Esercizio 7.18
Mostrare, usando il teorema dell'applicazione aperta, che gli spazi di Banach non hanno dimensione numerabile.
(da qui segue che lo spazio dei polinomi su
non è di Banach perché ha dimensione numerabile)
Dimostrazione
Per assurdo, sia
di Banach, di dimensione numerabile, cioè supponiamo che esista una base algebrica
numerabile, infinita. Chiamo
. Se chiamo
,
,
,
, allora

Gli

sono di dimensione finita e quindi sono chiusi (sono completi). Per la condizione equivalente al teorema di Baire esiste

tale che

. Ogni sottospazio vettoriale ha parte interna vuota (lemma

), quindi l'unica possibilità è che

, e quindi

dovrebbe avere dimensione finita, e si ha una contraddizione perché era stato supposto infinito!
Lemma 7.2 (lemma $\ast$)
Sia
uno spazio normato e
sottospazio vettoriale proprio di
. Allora
.
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che
.
Caso 1: Sia
, allora esiste una bolla centrata in 0 e contenuta in
. Sia
, allora se considero
, si ha che
, allora
è contenuto nella bolla. Allora
è un omotetico di un punto che sta nella bolla, e quindi
, e quindi deve appartenere a
che è un sottospazio vettoriale. Allora si avrebbe
, assurdo.
Caso 2: Se suppongo che il punto interno a
sia
, allora esiste una bolla
. Allora

e da quest'inclusione segue che

, cioè anche

è necessariamente punto interno e ci si riconduce al caso precedente.
è un sottospazio di Hilbert di
e quindi è un Banach di dimensione infinita. Allora la cardinalità di ogni base algebrica di
dev'essere più che numerabile, mentre la dimensione di
come spazio di Hilbert è numerabile (la base è data dagli
).
Esercizio 7.19
Sia
un'applicazione lineare. Il grafico
è chiuso se e solo se le ipotesi
e
implicano
.
Dimostrazione
: per il teorema del grafico chiuso, se
ha grafico chiuso allora è continua, e quindi vale la condizione 2 che è equivalente alla continuità.
: per mostrare che il grafico è chiuso, basta mostrare che ogni punto
che sia limite di una successione appartiene al grafico. Se ho una successione tale che
e
, segue che la successione
, e il fatto che
segue dalla condizione 2, perché si deve avere
.
Esercizio 7.20
Considero uno spazio di Hilbert
, e una funzione lineare
tale che
(condizione
). Mostrare che
ha grafico chiuso.
Dimostrazione
Per l'esercizio precedente, mostrare che il grafico di
è chiuso equivale a mostrare che per ogni successione
tale che
e
(proprietà
), si ha che
.
Considero una successione
che soddisfa la proprietà
, e mostro che
. Fisso un vettore
, allora, siccome
, segue che

Inoltre applicando la condizione

e per

:

e siccome il primo membro tende a 0, si avrà

, cioè

. Allora il grafico di

è chiuso e per il teorema del grafico chiuso,

è continua.
Esercizio 7.21
Considero
di Banach e
continua. Considero le seguenti condizioni:
- esiste
tale che
e
è chiuso in
.
Mostrare che le condizioni 1 e 2 sono equivalenti.
Dimostrazione
: supponiamo che
e mostriamo che
(equivalentemente che
è iniettiva. Preso
, per ipotesi si ha

e quindi

cioè

e

.
Mostro ora che
è chiuso in
, e quindi che data una successione
che tende a
, allora
.
Per ipotesi

inoltre

ma siccome

è di Banach e

converge a

, allora

è di Cauchy, per la disuguaglianza 1 anche

è di Cauchy, e quindi converge ad un certo

poiché

è di Banach. Mostro ora che

. Per la continuità di

:

quindi

.
:
è iniettiva, allora esiste un'inversa
.
L'inversa è lineare, infatti ad esempio

Un operatore lineare è continuo se e solo se la norma è limitata. Per il corollario al teorema dell'applicazione aperta

è continua, quindi ha norma limitata, e questa condizione si traduce con l'esistenza delle due costanti

tali che

e quindi in particolare vale la condizione 1.
Esercizio 7.22
Considero tre spazi di Banach:



- Determinare le inclusioni tra questi spazi.
- Mostrare che l'insieme delle successioni definitivamente nulle è denso in
.
- Mostrare che
è separabile e che
non lo è.
Dimostrazione
- Si ha che
.
- Fisso
, allora
con
. Considero la bolla
e mostro che interseca l'insieme delle successioni definitivamente nulle.
Costruisco una successione
che stia nella bolla. Siccome
ha serie convergente, esiste
tale che
Allora, per
, pongo
, e poi pongo
.In questo modo si ha
e quindi
, che è una successione definitivamente nulla, sta nella bolla, e l'insieme delle successioni definitivamente nulle è denso in
.
- Per mostrare che
è separabile basta considerare come sottoinsieme denso e numerabile le successioni a elementi razionali definitivamente nulle.
invece non è separabile. Supponiamo per assurdo che esista un sottoinsieme
denso e numerabile. Considero un sottoinsieme
, e considero la funzione caratteristica di
, tale che
vale 1 se
e
se
, quindi le funzioni caratteristiche sono successioni di 0 e 1 e possono essere viste come elementi di
. Questo insieme ha cardinalità non numerabile, inoltre, dato
,
Allora ho una quantità non numerabile di funzioni di norma 1. Le bolle aperte di raggio
centrate in queste funzioni sono disgiunte, e costituiscono una famiglia non numerabile. Allora in ogni bolla dev'esserci un elemento del sottoinsieme numerabile denso
, e questo è assurdo.