando a ognuno un intervallino $I_{k}$$I_{k}$ in modo che $\sum l(I_{k})<{\frac {\varepsilon M}{3}}$$\sum l(I_{k})<{\frac {\varepsilon M}{3}}$ se $|f(x)|\leq M$$|f(x)|\leq M$.

 

Integrabilità delle funzioni monotone

Teorema 11.3

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$, $f$$f$ monotona in $[a,b]$$[a,b]$, allora $f$$f$ è integrabile.

 

(una funzione monotona in un intervallo assume sup e inf nei due estremi. In questo caso l'intervallo in cui la funzione è definita è limitato, quindi l'ipotesi che la funzione sia limitata è già inclusa nell'ipotesi che $f$$f$ sia monotona in un intervallo).

Dimostrazione

Supponiamo che $f$$f$ sia monotona crescente. Prendiamo una suddivisione di $[a,b]$$[a,b]$ in n parti, allora $x_{k}=[(b-a)/n]*k+a$$x_{k}=[(b-a)/n]*k+a$. Infatti se $k=0$$k=0$ ottengo $x_{k}=a$$x_{k}=a$ e se $k=b$$k=b$ ottengo $x_{k}=b-a+a=b$$x_{k}=b-a+a=b$. Calcolo $S(p)-s(p)$$S(p)-s(p)$

$$S(p)=\sum _{k=1}^{n}(b-a)/n*f(x_{k})$$

$$S(p)=\sum _{k=1}^{n}(b-a)/n*f(x_{k})$$

$f(x_{k})$$f(x_{k})$ è il valore maggiore assunto nell'intervallo $[x_{k-1},x_{k}]$$[x_{k-1},x_{k}]$, dalla funzione, che è monotona crescente.

$$s(p)=\sum _{k=1}^{n}(b-a)/n*f(x_{k-1})$$

$$s(p)=\sum _{k=1}^{n}(b-a)/n*f(x_{k-1})$$

$f(x_{k-1})$$f(x_{k-1})$ è il minimo in $[x_{k},x_{k-1}]$$[x_{k},x_{k-1}]$.

Facendo la differenza ottengo che

$$S(p)-s(p)=(b-a)/n*\sum _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))=(b-a)/n*[F(b)-F(a)]$$

$$S(p)-s(p)=(b-a)/n*\sum _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))=(b-a)/n*[F(b)-F(a)]$$

Se $n\geq (b-a)*[F(b)-F(a)]*1/\varepsilon$$n\geq (b-a)*[F(b)-F(a)]*1/\varepsilon$, la differenza $S(p)-s(p)$$S(p)-s(p)$ è minore di $\varepsilon$$\varepsilon$.

 

Le funzioni monotone possono avere al piu' un'infinità numerabile di punti di discontinuità di salto.