Spazi L^p

Generalizzo gli spazi $l^{p}$$l^{p}$ a spazi ${\mathcal {L}}^{p}$${\mathcal {L}}^{p}$.

Teoria astratta dell'integrazione

Definizione 1.11

In astratto, dato un insieme non vuoto $X$$X$, $\S$$\S$ una $\sigma$$\sigma$-algebra di sottoinsiemi di $X$$X$, $\mu$$\mu$ è una funzione definita su $\S$$\S$ a valori in $[0,\infty ]$$[0,\infty ]$ tale che

$$\mu (\bigcup _{n}A_{n})=\sum _{n}\mu (A_{n})$$

$$\mu (\bigcup _{n}A_{n})=\sum _{n}\mu (A_{n})$$

se $A_{n}\cap A_{m}=\emptyset$$A_{n}\cap A_{m}=\emptyset$ quando $n\neq m$$n\neq m$.

 

Definizione 1.12

$f:X\to \mathbb {R}$$f:X\to \mathbb {R}$ si dice misurabile se $f^{-1}(A)\in \S$$f^{-1}(A)\in \S$ per ogni $A$$A$ aperto di $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

 

Lo spazio ${\mathcal {L}}^{p}(X,\sigma ,\mu )$${\mathcal {L}}^{p}(X,\sigma ,\mu )$ è l'insieme delle funzioni $f:X\to \mathbb {R}$$f:X\to \mathbb {R}$ tali che $f$$f$ è misurabile e

$$\int _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty$$

$$\int _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty$$

$l^{p}$$l^{p}$ è un caso particolare di spazio ${\mathcal {L}}^{p}$${\mathcal {L}}^{p}$ se $\mu$$\mu$ è la misura del conteggio e $X=\mathbb {N}$$X=\mathbb {N}$. In questo caso $l^{p}$$l^{p}$ è lo spazio delle successioni $p$$p$-sommabili.

Norme p

Data $f\in {\mathcal {L}}^{p}$$f\in {\mathcal {L}}^{p}$, si chiede che

$$(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu )^{1/p}$$

$$(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu )^{1/p}$$

sia una norma.

1. se l'integrale vale 0, non posso concludere che la funzione è nulla, ma solo che è quasi ovunque nulla (cioè esiste $E\subset X$$E\subset X$ di misura 0 e tale che per ogni $x\notin E$$x\notin E$, $f(x)=0$$f(x)=0$).
2. se $\alpha \in \mathbb {R}$$\alpha \in \mathbb {R}$, allora $\|\alpha f\|_{p}=|\alpha |*\|f\|_{p}$$\|\alpha f\|_{p}=|\alpha |*\|f\|_{p}$.
3. se $f,g$$f,g$ sono misurabili, allora
   $$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$

   $$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$
   e questa proprietà si dimostra facendo lo stesso percorso fatto per la disuguaglianza di Minkowski in $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$.

Per dimostrare la forma integrale della disuguaglianza di Minkowski, si ha che Young per i numeri reali implica Hoelder in forma integrale, che con gli stessi conti implica Minkowski in forma integrale.

Proposizione 1.5 (disuguaglianza di Hoelder in forma integrale)

Se $f,g$$f,g$ sono misurabili, allora

$$\int _{X}f*g\,d\mu \leq (\int _{X}|f|^{p})^{1/p}*(\int _{X}|g|^{q})^{1/q}$$

$$\int _{X}f*g\,d\mu \leq (\int _{X}|f|^{p})^{1/p}*(\int _{X}|g|^{q})^{1/q}$$

con $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$.

 

Dimostrazione

IPOTESI PRELIMINARE: $\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1$$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1$, allora dimostro che

$$\int _{X}f*g\,d\mu \leq 1$$

$$\int _{X}f*g\,d\mu \leq 1$$

Fissato $x$$x$, $f(x),g(x)$$f(x), g(x)$ svolgono il ruolo di $a,b$$a,b$ nella disuguaglianza di Young. Per monotonia dell'integrale:

$$\int _{X}\|f*g\|\,d\mu \leq 1/p*\int _{X}\|f\|^{p}\,d\mu +1/q*\int _{X}\|g\|^{q}\,d\mu =1$$

$$\int _{X}\|f*g\|\,d\mu \leq 1/p*\int _{X}\|f\|^{p}\,d\mu +1/q*\int _{X}\|g\|^{q}\,d\mu =1$$

e per omogeneità dell'integrale si può eliminare l'ipotesi preliminare.
cvd

 

Questa disuguaglianza vale anche se una delle due norme è infinita.