Esercizio 7.11
Consideriamo
, con il prodotto scalare

Trovare una base ortonormale a partire dalla successione di vettori linearmente indipendenti

Dimostrazione
Il primo vettore della base data è
, e devo normalizzarlo perché non ha norma 1, infatti

Quindi pongo

Considero poi

, e verifico se è ortogonale al vettore della base ortonormale già trovato:

perché ho una funzione dispari integrata su un dominio simmetrico.
Quindi

, e basta normalizzarlo per ottenere il secondo vettore della base ortonormale:
![{\displaystyle \|x_{1}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}}={\sqrt {[x^{3}/3]_{-1}^{1}}}={\sqrt {2/3}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/553f64e61d851da8de01cebe570028e30172c06b)

Ora verifico se

è ortogonale ai vettori trovati:


Ora pongo




![{\displaystyle =[x^{5}/5+1/9x-2/9x^{3}]_{-1}^{1}=2/5+2/9-4/9=2/5-2/9={\frac {18-10}{45}}={\frac {8}{45}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6215af047125322d3cf5f6367b84af2b7e47c1af)

Vettori ottenuti finora:



Questi tre vettori sono linearmente indipendenti e hanno gradi diversi, quindi lo spazio generato da essi è uguale a quello generato da

, come previsto. Nei vettori di indice pari compaiono solo potenze pari. Ci si aspetta che in

compariranno le potenze

.







![{\displaystyle ={\sqrt {[x^{7}/7+4/5x^{3}/3-4/5x^{5}/5]_{-1}^{1}}}={\sqrt {2/7+8/15-8/25}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/eaa10d460a8864e1366da55eb2b4d7eb198fa667)

I vettori ottenuti sono i polinomi di Legendre, che si ottengono anche con una formula ricorsiva.
Questi polinomi se sono di grado pari hanno solo potenze pari, e lo stesso vale per il grado dispari.
- Deduco la formula generale per calcolare la derivata n-esima del prodotto di due funzioni.Considero due funzioni
, allora




Su ogni monomio la somma dell'ordine di derivazione è uguale all'ordine di derivazione di
, quindi in generale vale la formula di Leibniz:
- Osservo che la funzione
verifica una determinata equazione differenziale, infatti
e moltiplicando per
, si ha che
verifica l'equazione differenziale:
- Derivo
volte quest'espressione, applicando Leibniz. Indico con
la derivata
-esima di
rispetto ad
:##Per il primo addendo si ha:![{\displaystyle =[(1-x^{2})*h'(x)]^{(n+1)}=}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ae3d5f893cb19d72f53e836b15c2ff3d7f257661)
e applicando Leibniz:
(tutti i termini successivi sono nulli perché le derivate di
di ordine superiore a 2 sono nulle)
##Ora derivo il secondo termine,
:![{\displaystyle [xh(x)]^{(n+1)}=}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9ae51c01b452aa7f3e262b6dc9085c733dd5b392)

Complessivamente, annullando la derivata
-esima della relazione
si ha:

Se pongo
,
verifica l'equazione differenziale del secondo ordine:
Questa è un'equazione lineare omogenea, quindi l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2 (basta trovare due soluzioni linearmente indipendenti, e le altre si scrivono come combinazione lineare di queste).L'equazione si può riscrivere come:![{\displaystyle [(1-x^{2})y']^{\prime }+n(n+1)*y=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1854b9c1b44e9b89389f6ed3796749a35e0e333b)
- Mostro, attraverso l'equazione di Legendre, che le
sono ortogonali tra di loro sull'intervallo
.Devo mostrare che

per ogni
.Ponendo
, osservo che
infatti
perché le
soddisfano l'equazione di Legendre.Quindi
![{\displaystyle H_{m}\{[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }+n(n+1)H_{n}\}-H_{n}\{[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }+m(m+1)H_{m}\}=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b763d2586ae825f575e6dd0d30462c24621b7cb9)
Raccolgo i termini che contengono il prodotto
:![{\displaystyle (n(n+1)-m(m+1))H_{m}H_{n}+\{H_{m}[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }-H_{n}[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }\}=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d95fb8d13ff6a13c251c34728a100b6b8a94e925)
![{\displaystyle (n(n+1)-m(m+1))H_{m}H_{n}=\{H_{n}[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }-H_{m}[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c37f07277856b60a823f697db353c5c913a0d9ce)
e integrando entrambi i membri:![{\displaystyle (n(n+1)-m(m+1))\int _{-1}^{1}H_{m}H_{n}\,dx=\int _{-1}^{1}\{H_{n}[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }-H_{m}[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }\}\,dx}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2f70adc6c589dcd11276a8eee0fdb40506bdc097)
quindi si ha che
(cioè che le
sono ortogonali) se e solo se:![{\displaystyle \int _{-1}^{1}\{H_{n}[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }-H_{m}[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }\}\,dx=0,\,{\hbox{formula 1}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/aba92d44818da56976a760c0dc85306dbf11c46e)
Dimostro quindi la formula 1, separo i due addendi:![{\displaystyle \int _{-1}^{1}H_{n}[(1-x^{2})H_{m}']^{\prime }\,dx-\int _{-1}^{1}H_{m}[(1-x^{2})H_{n}']^{\prime }dx=0,}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d78415918ebd97ef3b16e7b317573ce302aafee4)
![{\displaystyle =[(1-x^{2})H_{m}'H_{n}]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}(1-x^{2})H_{m}'H_{n}'\,dx-[(1-x^{2})H_{n}'H_{m}]_{-1}^{1}+\int _{-1}^{1}(1-x^{2})H_{n}'H_{m}'\,dx}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2adb07b54f0df3cca7066363c2638d705768fb1d)
ma i termini tra parentesi quadra sono nulli perché
si annulla in
, quindi rimane:
perché i due termini opposti si cancellano, quindi vale la formula 1, quindi segue l'ortogonalità delle
.
- Relazione con i polinomi di Legendre: affermo che le
sono, a meno di una costante moltiplicativa, i polinomi di Legendre. Infatti le
sono polinomi di grado
, e sono ortogonali.Siccome l'equazione di Legendre è un'equazione differenziale del secondo ordine le soluzioni dipendono da due parametri,
. Se
è un intero, una delle due soluzioni è un polinomio di Legendre, mentre l'altra è analitica.