Disuguaglianze fondamentali

Esercizio 7.2

Dato $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ e $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$$y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ e ponendo

$$\|x\|=d(x,O)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$$

$$\|x\|=d(x,O)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$$

dimostrare la disuguaglianza triangolare per la norma euclidea.

 

Dimostrazione

Dimostro che

$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$

$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$

ed esplicitando le espressioni delle norme, devo dimostrare che:

$$\|x+y\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{2}}}=\|x\|+\|y\|$$

$$\|x+y\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{2}}}=\|x\|+\|y\|$$

Elevando al quadrato il membro di sinistra:

$$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}=$$

$$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}=$$

$$=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}+2*\sum _{i=1}^{n}x_{i}*y_{i},$$

$$=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}+2*\sum _{i=1}^{n}x_{i}*y_{i},$$

$$\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{2}+2*|\sum _{i=1}^{n}x_{i}*y_{i}|$$

$$\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{2}+2*|\sum _{i=1}^{n}x_{i}*y_{i}|$$

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha:

$$|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

$$|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

Allora proseguendo con le disuguaglianze e sostituendo l'espressione di $|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|$$|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|$:

$$\leq \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}+2*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

$$\leq \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}+2*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

$$=({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}})^{2}$$

$$=({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}})^{2}$$

cioè, risalendo al primo membro:

$$\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}\leq ({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}})^{2}$$

$$\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}\leq ({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}})^{2}$$

e prendendo la radice:

$${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

$${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

cvd

 

Esercizio 7.3

Determinare quando vale l'uguaglianza di Hoelder: dati due vettori $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$$x,y\in \mathbb {R} ^{n}$, cioè quando si ha che

$$|\sum _{i}x_{i}y_{i}|=\|x\|_{p}*\|y\|_{q}=(\sum _{i}|x_{i}|^{p})^{1/p}*(\sum _{i}|y_{i}|^{q})^{1/q}$$

$$|\sum _{i}x_{i}y_{i}|=\|x\|_{p}*\|y\|_{q}=(\sum _{i}|x_{i}|^{p})^{1/p}*(\sum _{i}|y_{i}|^{q})^{1/q}$$

con $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$.

 

Dimostrazione

Ripercorrendo la dimostrazione della disuguaglianza di Hoelder, si ha che questa si dimostra a partire dalla disuguaglianza di Young:

$$ab\leq a^{q}/q+b^{q}/q$$

$$ab\leq a^{q}/q+b^{q}/q$$

Se pongo $a=|x_{1}|$$a=|x_{1}|$ e $b=|y_{1}|$$b=|y_{1}|$ si ha

$$|x_{1}|*|y_{1}|\leq |x_{1}|^{p}/p+|y_{1}|^{q}/q$$

$$|x_{1}|*|y_{1}|\leq |x_{1}|^{p}/p+|y_{1}|^{q}/q$$

e sommando su tutti gli indici:

$$\sum _{i}|x_{i}||y_{i}|\leq \sum _{i}(|x_{i}|^{p}/p+|y_{i}|^{q}/q)=1/p*\sum _{i}|x_{i}|^{p}+1/q*\sum _{i}|y_{i}|^{q}$$

$$\sum _{i}|x_{i}||y_{i}|\leq \sum _{i}(|x_{i}|^{p}/p+|y_{i}|^{q}/q)=1/p*\sum _{i}|x_{i}|^{p}+1/q*\sum _{i}|y_{i}|^{q}$$

allora nell'ipotesi che $\sum _{i}|x_{i}|^{p}=1$$\sum _{i}|x_{i}|^{p}=1$ e $\sum _{i}|y_{i}|^{p}=1$$\sum _{i}|y_{i}|^{p}=1$, la disuguaglianza di Hoelder vale.
Si ha quindi che l'uguaglianza di Hoelder vale se e solo se anche la disuguaglianza di Young vale con il segno di uguale.
Nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, si ha una serie di uguaglianze, e la prima disuguaglianza con il segno $\leq$$\leq$ compare quando si utilizza la convessità della funzione esponenziale:

$$e^{tx+(1-t)y}\leq t*e^{x}+(1-t)*e^{y}$$

$$e^{tx+(1-t)y}\leq t*e^{x}+(1-t)*e^{y}$$

Richiediamo allora che in quest'ultima relazione valga l'uguale: questo avviene solo se i punti di intersezione tra la retta secante e la funzione coincidono, e quindi solo se la retta è tangente alla funzione e si ha $x=y$$x=y$.
Ma nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, si ha $x=\log a^{p}$$x=\log a^{p}$, $y=\log b^{q}$$y=\log b^{q}$, e quindi

$$x=y\,\longrightarrow \,\log a^{p}=\log b^{q},\,\longrightarrow a^{p}=b^{q}$$

$$x=y\,\longrightarrow \,\log a^{p}=\log b^{q},\,\longrightarrow a^{p}=b^{q}$$

Verifica: mostro che il risultato trovato è corretto. Se $a^{p}=b^{q}$$a^p=b^q$,

$$a^{p}/p+b^{q}/q=a^{p}/p+a^{p}/q=a^{p}*(1/p+1/q)=a^{p}$$

$$a^{p}/p+b^{q}/q=a^{p}/p+a^{p}/q=a^{p}*(1/p+1/q)=a^{p}$$

Inoltre $b={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{p/q}$$b={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{p/q}$ quindi

$$ab=a*a^{p/q}=a^{1+p/q}$$

$$ab=a*a^{p/q}=a^{1+p/q}$$

e si ha

$$a^{p}=a^{1+p/q}\,\iff \,p/q+1=p$$

$$a^{p}=a^{1+p/q}\,\iff \,p/q+1=p$$

$$p/q+1-p=0$$

$$p/q+1-p=0$$

$$p+q-pq=0$$

$$p+q-pq=0$$

e questo è vero perché $pq=p+q$$pq=p+q$, quindi effettivamente la disuguaglianza di Young vale con il segno di uguale se $a^{p}=b^{q}$$a^p=b^q$.
Nella disuguaglianza di Hoelder vale l'uguale se la disuguaglianza di Young vale per ogni termine della sommatoria. Allora per ogni indice i, si deve avere $x_{i}^{p}=y_{i}^{q}$$x_{i}^{p}=y_{i}^{q}$.