Avendo dimostrato che il sistema trigonometrico è ortonormale per
, per dimostrare che è una base basta dimostrare che è anche completo. La dimostrazione si fa in vari passi.
Passo 1 Densità dei polinomi trigonometrici in C(T)[modifica | modifica wikitesto]
Teorema 5.1
Per ogni
positivo, esiste
polinomio trigonometrico tale che

(equivalentemente, i polinomi trigonometrici sono densi in

per la norma del sup).
Dimostrazione
Supponiamo di avere a disposizione una successione di polinomi trigonometrici
che soddisfi tre proprietà:


- dato
, se chiamo
,
Data
, poniamo
Mostriamo che
è a sua volta un polinomio trigonometrico.
Pongo
, in modo che:

e invertendo gli estremi di integrazione:


sono periodiche e il loro prodotto è periodico, allora posso cambiare l'intervallo di integrazione:

Per ipotesi

è un polinomio trigonometrico e si può scrivere:

quindi


e sostituendo nell'espressione di

:

![{\displaystyle p_{k}(t)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{r=-n}^{n}a_{r}[\int _{-\pi }^{\pi }f(u)e^{-iru}du]*e^{irt}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/adbcfcddf7fcf26d1d5772fdb05a8acbae081c9b)
e ponendo

si ha

e ho quindi mostrato che

è un polinomio trigonometrico.
Valuto la differenza 
:

Uso la proprietà 2 dei

per poter portare

dentro all'integrale moltiplicandola per un fattore che vale 1:


Spezzo l'integrale in tre addendi:
![{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}*[\int _{-\delta }^{\delta }(f(t-s)-f(t))q_{k}(s)\,ds+\int _{\pi }^{-\delta }(f(t-s)-f(t))q_{k}(s)\,ds+\int _{\delta }^{\pi }(f(t-s)-f(t))q_{k}(s)\,ds]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d98028dcb003220a83366415ac2679e2dcdafb2f)
Valuto separatamente i tre addendi e mostro che ognuno è minore di

:
- Primo addendo:


La funzione è continua e siccome
è compatto, è uniformemente continua. Allora ponendo
, e
si ha
, allora per l'uniforme continuità
.
e siccome per la proprietà 1 dei
l'integranda è positiva posso considerare un intervallo di integrazione più grande:

applicando ancora la proprietà 2.
- Secondo addendo:

![{\displaystyle \leq \int _{\delta }^{\pi }[|f(t-s)|-|f(t)|]*q_{k}(s)\,ds}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/459cdac7eb7e29e30078140abbdea952d167b7d8)

infatti se
il tutto tende a 0 per la proprietà 3 dei
.
- terzo addendo: si tratta come il secondo
Sommando i tre integrali ottengo
e in particolare
.
Mostro che la disuguaglianza vale anche per la norma 2:



quindi la disuguaglianza vale anche in norma 2, perché

e

è il polinomio trigonometrico di cui ho affermato l'esistenza nell'enunciato.
Resta da verificare che effettivamente esiste una successione di polinomi
con le tre proprietà elencate sopra: definisco

, con

costante positiva.
- La prima proprietà (positività) è verificata;
- determino
in modo che sia soddisfatta anche la seconda, cioè impongo:
- Per verificare la terza proprietà è necessario dare una stima dei
. Siccome
è pari, si ha

e ponendo
, l'integrale di partenza è:
e ponendo
, si ha
quindi
cioè
Devo quindi valutare:
perché i
sono decrescenti, e sostituendo l'espressione dei
:
e usando la stima per i
:
infatti
quindi
.
Mostro che le funzioni continue su

sono dense in norma 2 su

.
Definizione 5.2
Data la
-algebra
, la misura
è regolare se per ogni
valgono le due condizioni seguenti:
con
compatto e contenuto in
(regolarità dal basso)
, con
aperto. (regolarità dall'alto)
Teorema 5.2
Nell'ipotesi che
è regolare, che
sia finita e che gli aperti sono misurabili, si ha che
è denso in
.
Dimostrazione
Dimostriamo in realtà che
è denso in
se
è regolare.
Mostro prima che
è denso in
. Data una funzione misurabile e positiva, si definisce
come sup degli integrali delle funzioni semplici minori di
. Le funzioni semplici sono somme di funzioni indicatrici, quindi basta mostrare il risultato per le indicatrici.
Sia
misurabile e mostro che
è approssimabile con funzioni continue in
, in questo modo mostro che le funzioni continue su
sono dense in
.
Per la regolarità della misura, dato
positivo, esistono
compatto e
aperto tali che
tali che
.
Definiamo la funzione

questa quantità è ben definita, il denominatore non si annulla, perché se fosse nullo si avrebbe contemporaneamente

(chiuso) e

e questo non può avvenire.

è continua e ha valori in
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
e si annulla su

mentre vale 1 su

. Considero la differenza




e applicando le leggi di complementazione a

:

e siccome il secondo integrale è nullo


Mostro che le funzioni semplici sono dense in 
: questo è vero per il seguente risultato:
sia

misurabile, allora esiste una successione

di funzioni semplici tali che

e

puntualmente. Se

, allora anche le

sono in

, inoltre

quindi l'integrale di

è ben definito e per il teorema di convergenza dominata si ha

cioè

.
In questa dimostrazione è stato sfruttato il seguente risultato:
Proposizione 5.1
In uno spazio metrico
, se
è denso in
e
è denso in
, allora
è denso in
.
Dimostrazione
Fisso
e
, devo mostrare che
. Siccome
è denso in
, esiste
in
. Ma
è denso in
, allora deve esistere
tale che
, quindi applicando la disuguaglianza triangolare

Teorema 5.3
L'insieme delle funzioni
è un sistema ortonormale completo in
.
Dimostrazione
Dobbiamo mostrare che
è denso in
, cioè che per ogni
esiste
polinomio trigonometrico tale che
.
Per il passo 1, sappiamo che data
e
, esiste
polinomio trigonometrico tale che
e di conseguenza, anche
perché
.
Per il passo 2, data
, allora esiste
tale che
, allora
