Trasformata di Fourier

Su $C(T)$$C(T)$ normalizzo il prodotto scalare ponendo

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {g}}(t)\,dt.$$

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {g}}(t)\,dt.$$

Data $f\in C(T)$$f\in C(T)$, l'n-esimo coefficiente di Fourier di $f$$f$ è

$${\hat {f}}_{n}={\frac {1}{2\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*e^{-int}\,dt=f\cdot e^{int}.$$

$${\hat {f}}_{n}={\frac {1}{2\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*e^{-int}\,dt=f\cdot e^{int}.$$

In norma $L^{2}$$L^2$ ogni $f\in L^{2}$$f\in L^{2}$ converge alla propria serie di Fourier, cioè a $\sum _{n=1}^{\infty }|x\cdot e_{n}|*e_{n}$$\sum _{n=1}^{\infty }|x\cdot e_{n}|*e_{n}$, quindi, in norma $L^{2}$$L^2$,

$$f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikt}$$

$$f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikt}$$

Inoltre per Parseval si ha

$$\|f\|_{2}^{2}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}_{n}|^{2}$$

$$\|f\|_{2}^{2}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}_{n}|^{2}$$

quindi la serie al secondo membro converge, e vale il seguente lemma.

Lemma 5.1 (di Riemann-Lebesgue)

Per ogni $f\in L^{2}([0,2\pi ])$$f\in L^{2}([0,2\pi ])$,

$$\lim _{n\to \pm \infty }{\hat {f}}_{n}=0,$$

$$\lim _{n\to \pm \infty }{\hat {f}}_{n}=0,$$

cioè, in forma complessa

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt=0$$

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt=0$$

e in forma reale

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(nt)\,dt=0$$

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(nt)\,dt=0$$

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(nt)\,dt=0.$$

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(nt)\,dt=0.$$

 

Osservazione 5.2

La trasformata di Fourier è la funzione ${\hat {\cdot }}$${\hat {\cdot }}$ che permette il passaggio da $f$$f$ a ${\hat {f}}$${\hat {f}}$. ${\hat {f}}$${\hat {f}}$ sta in $l^{2}(\mathbb {Z} )$$l^{2}(\mathbb {Z} )$ per Parseval. ${\hat {(}}f)$${\hat {(}}f)$ è la trasformata di Fourier di $f$$f$. ${\hat {\cdot }}$${\hat {\cdot }}$ è un'isometria, quindi è iniettiva, è lineare ed è suriettiva (la dimostrazione è già stata fatta nel caso generale) e quindi la trasformata di Fourier è un isomorfismo fra $L^{2}(\mathbb {C} )$$L^{2}(\mathbb {C} )$ e $l^{2}(\mathbb {Z} )$$l^{2}(\mathbb {Z} )$.