Proiezione ortogonale

Proprietà utili

Osservazione 2.1

Il prodotto scalare è uniformemente continuo, e la funzione che associa a un vettore la sua norma è uniformemente continua.

 

Dimostrazione

Mostro la continuità nella prima componente, cioè, se $x_{n}\to x$$x_{n}\to x$, allora $x_{n}\cdot y\to x\cdot y$$x_{n}\cdot y\to x\cdot y$. Per linearità del prodotto scalare

$$x_{n}\cdot y-x\cdot y=(x_{n}-x)\cdot y$$

$$x_{n}\cdot y-x\cdot y=(x_{n}-x)\cdot y$$

$$\leq \|x_{n}-x\|\|y\|$$

$$\leq \|x_{n}-x\|\|y\|$$

per la disuguaglianza di cauchy-schwarz.

Quando $x_{n}\to x$$x_{n}\to x$, $\|x_{n}-x\|\to 0$$\|x_{n}-x\|\to 0$, quindi $x_{n}\cdot y\to x\cdot y$$x_{n}\cdot y\to x\cdot y$.

Per lo stesso motivo, se $y_{n}\to y$$y_{n}\to y$ allora $x\cdot y_{n}\to x\cdot y$$x\cdot y_{n}\to x\cdot y$, cioè vale la continuità nella seconda componente.

Inoltre $x_{n}\cdot y_{n}\to x\cdot y$$x_{n}\cdot y_{n}\to x\cdot y$, infatti, aggiungendo e togliendo $x_{n}\cdot y$$x_{n}\cdot y$:

$$x_{n}\cdot y_{n}-x\cdot y=(x_{n}\cdot y_{n}-x_{n}\cdot y)+(x_{n}\cdot y-x\cdot y)$$

$$x_{n}\cdot y_{n}-x\cdot y=(x_{n}\cdot y_{n}-x_{n}\cdot y)+(x_{n}\cdot y-x\cdot y)$$

e per la continuità nella seconda componente $x_{n}\cdot y_{n}-x_{n}\cdot y\to 0$$x_{n}\cdot y_{n}-x_{n}\cdot y\to 0$, mentre $x_{n}\cdot y-x\cdot y\to 0$$x_{n}\cdot y-x\cdot y\to 0$, quindi il tutto tende a 0.
Ora mostro la continuità della norma:

$$x=x-y+y$$

$$x=x-y+y$$

quindi

$$\|x\|\leq \|x-y\|+\|y\|$$

$$\|x\|\leq \|x-y\|+\|y\|$$

$$\|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,\,{\hbox{formula 1}}$$

$$\|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,\,{\hbox{formula 1}}$$

e scambiando i ruoli di $x$$x$ e $y$$y$:

$$\|y\|-\|x\|\leq \|y-x\|=\|x-y\|,\,{\hbox{formula 2}}$$

$$\|y\|-\|x\|\leq \|y-x\|=\|x-y\|,\,{\hbox{formula 2}}$$

quindi, per le formule 1 e 2

$$|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$$

$$|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$$

e quindi la norma è uniformemente continua.

 

Relazioni sul complemento ortogonale

Considero lo spazio $X$$X$ con un prodotto scalare, e $A\subset X$$A\subset X$.

1. Se $A\subset B$$A \subset B$, allora $B^{\perp }\subset A^{\perp }$$B^{\perp }\subset A^{\perp }$.Dim. Un elemento che sta in $B^{\perp }$$B^{\perp }$ ha prodotto ortogonale nullo con ogni vettore di $B$$B$, e quindi anche con quelli di $A$$A$ e sta in $A^{\perp }$$A^{\perp }$.
2. $A^{\perp }=({\bar {A}})^{\perp }$$A^{\perp }=({\bar {A}})^{\perp }$.Dim. Siccome $A\subset {\bar {A}}$$A\subset {\bar {A}}$, allora vale l'inclusione $({\bar {A}})^{\perp }\subset A^{\perp }$$({\bar {A}})^{\perp }\subset A^{\perp }$ per il punto precedente.Per dimostrare l'altra inclusione prendo $z\in A^{\perp }$$z\in A^{\perp }$.
   $$b\in {\bar {A}}\,\longrightarrow \,b=\lim a_{n},\,a_{n}\in A$$

   $$b\in {\bar {A}}\,\longrightarrow \,b=\lim a_{n},\,a_{n}\in A$$
   e sappiamo che $z\cdot a_{n}=0\forall n$$z\cdot a_{n}=0\forall n$ perché $z\in A^{\perp }$$z\in A^{\perp }$. Per la continuità del prodotto scalare
   $$z\cdot b=\lim _{n\to \infty }z\cdot a_{n}=0.$$

   $$z\cdot b=\lim _{n\to \infty }z\cdot a_{n}=0.$$
   cioè $z\in ({\bar {A}})^{\perp }$$z\in ({\bar {A}})^{\perp }$ e vale la doppia inclusione.
3. per ogni sottoinsieme $A\subset X$$A \subset X$, vale l'inclusione $A\subset (A^{\perp })^{\perp }$$A\subset (A^{\perp })^{\perp }$.Dim. Dato $x\in A$$x \in A$, mostro che $x\cdot z=0,\,\forall z\in A^{\perp }$$x\cdot z=0,\,\forall z\in A^{\perp }$, ma questo è vero perché, siccome $z\in A^{\perp }$$z\in A^{\perp }$, ha prodotto scalare nullo con ogni vettore di $A$$A$.
4. L'ortogonale di ogni sottoinsieme $A$$A$ è un sottospazio lineare chiuso.Dim. Considero la successione $z_{n}\subset A^{\perp }$$z_{n}\subset A^{\perp }$ tale che $z_{n}\to z$$z_{n}\to z$, allora segue che
   $$z\cdot a=\lim z_{n}\cdot a=0$$

   $$z\cdot a=\lim z_{n}\cdot a=0$$
   quindi $z\in A^{\perp }$$z\in A^{\perp }$ e lo spazio $A^{\perp }$$A^{\perp }$ è chiuso.Dati $z,v\in A^{\perp }$$z,v\in A^{\perp }$, anche la somma $z+v$$z+v$ è contenuta in $A^{\perp }$$A^{\perp }$, infatti, per la linearità del prodotto scalare:
   $$(z+v)\cdot a=z\cdot a+v\cdot a=0.$$

   $$(z+v)\cdot a=z\cdot a+v\cdot a=0.$$
   quindi $A^{\perp }$$A^{\perp }$ è lineare.

Proiezione ortogonale

Sia $X$$X$ uno spazio di Hilbert e $M$$M$ un sottospazio lineare chiuso. Per ogni $x\in X$$x \in X$, esiste un punto di minima distanza di $x$$x$ da $M$$M$, che indico con $P_{M}(x)$$P_M(x)$, e si ha

$$\|x-P_{M}(x)\|=\inf _{m\in M}d(x,m)$$

$$\|x-P_{M}(x)\|=\inf _{m\in M}d(x,m)$$

e inoltre per la linearità di $M$$M$, $(x-P_{M}(x))\perp M$$(x-P_{M}(x))\perp M$.

Proprietà della proiezione P_M

Teorema 2.7

Se $X$$X$ è di Hilbert e $M$$M$ è un sottospazio chiuso, allora

1. $P_{M}$$P_M$ è lineare.
2. $P_{M}(x)\leq \|x\|$$P_{M}(x)\leq \|x\|$ per ogni $x\in X$$x \in X$,
3. $P_{M}^{2}=P_{M}$$P_{M}^{2}=P_{M}$ (cioè $P_{M}$$P_M$ è idempotente),
4. $\ker P_{M}=M^{\perp }$$\ker P_{M}=M^{\perp }$ mentre per l'immagine dello spazio totale si ha $P_{M}(X)=M$$P_{M}(X)=M$.
5. per ogni $x,y\in X$$x,y \in X$, $x\cdot P_{M}(y)=P_{M}(x)\cdot y$$x\cdot P_{M}(y)=P_{M}(x)\cdot y$ ($P_{M}$$P_M$ è autoaggiunto)

 

Dimostrazione

1. Linearità: considero vettori $x_{1},x_{2}$$x_1,x_2$ e scalari $\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R}$$\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R}$ e valuto il prodotto scalare
   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-(\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2}))]\cdot m$$

   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-(\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2}))]\cdot m$$
   e per le proprietà del prodotto scalare ottengo
   $$\alpha _{1}(x_{1}-P_{M}(x_{1}))\cdot m+\alpha _{2}(x_{2}-P_{M}(x_{2}))\cdot m$$

   $$\alpha _{1}(x_{1}-P_{M}(x_{1}))\cdot m+\alpha _{2}(x_{2}-P_{M}(x_{2}))\cdot m$$
   e questo è nullo perché $x_{i}-P_{M}(x_{i})$$x_{i}-P_{M}(x_{i})$ è ortogonale a tutti i vettori di $M$$M$.Da questo segue che
   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-(\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2}))]\cdot m=0,$$

   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-(\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2}))]\cdot m=0,$$
   ma a priori sappiamo che
   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-P_{M}(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})]\cdot m=0$$

   $$[(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})-P_{M}(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})]\cdot m=0$$
   quindi, per l'unicità della proiezione ortogonale, segue che $\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2})=P_{M}(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})$$\alpha _{1}P_{M}(x_{1})+\alpha _{2}P_{M}(x_{2})=P_{M}(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2})$, e quindi segue la linearità.
2. $P_{M}$$P_M$ riduce la norma: Per ogni $x$$x$ vale l'uguaglianza
   $$x=x-P_{M}(x)+P_{M}(x)$$

   $$x=x-P_{M}(x)+P_{M}(x)$$
   e $P_{M}(x)\in M$$P_{M}(x)\in M$, quindi $x-P_{M}(x)\perp P_{M}(x)$$x-P_{M}(x)\perp P_{M}(x)$, e applicando pitagora
   $$\|x\|^{2}=\|x-P_{M}(x)+P_{M}(x)\|^{2}=\|x-P_{M}(x)\|^{2}+\|P_{M}(x)\|^{2}$$

   $$\|x\|^{2}=\|x-P_{M}(x)+P_{M}(x)\|^{2}=\|x-P_{M}(x)\|^{2}+\|P_{M}(x)\|^{2}$$
   quindi $\|x\|^{2}\geq \|P_{M}(x)\|^{2}$$\|x\|^{2}\geq \|P_{M}(x)\|^{2}$.
3. $P_{M}$$P_M$ è idempotente: Per $x\in M$$x\in M$, $P_{M}(x)=x$$P_{M}(x)=x$ (è il punto di minima distanza di $x$$x$ da $M$$M$).
   $$P_{M}^{2}(x)=P_{M}(P_{M}(x))$$

   $$P_{M}^{2}(x)=P_{M}(P_{M}(x))$$
   ma $P_{M}(x)\in M$$P_{M}(x)\in M$ quindi ha come proiezione se stesso.
4. Caratterizzazione del nucleo:
   $$\ker P_{M}=\{x\,t.c.\,P_{M}(x)=0\}$$

   $$\ker P_{M}=\{x\,t.c.\,P_{M}(x)=0\}$$
   Supponiamo che $x\in \ker P_{M}$$x\in \ker P_{M}$, allora $P_{M}(x)=0$$P_M(x)=0$, quindi
   $$(x-P_{M}(x))\cdot m=x\cdot m=0\forall m\in M,$$

   $$(x-P_{M}(x))\cdot m=x\cdot m=0\forall m\in M,$$
   quindi $x\in M^{\perp }$$x\in M^{\perp }$. Viceversa, se prendo $x\in M^{\perp }$$x\in M^{\perp }$, allora $x\cdot m=0$$x\cdot m=0$ e quindi $(x-0)\cdot m=0\forall m$$(x-0)\cdot m=0\forall m$, cioè $0=P_{M}(x)$$0=P_{M}(x)$, quindi $x\in \ker P_{M}$$x\in \ker P_{M}$.Caratterizzazione dell'immagine: Dato $m\in M$$m\in M$, allora $m=P_{M}(m)$$m=P_{M}(m)$, quindi $M\subset P_{M}(X)$$M\subset P_{M}(X)$, e vale anche viceversa.
5. Proiezione ortogonale autoaggiunta: per ogni $x,y$$x,y$, $(x-P_{M}(x))\cdot P_{M}(y)=0$$(x-P_{M}(x))\cdot P_{M}(y)=0$ perché $P_{M}(y)\in M$$P_{M}(y)\in M$, quindi
   $$x\cdot P_{M}(y)-P_{M}(x)\cdot P_{M}(y)=0$$

   $$x\cdot P_{M}(y)-P_{M}(x)\cdot P_{M}(y)=0$$
   $$x\cdot P_{M}(y)=P_{M}(x)\cdot P_{M}(y),\,{\hbox{formula 1}}.$$

   $$x\cdot P_{M}(y)=P_{M}(x)\cdot P_{M}(y),\,{\hbox{formula 1}}.$$
   Analogamente
   $$(y-P_{M}(y)\cdot P_{M}(x)=0$$

   $$(y-P_{M}(y)\cdot P_{M}(x)=0$$
   quindi
   $$y\cdot P_{M}(x)=P_{M}(y)\cdot P_{M}(x)$$

   $$y\cdot P_{M}(x)=P_{M}(y)\cdot P_{M}(x)$$
   e passando ai coniugati, tenendo conto che ${\overline {a\cdot b}}=b\cdot a$${\overline {a\cdot b}}=b\cdot a$:
   $$P_{M}(x)\cdot y=P_{M}(x)\cdot P_{M}(y),\,{\hbox{formula 2}}$$

   $$P_{M}(x)\cdot y=P_{M}(x)\cdot P_{M}(y),\,{\hbox{formula 2}}$$
   e unendo le uguaglianze
   $$P_{M}(x)\cdot y=x\cdot P_{M}(y)$$

   $$P_{M}(x)\cdot y=x\cdot P_{M}(y)$$

 

Corollari utili

Corollario 2.1

Se $M$$M$ è sottospazio lineare chiuso, allora $M=(M^{\perp })^{\perp }$$M=(M^{\perp })^{\perp }$.

 

Dimostrazione

Abbiamo già mostrato che per qualsiasi sottospazio, non necessariamente chiuso, $M\subseteq (M^{\perp })^{\perp }$$M\subseteq (M^{\perp })^{\perp }$, e dimostro l'inclusione opposta per sottospazi lineari chiusi. Prendo $x\in (M^{\perp })^{\perp }$$x\in (M^{\perp })^{\perp }$, allora $x\cdot (y-P_{M}(y))=0\forall y\in X$$x\cdot (y-P_{M}(y))=0\forall y\in X$, perché $y-P_{M}(y)\in M^{\perp }$$y-P_{M}(y)\in M^{\perp }$. Segue che $x\cdot y=x\cdot P_{M}(y)$$x\cdot y=x\cdot P_{M}(y)$. Siccome $P_{M}$$P_M$ è autoaggiunto, si può scrivere $x\cdot y=P_{M}(x)\cdot y$$x\cdot y=P_{M}(x)\cdot y$, cioè

$$(x-P_{M}(x))\cdot y=0$$

$$(x-P_{M}(x))\cdot y=0$$

per ogni $y$$y$, e si conclude che se $y=x-P_{M}(x)$$y=x-P_{M}(x)$, $(x-P_{M}(x))\cdot (x-P_{M}(x))=0$$(x-P_{M}(x))\cdot (x-P_{M}(x))=0$, quindi $\|x-P_{M}(x)\|^{2}=0$$\|x-P_{M}(x)\|^{2}=0$, cioè $x=P_{M}(x)$$x=P_{M}(x)$ e quindi $x\in M$$x\in M$.

 

Corollario 2.2

Se $A\subseteq X$$A\subseteq X$ non necessariamente lineare e chiuso, $(A^{\perp })^{\perp }$$(A^{\perp })^{\perp }$ è il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene $A$$A$.

 

Dimostrazione

Chiamo ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ l'insieme dei sottospazi lineari chiusi $B$$B$ che contengono $A$$A$. Allora mostriamo che $\bigcap _{B\in {\mathcal {C}}}B=(A^{\perp })^{\perp }$$\bigcap _{B\in {\mathcal {C}}}B=(A^{\perp })^{\perp }$. $(A^{\perp })^{\perp }$$(A^{\perp })^{\perp }$ è un sottospazio lineare chiuso che contiene $A$$A$, quindi contiene l'intersezione. Viceversa, prendo un sottospazio lineare chiuso che contiene $A$$A$, quindi valgono le seguenti inclusioni:

$$A\subset B,\quad \longrightarrow \quad B^{\perp }\subset A^{\perp }\quad \longrightarrow \quad (A^{\perp })^{\perp }\subseteq (B^{\perp })^{\perp }$$

$$A\subset B,\quad \longrightarrow \quad B^{\perp }\subset A^{\perp }\quad \longrightarrow \quad (A^{\perp })^{\perp }\subseteq (B^{\perp })^{\perp }$$

e $(B^{\perp })^{\perp }=B$$(B^{\perp })^{\perp }=B$ per il corollario 1 perché $B$$B$ è un sottospazio lineare chiuso, e questo è vero per ogni $B$$B$, quindi vale la doppia inclusione.

 

Per dimostrare il corollario successivo è necessario il seguente lemma:

Lemma 2.1

Considerando l'operazione di moltiplicazione per scalari, che associa alla coppia $(x,t)$$(x,t)$ il vettore $tx$$tx$, questa è una funzione continua nelle due variabili, in altre parole, se $x_{n}\to x$$x_{n}\to x$ e $t_{n}\to t$$t_{n}\to t$, allora $t_{n}x_{n}\to tx$$t_{n}x_{n}\to tx$.

 

Dimostrazione

$$t_{n}x_{n}-tx=t_{n}x_{n}+t_{n}x-t_{n}x-tx$$

$$t_{n}x_{n}-tx=t_{n}x_{n}+t_{n}x-t_{n}x-tx$$

$$\|t_{n}x_{n}-tx\|\leq \|t_{n}x_{n}-t_{n}x\|+\|t_{n}x-tx\|$$

$$\|t_{n}x_{n}-tx\|\leq \|t_{n}x_{n}-t_{n}x\|+\|t_{n}x-tx\|$$

$$=|t_{n}|*\|x_{n}-x\|+|t_{n}-t|*\|x\|$$

$$=|t_{n}|*\|x_{n}-x\|+|t_{n}-t|*\|x\|$$

la successione $t_{n}$$t_{n}$ è limitata

$$\|x_{n}-x\|\to 0$$

$$\|x_{n}-x\|\to 0$$

$$|t_{n}-t|\to 0$$

$$|t_{n}-t|\to 0$$

allora il secondo membro tende a 0, quindi

$$t_{n}x_{n}\to tx$$

$$t_{n}x_{n}\to tx$$

cioè il prodotto per uno scalare è continuo rispetto alla topologia indotta dalla norma.

 

Definizione 2.7

Prendo $A\subseteq B$$A \subseteq B$, allora definisco ${\rm {{lin}A}}$${\rm {{lin}A}}$ come l'insieme delle combinazioni lineari finite di elementi di $A$$A$.

 

Proposizione 2.1

${\overline {\rm {{lin}A}}}$${\overline {\rm {{lin}A}}}$ è il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene $A$$A$.

 

Dimostrazione

$Y={\rm {{lin}A}}$$Y={\rm {{lin}A}}$ è uno spazio lineare. Mostro che anche ${\bar {Y}}$${\bar {Y}}$ è un sottospazio lineare, se questo è vero la tesi è vera perché ${\bar {Y}}$${\bar {Y}}$ è il più piccolo chiuso che contiene il più piccolo spazio lineare che contiene $A$$A$.

Mostro che, se $a,b\in {\bar {Y}}$$a,b\in {\bar {Y}}$ e $s,t$$s,t$ sono scalari, allora $sa+tb\in {\bar {Y}}$$sa+tb\in {\bar {Y}}$.

Considero prima il caso particolare in cui $a\in Y,b\in {\bar {Y}}$$a\in Y,b\in {\bar {Y}}$. Allora posso scrivere $sa+tb=sa+t\lim _{n}b_{n}$$sa+tb=sa+t\lim _{n}b_{n}$ e per la continuità di moltiplicazione per uno scalare:

$$sa+tb=\lim _{n}sa+tb_{n}$$

$$sa+tb=\lim _{n}sa+tb_{n}$$

che è una combinazione lineare di elementi di $Y$$Y$, e il liite sta in ${\bar {Y}}$${\bar {Y}}$ per linearità.

Nel caso generale, togliendo la restrizione, siano $a,b\in {\bar {Y}}$$a,b\in {\bar {Y}}$, allora

$$a=\lim _{n}a_{n},\,a_{n}\in Y$$

$$a=\lim _{n}a_{n},\,a_{n}\in Y$$

allora $sa+tb=\lim _{n}sa_{n}+tb$$sa+tb=\lim _{n}sa_{n}+tb$, e questa è una combinazione lineare di un elemento in $Y$$Y$ e uno nella chiusura, quindi per il punto precedente il limite appartiene a ${\bar {\bar {Y}}}={\bar {Y}}$${\bar {\bar {Y}}}={\bar {Y}}$.

 

Dai due corollari si ricava che ${\overline {\rm {{lin}X}}}=(X^{\perp })^{\perp }$${\overline {\rm {{lin}X}}}=(X^{\perp })^{\perp }$.

Caratterizzazione della densità di un sottospazio

Un insieme $A$$A$ è denso in $X$$X$ se e solo se ${\bar {A}}=X$${\bar {A}}=X$.

Corollario 2.3

Sia $Y={\rm {{lin}A}}$$Y={\rm {{lin}A}}$, allora $Y$$Y$ è denso se e solo se $Y^{\perp }=0$$Y^{\perp }=0$.

 

Dimostrazione

Supponiamo che $Y$$Y$ sia denso, cioè ${\bar {Y}}=X$${\bar {Y}}=X$, allora $Y^{\perp }=({\bar {Y}})^{\perp }=X^{\perp }=0$$Y^{\perp }=({\bar {Y}})^{\perp }=X^{\perp }=0$, cioè $Y^{\perp }=0$$Y^{\perp }=0$. Viceversa, se supponiamo che $Y^{\perp }=0$$Y^{\perp }=0$, allora $Y$$Y$ è denso. Infatti, siccome il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene ${\rm {{Lin}A}}$${\rm {{Lin}A}}$ è ${\overline {\rm {{Lin}A}}}$${\overline {\rm {{Lin}A}}}$, per l'ultimo corollario si ha:

$${\overline {\rm {{lin}A}}}=(({\rm {{lin}A)^{\perp })^{\perp }}}$$

$${\overline {\rm {{lin}A}}}=(({\rm {{lin}A)^{\perp })^{\perp }}}$$

$$=(Y^{\perp })^{\perp }=0^{\perp }=X$$

$$=(Y^{\perp })^{\perp }=0^{\perp }=X$$

cioè ${\bar {Y}}=X$${\bar {Y}}=X$ e $Y$$Y$ è denso in $X$$X$.