Funzioni

Definizione di una funzione

Per definire una funzione $f$$f$ bisogna precisare uno spazio $X$$X$ dove la funzione è definita, uno spazio $Y$$Y$ dove la funzione assume valori e una legge $f$$f$ che a $x$$x$ associa $f(x)$$f(x)$. La legge dev'essere univoca.

Due funzioni sono uguali quando i loro insiemi di partenza, di arrivo e le loro leggi sono uguali.

Definire una funzione equivale a dare il dominio, il codominio e la legge.

Definizione 3.1

Per immagine di una funzione $f$$f$, indicata con $Im(f)$$Im(f)$ oppure $f(X)$$f(X)$, si intende l'insieme degli $y\in Y$$y\in Y$ tali che esiste almeno un $x\in X$$x \in X$ con $y=f(x)$$y=f(x)$.

$$f(X)=\{y\in Y:f(x)=y\}$$

$$f(X)=\{y\in Y:f(x)=y\}$$

 

Esempio 3.1

Considero $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$. L'immagine di $f$$f$ sono tutti i numeri maggiori o uguali a 0. Data invece

$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=\sin x$$

$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=\sin x$$

l'immagine è l'insieme degli $y$$y$ che appartengono all'intervallo $[-1,1]$$[-1,1]$.

 

Definizione 3.2

Si considera il prodotto cartesiano $X\times Y$$X\times Y$ dato dalle coppie ordinate $(x,y)$$(x,y)$ tali che $x\in X$$x \in X$ e $y\in Y$$y\in Y$. Il grafico di $f$$f$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano definito come

$${\rm {{graf}(f)=\{(x,f(x)),\,x\in X\}.}}$$

$${\rm {{graf}(f)=\{(x,f(x)),\,x\in X\}.}}$$

 

Il piano si rappresenta come $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$$\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Rappresentando nel piano i valori $(x,f(x))$$(x,f(x))$ si ha il solito grafico della funzione $f$$f$. Se si considerano funzioni $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ il prodotto cartesiano è $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$ e il grafico è una superficie, un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$. Il grafico di una funzione $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ non rappresentabile visivamente.

Considerato $x$$x$ esiste una sola coppia $(x,y)$$(x,y)$ che appartiene al grafico di $f$$f$.

Definizione 3.3 (Definizione alternativa di funzione)

Una funzione è un sottoinsieme $A$$A$ del prodotto cartesiano che gode della seguente proprietà: per ogni $x$$x$ esiste un solo $y$$y$ tale che la coppia $(x,y)$$(x,y)$ appartiene ad $A$$A$.

 

Funzioni iniettive suriettive e biunivoche

Definizione 3.4

$f$$f$ si dice iniettiva se per ogni $x_{1}\neq x_{2}\in X$$x_{1}\neq x_{2}\in X$ segue che $f(x_{1})\neq f(x_{2})$$f(x_{1})\neq f(x_{2})$.

 

Esempio 3.2

Ad esempio, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x$ è iniettiva. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$ non è iniettiva, perchè per $x_{1}=-1$$x_{1}=-1$ e $x_{2}=1$$x_{2}=1$, $f(x_{1})=f(x_{2})$$f(x_{1})=f(x_{2})$.

 

Definizione 3.5

$f:X\to Y$$f:X \to Y$ si dice suriettiva quando l'immagine $f(X)$$f(X)$ è uguale a tutto $Y$$Y$.

 

Esempio 3.3

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$ non è suriettiva,

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,f(x)=\sin x$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,f(x)=\sin x$ non è suriettiva, perchè ad esempio non si trova nessun $x$$x$ nel dominio per cui $f(x)=2$$f(x)=2$.

$f:\mathbb {R} \to [-1,1]:f(x)=\sin x$$f:\mathbb {R} \to [-1,1]:f(x)=\sin x$ è suriettiva, (cambia l'insieme d'arrivo rispetto alla funzione precedente).

$f:R\to [-1,1]:f(x)=\sin x$$f:R\to [-1,1]:f(x)=\sin x$ non è iniettiva.

$f:(-\pi /2,\pi /2)\to [-1,1]:f(x)=\sin x$$f:(-\pi /2,\pi /2)\to [-1,1]:f(x)=\sin x$ è sia suriettiva che iniettiva.

 

Definizione 3.6

Una funzione si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

 

Esempio 3.4

$f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} :\,f(x)=\tan x$$f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} :\,f(x)=\tan x$ è sia iniettiva che suriettiva, quindi è biettiva.

$f:\{x\in \mathbb {R} ,\,x\geq 0\}\to \{x\in \mathbb {R} ,\,x\geq 0\}$$f:\{x\in \mathbb {R} ,\,x\geq 0\}\to \{x\in \mathbb {R} ,\,x\geq 0\}$ con $f(x)=x^{2}$$f(x)=x^{2}$ è biettiva.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{3}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=x^{3}$ è biettiva.

 

Funzione inversa

$f$$f$ è biettiva se per ogni $x_{1}\neq x_{2}\in X$$x_{1}\neq x_{2}\in X$ allora $f(x_{1})\neq f(x_{2})$$f(x_{1})\neq f(x_{2})$ e per ogni $y_{1}\in Y$$y_{1}\in Y$ esiste $x_{1}\in X$$x_{1}\in X$ tale che $f(x_{1})=y_{1}$$f(x_{1})=y_{1}$. Per ogni $y$$y$ esiste un solo $x$$x$ tale che $f(x)=y$$f(x)=y$. Allora possiamo costruire una funzione legata alla precedente $f^{-1}:Y\to X$$f^{-1}:Y\to X$ chiamata funzione inversa.

Definizione 3.7

Se $f$$f$ è biettiva, si può definire $f^{-1}:Y\to X$$f^{-1}:Y\to X$ tale che $f^{-1}(y)=x$$f^{-1}(y)=x$ se e solo se $f(x)=y$$f(x)=y$.

 

Esempio 3.5

1. Considero la funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} +\cup 0:\,f(x)=x^{2}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} +\cup 0:\,f(x)=x^{2}$. Per fare in modo che questa funzione sia iniettiva bisogna restringere il suo dominio. Definisco quindi
   $$f:R^{+}\cup 0\to R^{+}\cup 0:\,f(x)=x^{2}$$

   $$f:R^{+}\cup 0\to R^{+}\cup 0:\,f(x)=x^{2}$$
   e l'inversa è
   $$f^{-1}(x):\mathbb {R} ^{+}\cup 0\to R^{+}\cup 0:\,f(x)={\sqrt {x}}$$

   $$f^{-1}(x):\mathbb {R} ^{+}\cup 0\to R^{+}\cup 0:\,f(x)={\sqrt {x}}$$
2. Considero
   $$f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} :\,f(x)=\tan x$$

   $$f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} :\,f(x)=\tan x$$
   $$f^{-1}:\mathbb {R} \to (-\pi /2,\pi /2):\,f(x)=\arctan x$$

   $$f^{-1}:\mathbb {R} \to (-\pi /2,\pi /2):\,f(x)=\arctan x$$
3. $$f:[-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]:\,f(x)=\sin x$$

   $$f:[-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]:\,f(x)=\sin x$$
   $$f^{-1}=[-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]:\,f(x)=\arcsin x$$

   $$f^{-1}=[-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]:\,f(x)=\arcsin x$$
4. $$f^{-1}:[0,\pi ]\to [-1,1]:\,f(x)=\cos x$$

   $$f^{-1}:[0,\pi ]\to [-1,1]:\,f(x)=\cos x$$
   $$f^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi ]:\,f(x)=\arccos(x)$$

   $$f^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi ]:\,f(x)=\arccos(x)$$

 

Data la funzione $f:X\to Y$$f:X\to Y$ se prendo un sottoinsieme $A$$A$ contenuto in $X$$X$, l'immagine dell'insieme $A$$A$ è

$$f(A)=\{y\in Y:\exists x\in A:f(x)=y\}$$

$$f(A)=\{y\in Y:\exists x\in A:f(x)=y\}$$

Esempio 3.6

Se $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,f(x)=\sin x$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,f(x)=\sin x$ e $A=[0,\pi /4]$$A=[0,\pi /4]$, allora $f(A)=[0,{\sqrt {2}}/2]$$f(A)=[0,{\sqrt {2}}/2]$.

 

Definizione 3.8

Se prendo $B\subset Y$$B\subset Y$, indipendentemente dall'invertibilità di $f$$f$, definisco la controimmagine$f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$$f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$. (il simbolo $f^{-1}$$f^{-1}$ è solo una notazione)

 

$B$$B$ potrebbe essere ridotto a un solo punto $b$$b$. Se il punto è nell'immagine di $f$$f$, esso avrà controimmagine diversa dal vuoto, ma se il punto preso non è nell'immagine, $f^{-1}(b)=\emptyset$$f^{-1}(b)=\emptyset$. Se la funzione è suriettiva $f^{-1}(b)$$f^{-1}(b)$ non può essere l'insieme vuoto. Se ho una funzione costante $f:\mathbb {R} \to \{3\}:\,f(x)=3$$f:\mathbb {R} \to \{3\}:\,f(x)=3$, se $b=3$$b=3$, allora $f^{-1}(b)=\mathbb {R}$$f^{-1}(b)=\mathbb {R}$.

Restrizione di una funzione

Quando si parla di restrizione di una funzione $f:X\to Y$$f:X\to Y$, si fissa un insieme $A\in X$$A\in X$, allora $F|_{A}:(A\subset X)\to Y$$F|_{A}:(A\subset X)\to Y$. A ogni $x$$x$ appartenente ad $A$$A$ la funzione associa $F|_{A}(x)=f(x)$$F|_{A}(x)=f(x)$. Se $x$$x$ non appartiene ad $A$$A$ la funzione non è definita.

Composizione di due funzioni

Supponiamo di avere due funzioni: $g:X\to Y$$g:X\to Y$ e $f:Y\to Z$$f:Y\to Z$. Ad $x$$x$ associo $g(x)\in Y$$g(x)\in Y$, ma a $g(x)$$g(x)$ posso associare $f(y)\in Z$$f(y)\in Z$.

Definizione 3.9

Posso costruire una corrispondenza che a $x$$x$ associa $f(g(x))$$f(g(x))$: essa è una funzione definita in $X$$X$ a valori in $Z$$Z$, che si dice funzione composta di $f$$f$ e $g$$g$ e si indica con il simbolo $f\circ g$$f\circ g$.

 

Esempio 3.7

Se $g(x)=\sin x$$g(x)=\sin x$ e $f(x)=e^{x}$$f(x)=e^x$, allora $f\circ g=e^{\sin x}$$f\circ g=e^{\sin x}$

 

Data $f:X\to Y$$f:X\to Y$ invertibile, allora posso definire $f^{-1}:Y\to X$$f^{-1}:Y\to X$. Allora la funzione composta $f^{-1}\circ f:=f^{-1}(f(x))=x$$f^{-1}\circ f:=f^{-1}(f(x))=x$ e va da $X$$X$ in sé, è la funzione identica nello spazio $X$$X$. Analogamente $f(f^{-1})(y)=y$$f(f^{-1})(y)=y$, è la funzione identica nello spazio $Y$$Y$.