Spazi di dimensione infinita ricalcati sulle norme p

Spazi l^p

Suppongo di avere una successione $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$$(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ di numeri reali o complessi. Introduco la norma

$$(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p})^{1/p}$$

$$(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p})^{1/p}$$

Mostro che lo spazio

$$X=\{{\hbox{successioni convergenti, cioè }}\,t.c.\,\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\hbox{ è finito}}\}$$

$$X=\{{\hbox{successioni convergenti, cioè }}\,t.c.\,\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\hbox{ è finito}}\}$$

con la norma $p$$p$ è uno spazio vettoriale, cioè mostro che la somma e il prodotto di due suoi elementi sta ancora nello spazio.

Date due successioni $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, considero la somma $(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots )$$(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots )$, e mostro che se $\|x\|_{p}$$\|x\|_{p}$ è finita e $\|y\|_{p}$$\|y\|_{p}$ è finita, allora anche $\|x+y\|_{p}$$\|x+y\|_{p}$ è finita.

Se mostro che la norma $p$$p$ è effettivamente una norma, vale la disuguaglianza triangolare e quindi anche l'asserto da dimostrare.

Proposizione 1.3

[disuguaglianza triangolare per la norma $p$$p$] Si ha che

$$(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}+y_{i}|^{p})^{1/p}\leq (\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p})^{1/p}+(\sum _{i=1}^{\infty }|y_{i}|^{p})^{1/p}$$

$$(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}+y_{i}|^{p})^{1/p}\leq (\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p})^{1/p}+(\sum _{i=1}^{\infty }|y_{i}|^{p})^{1/p}$$

 

Dimostrazione

Per ogni $n$$n$ naturale vale la disuguaglianza di Minkowski:

$$(\sum _{i=1}^{n}(|x_{i}+y_{i}|)^{p})^{1/p}\leq (\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{1/p}+(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p})^{1/p}$$

$$(\sum _{i=1}^{n}(|x_{i}+y_{i}|)^{p})^{1/p}\leq (\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{1/p}+(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p})^{1/p}$$

e passando al limite per $n\to \infty$$n\to \infty$, al secondo membro applico il teorema per cui il limite della somma è la somma del limiti se i limiti esistono finiti, e ottengo il risultato cercato.

 

Segue che gli spazi $l^{p}$$l^{p}$ sono effettivamente spazi vettoriali.

Alcuni spazi l^p

In particolare, lo spazio $l^{1}$$l^{1}$ è l'insieme delle successioni tale che $\sum _{i}|x_{i}|$$\sum _{i}|x_{i}|$ sia finito. Lo spazio $l^{2}$$l^{2}$ è l'insieme delle successioni tali che

$$\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}<\infty$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}<\infty$$

e si ha che

$$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$$

$$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$$

Se $p,q$$p,q$ sono coniugati e $p\to \infty$$p\to \infty$, allora $q\to 1$$q\to 1$.

$$\|x\|_{\infty }=\sup _{n}\{x_{n}\}<\infty$$

$$\|x\|_{\infty }=\sup _{n}\{x_{n}\}<\infty$$

Verificando che questa è una norma. si ha che $l^{\infty }$$l^{\infty }$ è lo spazio delle successioni limitate.

Questi sono spazi vettoriali normati completi (di Banach). Inoltre $l^{2}$$l^{2}$ ha in particolare la caratteristica che la norma 2 induce un prodotto scalare.

Proposizione 1.4

Gli spazi $l^{p}$$l^{p}$ sono di dimensione infinita.

 

Dimostrazione

La dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una base qualsiasi. Se fisso $n$$n$, e considero le potenze $x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$$x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$, ottengo l'insieme dei polinomi di grado al più $n$$n$ e questo non basta a coprire tutto lo spazio delle funzioni continue.

 

La base canonica di questo spazio è data da

$$e_{1}=(1,0,\dots ),\,e_{2}=(0,1,0,\dots ),\dots ,\,e_{n}=(0,0,\dots ,1,0,\dots )$$

$$e_{1}=(1,0,\dots ),\,e_{2}=(0,1,0,\dots ),\dots ,\,e_{n}=(0,0,\dots ,1,0,\dots )$$

Prendendo un numero finito di $e_{n}$$e_{n}$, genero solo uno spazio di successioni che sono identicamente nulle a partire dall'indice $n+1$$n+1$.
Infatti, ogni vettore che si scrive come combinazione lineare degli $e_{k}$$e_k$ ha coordinate nulle da $n+1$$n+1$ in poi. La successione $\{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }$$\{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }$ sta in $l^{2}$$l^{2}$ ma non è definitivamente nulla, quindi non si può scrivere come combinazione lineare di $n$$n$ vettori.