Su
normalizzo il prodotto scalare ponendo

Data

, l'n-esimo coefficiente di Fourier di

è

In norma

ogni

converge alla propria serie di Fourier, cioè a

, quindi, in norma

,

Inoltre per Parseval si ha

quindi la serie al secondo membro converge, e vale il seguente lemma.
Lemma 5.1 (di Riemann-Lebesgue)
Per ogni
,

cioè, in forma complessa

e in forma reale


La trasformata di Fourier è la funzione
che permette il passaggio da
a
.
sta in
per Parseval.
è la trasformata di Fourier di
.
è un'isometria, quindi è iniettiva, è lineare ed è suriettiva (la dimostrazione è già stata fatta nel caso generale) e quindi la trasformata di Fourier è un isomorfismo fra
e
.