Convergenza uniforme

Oltre alle ipotesi precedenti, richiediamo che $f$$f$ sia continua, e $f'$$f'$ sia continua a tratti. Allora vale il seguente teorema:

Teorema 5.5

La successione $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ delle somme parziali della serie di Fourier converge totalmente a $f$$f$ in $L^{2}$$L^2$ (e la convergenza totale implica quella uniforme).

 

Dimostrazione

Calcoliamo i coefficienti di Fourier $\alpha _{k},\beta _{k}$$\alpha _{k},\beta _{k}$ della derivata $f'$$f'$ in funzione di quelli di $f$$f$, che chiamo $a_{k},b_{k}$$a_{k},b_{k}$ ($f'$$f'$ è continua a tratti quindi la sua serie di Fourier è ben definita):

$$\alpha _{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}[f(\pi )-f(-\pi )]=0$$

$$\alpha _{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}[f(\pi )-f(-\pi )]=0$$

dove questo passaggio vale perché $f$$f$ è periodica, e si può integrare per la continuità di $f$$f$.

$$\alpha _{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\cos(kt)\,dt$$

$$\alpha _{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\cos(kt)\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}\{[\cos(kt)f(t)]_{-\pi }^{\pi }+k\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sin(kt)\,dt\}$$

$$={\frac {1}{\pi }}\{[\cos(kt)f(t)]_{-\pi }^{\pi }+k\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sin(kt)\,dt\}$$

ma il termine di bordo è nullo, quindi

$$=k/\pi \int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sin(kt)\,dt=k*b_{k}$$

$$=k/\pi \int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\sin(kt)\,dt=k*b_{k}$$

quindi $\alpha _{k}=kb_{k}$$\alpha _{k}=kb_{k}$.
Analogamente

$$\beta _{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\sin(kt)\,dt$$

$$\beta _{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\sin(kt)\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}\{[f(t)*\sin(kt)]_{-\pi }^{\pi }-k\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)\,dt\}$$

$$={\frac {1}{\pi }}\{[f(t)*\sin(kt)]_{-\pi }^{\pi }-k\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)\,dt\}$$

e il primo termine vale 0, quindi $\beta _{k}=-ka_{k}$$\beta _{k}=-ka_{k}$.
Per Bessel, la serie

$$\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha _{k}^{2}+\beta _{k}^{2})=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}*(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})$$

$$\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha _{k}^{2}+\beta _{k}^{2})=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}*(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})$$

è una serie convergente.
Si ha

$$s_{n}(x)=a_{0}/2+\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)]$$

$$s_{n}(x)=a_{0}/2+\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)]$$

quindi

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}(|a_{k}\cos(kx)|+|b_{k}\sin(kx)|)$$

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}(|a_{k}\cos(kx)|+|b_{k}\sin(kx)|)$$

e siccome seno e coseno sono minori di 1:

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[|a_{k}|+|b_{k}|],\,{\hbox{formula 1}}.$$

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[|a_{k}|+|b_{k}|],\,{\hbox{formula 1}}.$$

Osservo che $a_{k}=1/k*(ka_{k})$$a_{k}=1/k*(ka_{k})$ e $b_{k}=1/k(kb_{k})$$b_{k}=1/k(kb_{k})$, e sfrutto la disuguaglianza

$$|ab|\leq (a^{2}+b^{2})/2.$$

$$|ab|\leq (a^{2}+b^{2})/2.$$

Allora

$$|a_{k}|\leq (k^{2}a_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2$$

$$|a_{k}|\leq (k^{2}a_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2$$

$$|b_{k}|\leq (k^{2}b_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2$$

$$|b_{k}|\leq (k^{2}b_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2$$

quindi maggiorando i termini nella sommatoria della formula 1 si ha:

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[(k^{2}a_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2+(k^{2}b_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2]$$

$$|s_{n}|\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[(k^{2}a_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2+(k^{2}b_{k}^{2}+{\frac {1}{k^{2}}})/2]$$

$$\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})/2+1/k^{2}]$$

$$\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}[k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})/2+1/k^{2}]$$

$$\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}{\frac {k^{2}}{2}}[\alpha _{k}^{2}+\beta _{k}^{2}]+\sum _{k=1}^{n}1/k^{2}$$

$$\leq |a_{0}/2|+\sum _{k=1}^{n}{\frac {k^{2}}{2}}[\alpha _{k}^{2}+\beta _{k}^{2}]+\sum _{k=1}^{n}1/k^{2}$$

e il tutto converge perché il primo addendo è la serie di Fourier delle derivate, e il secondo è una serie convergente.

 

Osservazione 5.3

Il lemma di Riemann-Lebesgue vale anche per funzioni di $L^{1}((-\pi ,\pi ))$$L^{1}((-\pi ,\pi ))$ (quando la misura dello spazio su cui le funzioni sono definite è finita, come in questo caso, si ha $L^{2}\subset L^{1}$$L^{2}\subset L^{1}$).

Fisso $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ e $f\in L^{1}$$f\in L^{1}$, allora esiste $g$$g$ continua che approssima $f$$f$ in norma $L^{1}$$L^1$, cioè tale che $\|f-g\|_{1}\leq \varepsilon$$\|f-g\|_{1}\leq \varepsilon$. Inoltre esiste un polinomio trigonometrico $p$$p$ tale che $\|g-p\|_{\infty }\leq \varepsilon$$\|g-p\|_{\infty }\leq \varepsilon$ e quindi

$$\|g-p\|_{1}\leq \|g-p\|_{\infty }\leq \varepsilon .$$

$$\|g-p\|_{1}\leq \|g-p\|_{\infty }\leq \varepsilon .$$

Quindi applicando la disuguaglianza triangolare $\|f-p\|_{1}\leq 2\varepsilon$$\|f-p\|_{1}\leq 2\varepsilon$. Il coefficiente di Fourier di $f-p$$f-p$ è:

$$a_{r}={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }\{f(t)-\sum _{k}[c_{k}\cos(kt)+v_{k}\sin(kt)]\}*\cos(rt)\,dt$$

$$a_{r}={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }\{f(t)-\sum _{k}[c_{k}\cos(kt)+v_{k}\sin(kt)]\}*\cos(rt)\,dt$$

$$a_{r}={\frac {1}{\pi }}*\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(rt)\,dt\}-{\frac {1}{\pi }}*\{\int _{-\pi }^{\pi }\sum _{k}[c_{k}\cos(kt)+v_{k}\sin(kt)]*\cos(rt)\,dt\}$$

$$a_{r}={\frac {1}{\pi }}*\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(rt)\,dt\}-{\frac {1}{\pi }}*\{\int _{-\pi }^{\pi }\sum _{k}[c_{k}\cos(kt)+v_{k}\sin(kt)]*\cos(rt)\,dt\}$$

Se $r\neq k$$r\neq k$, il secondo addendo è nullo e si ha

$$a_{r}(f-p)=a_{r}(f).$$

$$a_{r}(f-p)=a_{r}(f).$$

purché $r>n$$r>n$.

$$|a_{r}(f)|=|a_{r}(f-p)|={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f-p|\cos(rt)\,dt\leq {\frac {1}{\pi }}*2\pi \|f-p\|_{1}\leq 4\varepsilon$$

$$|a_{r}(f)|=|a_{r}(f-p)|={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f-p|\cos(rt)\,dt\leq {\frac {1}{\pi }}*2\pi \|f-p\|_{1}\leq 4\varepsilon$$

quindi per $r>n$$r>n$, $a_{r}(f)<\varepsilon$$a_{r}(f)<\varepsilon$, cioè vale il lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni in $L^{1}$$L^1$.