Successioni generalizzate

E' necessario dare alcune definizioni per la dimostrazione delle cinque condizioni equivalenti anche nel caso di insiemi ortonormali non numerabili.

In spazi non numerabili serve dare una nuova definizione della somma di una serie. Considero un sottoinsieme $T$$T$ finito, con $T\subset I$$T\subset I$, e chiamo $A_{T}=\sum _{a_{i}\in T}a_{i}$$A_{T}=\sum _{a_{i}\in T}a_{i}$. Supponiamo che gli $a_{i}$$a_{i}$ siano positivi, allora definisco

$$\sum a_{i}:=\sup _{T_{\hbox{finito}},T\subset I}A_{T}.$$

$$\sum a_{i}:=\sup _{T_{\hbox{finito}},T\subset I}A_{T}.$$

Spazio filtrante

Definizione 4.7

Sia $Y$$Y$ un insieme parzialmente ordinato. Diremo che $I$$I$ è filtrante se presi $i_{1},i_{2}\in I$$i_{1},i_{2}\in I$, esiste $i_{3}\in I$$i_{3}\in I$ tale che $i_{3}\geq i_{1}$$i_{3}\geq i_{1}$ e $i_{3}\geq i_{2}$$i_{3}\geq i_{2}$ (presi due elementi nell'insieme, è sempre possibile trovarne uno maggiore di entrambi).

 

Esempio 4.4

Insieme dei sottoinsiemi finiti

Considero un insieme $Z$$Z$ e ne prendo i suoi sottoinsiemi finiti, cioè definisco

$$F_{Z}=\{T\subset Z,\,T{\hbox{finito}}\}.$$

$$F_{Z}=\{T\subset Z,\,T{\hbox{finito}}\}.$$

Presi due sottoinsiemi finiti, la loro unione è finita e li contiene tutti e due, quindi $F_{Z}$$F_{Z}$ è un insieme filtrante per l'inclusione.

insieme delle bolle

Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$$(X,\tau )$ fisso $x_{0}\in X$$x_0 \in X$ e considero $N_{x_{0}}$$N_{x_{0}}$ insieme degli intorni di $x_{0}$$x_0$. Definisco la relazione d'ordine tale che $U\geq V$$U\geq V$ se e solo se $U\subset V$$U\subset V$ (infatti più un intorno è piccolo più ci si avvicina al punto).

$N_{x_{0}}$$N_{x_{0}}$ è filtrante perché, dati due intorni $U(x_{0})$$U(x_{0})$ e $V(x_{0})$$V(x_{0})$ l'intersezione tra i due, $U(x_{0})\cap V(x_{0})$$U(x_{0})\cap V(x_{0})$, è più grande di essi rispetto alla relazione d'ordine definita.

 

Successione generalizzata

Definizione 4.8

Sia $X$$X$ un insieme, si chiama successione generalizzata in $X$$X$ una funzione definita su un insieme filtrante $I$$I$ a valori in $X$$X$.

 

Ogni successione in $X$$X$ è una successione generalizzata (infatti basta prendere come insieme filtrante $I=\mathbb {N}$$I=\mathbb {N}$).

Definizione 4.9

In uno spazio topologico, la successione generalizzata $(x_{i})_{i\in I}$$(x_{i})_{i\in I}$ converge a $x$$x$ se per ogni $U$$U$ intorno di $x$$x$, esiste $i_{0}\in I$$i_{0}\in I$ tale che per ogni $i\geq i_{0}$$i\geq i_{0}$, $x_{i}\in U$$x_{i}\in U$.

 

Proposizione 4.4

Dato $X$$X$ spazio topologico e $A\subset X$$A \subset X$, allora ${\bar {A}}$${\bar {A}}$ è l'insieme degli $z\in X$$z\in X$ tali per cui esiste una successione generalizzata a valori in $A$$A$ convergente a $z$$z$.

 

Dimostrazione

INCLUSIONE 1: Sia $z\in X$$z\in X$ tale che esiste una successione generalizzata di punti di $A$$A$ che converge a $z$$z$. Mostro che $z\in {\bar {A}}$$z\in {\bar {A}}$. Sia $U$$U$ intorno di $z$$z$, allora devo mostrare che $U\cap A\neq \emptyset$$U\cap A\neq \emptyset$ (infatti se questo avviene per ogni intorno si ha $z\in {\bar {A}}$$z\in {\bar {A}}$). Per ipotesi esiste una successione generalizzata $(a_{i})_{i\in I}$$(a_{i})_{i\in I}$ convergente a $z$$z$, quindi deve esistere $i_{0}$$i_0$ tale che per ogni $i\geq i_{0}$$i\geq i_{0}$, $a_{i}\in U(z)$$a_{i}\in U(z)$, quindi questo implica $a_{i}\in U\cap A$$a_{i}\in U\cap A$ e $U\cap A\neq \emptyset$$U\cap A\neq \emptyset$, cioè $z\in {\bar {A}}$$z\in {\bar {A}}$.

INCLUSIONE 2: Viceversa, supponiamo che $z$$z$ appartenga a ${\bar {A}}$${\bar {A}}$, questo equivale a dire che per ogni $U$$U$ intorno di $z$$z$, $U\cap A$$U\cap A$ è non vuoto. Allora esiste $x_{i}\in A\cap U$$x_{i}\in A\cap U$. Considero quindi l'insieme filtrante $I$$I$ degli intorni di $z$$z$ come insieme di indici, e il net che associa ad un certo $i$$i$ (e quindi ad un certo $U$$U$ intorno di $z$$z$) l'elemento $x_{i}\in A\cap U$$x_{i}\in A\cap U$, che esiste per quanto detto sopra. Ovviamente la successione generalizzata degli $x_{i}$$x_i$ converge a $z$$z$, infatti, se considero $W=U(z)$$W=U(z)$, allora certamente esiste $i_{0}$$i_0$ tale che per ogni $i\geq i_{0}$$i\geq i_{0}$, $x_{i}\in W$$x_{i}\in W$ (basta prendere $i_{0}=W$$i_{0}=W$, perché, in base alla relazione d'ordine definita sull'insieme filtrante degli intorni, prendere $i\geq i_{0}$$i\geq i_{0}$ significa prendere intorni contenuti in $W$$W$.)

 

Continuità

Si può mostrare che anche la continuità si descrive con le successioni generalizzate.

Teorema 4.8

Siano $X,Y$$X,Y$ spazi topologici, $f:X\to Y$$f:X \to Y$ e $x_{0}\in X$$x_0 \in X$. $f$$f$ è continua se e solo se per ogni successione generalizzata che tende a $x_{0}$$x_0$, si ha che la nuova successione generalizzata $(f(x_{i}))_{i\in I}$$(f(x_{i}))_{i\in I}$ tende a $f(x_{0})$$f(x_{0})$.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Suppongo che $f$$f$ sia continua in $x_{0}$$x_0$. Dire che il net converge a $x_{0}$$x_0$ significa che per ogni $U$$U$ intorno di $x_{0}$$x_0$, esiste $i_{0}\in I$$i_{0}\in I$ tale che per ogni $i\geq i_{0}$$i\geq i_{0}$, $x_{i}\in U$$x_{i}\in U$. Mostro che esiste un indice $i_{1}\in I$$i_{1}\in I$ tale che per ogni $i\geq i_{1}$$i\geq i_{1}$, $f(x_{i})\in W$$f(x_{i})\in W$ con $W$$W$ intorno di $f(x_{0})$$f(x_{0})$. Per la continuità di $f$$f$ in $x_{0}$$x_0$ esiste $U_{1}(x_{0})$$U_{1}(x_{0})$ tale che $f(U)\subset W$$f(U)\subset W$, segue che $f(x_{i})\in W$$f(x_{i})\in W$ per ogni $i\geq i_{1}$$i\geq i_{1}$ (cioè, in base alla relazione d'ordine definita sull'insieme filtrante degli intorni, per ogni $U$$U$ contenuto in $U_{1}$$U_{1}$).

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Viceversa, supponiamo che per ogni net $(x_{i})_{i\in I}$$(x_{i})_{i\in I}$ convergente a $x_{0}$$x_0$, $f(x_{i})\to f(x_{0})$$f(x_{i})\to f(x_{0})$ e deduciamo la continuità di $f$$f$ in $x_{0}$$x_0$. Sia $W$$W$ intorno di $f(x_{0})$$f(x_{0})$ e cerco $U$$U$ tale che $f(U)\subset W$$f(U)\subset W$. Supponiamo per assurdo che per ogni $U$$U$ intorno di $x_{0}$$x_0$ non sia vero che $f(U)\subset W$$f(U)\subset W$, allora per ogni $U$$U$ esiste $x_{U}\in U$$x_{U}\in U$ tale che $f(x_{U})\notin W$$f(x_{U})\notin W$. Allora $\{x_{U}\}_{U\in U(x_{0})}$$\{x_{U}\}_{U\in U(x_{0})}$ è un net, che converge a $x_{0}$$x_0$, allora per ipotesi si ha $f(x_{U})\to f(x_{0})$$f(x_{U})\to f(x_{0})$ contro l'ipotesi assurda. (questa dimostrazione non funzionerebbe in tutti gli spazi se si usassero successioni a valori in $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ invece dei net, perché in generale la famiglia degli intorni non è indicizzabile in modo numerabile).

 

Successione generalizzata di Cauchy

Definizione 4.10

Sia $X$$X$ uno spazio metrico e $(X_{i})_{i\in I}$$(X_{i})_{i\in I}$ un net in $X$$X$, cioè una funzione $f:I\to X$$f:I\to X$. $(X_{i})_{i\in I}$$(X_{i})_{i\in I}$ è di Cauchy se per ogni $\varepsilon$$\varepsilon$ esiste $i_{0}\in I$$i_{0}\in I$ tale che per ogni $i_{1},i_{2}\geq i_{0}$$i_{1},i_{2}\geq i_{0}$, $d(x_{i_{1}},x_{i_{2}})\leq \varepsilon$$d(x_{i_{1}},x_{i_{2}})\leq \varepsilon$.

 

Teorema 4.9

$(X,d)$$(X,d)$ è completo (ogni successione di Cauchy definita su $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ converge) se e solo se ogni net di Cauchy in $X$$X$ è convergente.

 

(la condizione $2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$ è banale, ma bisognerà dimostrare $1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$)

Net e spazi di Hilbert

Sia $X$$X$ di Hilbert e $E\subset X$$E\subset X$ ortonormale completo, fissiamo $x\in X$$x \in X$ e $F$$F$ sottoinsieme finito di $E$$E$, e chiamo $x_{F}=\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e$$x_{F}=\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e$.

Lemma 4.2

$(x_{F})_{F\subset E,\,|F|<\infty }$$(x_{F})_{F\subset E,\,|F|<\infty }$ indicizzato dai sottoinsiemi finiti in $E$$E$ è un net di Cauchy.

 

Dimostrazione

L'insieme dei sottoinsiemi finiti è un insieme filtrante e può essere utilizzato per indicizzare un net. L'insieme

$$E_{i}=\{e\in E,\,t.c.\,x\cdot e\neq 0\}$$

$$E_{i}=\{e\in E,\,t.c.\,x\cdot e\neq 0\}$$

è numerabile. Siccome vale Bessel, si ha

$$\sum _{e\in E_{i}}|x\cdot e|^{2}\leq \|x\|^{2}$$

$$\sum _{e\in E_{i}}|x\cdot e|^{2}\leq \|x\|^{2}$$

cioè la serie converge e la sua coda è trascurabile, quindi dato $\varepsilon$$\varepsilon$ positivo, esiste $n_{0}$$n_{0}$ tale che

$$\sum _{k=n_{0}+1}^{\infty }|x\cdot e_{k}|^{2}\leq \varepsilon ^{2},\,{\hbox{relazione }}\ast$$

$$\sum _{k=n_{0}+1}^{\infty }|x\cdot e_{k}|^{2}\leq \varepsilon ^{2},\,{\hbox{relazione }}\ast$$

In questo caso l'indice $i_{0}$$i_0$ per cui la successione è di Cauchy è dato dall'insieme $F_{0}=\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n_{0}}\}\subset X$$F_{0}=\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n_{0}}\}\subset X$. Infatti per ogni $F,G\subset E$$F,G\subset E$ finiti, con $F,G\supset F_{0}$$F,G\supset F_{0}$, si ha

$$\|x_{F}-x_{G}\|^{2}\leq \|\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e-\sum _{e\in G}|x\cdot e|*e\|^{2}$$

$$\|x_{F}-x_{G}\|^{2}\leq \|\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e-\sum _{e\in G}|x\cdot e|*e\|^{2}$$

e per Pitagora, tenendo conto che gli $e$$e$ sono a due a due ortogonali, si ha che:

$$\|x_{F}-x_{G}\|^{2}\leq \sum _{e\in F}|x\cdot e|^{2}-\sum _{e\in G}|x\cdot e|^{2}$$

$$\|x_{F}-x_{G}\|^{2}\leq \sum _{e\in F}|x\cdot e|^{2}-\sum _{e\in G}|x\cdot e|^{2}$$

e tenendo conto che per $e\in F\cap G$$e\in F\cap G$ i termini compaiono con segno opposto e si elidono, si ha:

$$=\sum _{F\bigtriangleup G}|x\cdot e|^{2}$$

$$=\sum _{F\bigtriangleup G}|x\cdot e|^{2}$$

e da questa riscrittura è evidente che non compaiono termini della forma $|x\cdot e|$$|x\cdot e|$ con $e\in F_{0}$$e\in F_{0}$ perché $F_{0}\subset F\cap G$$F_{0}\subset F\cap G$, quindi la quantità considerata è $\leq \varepsilon ^{2}$$\leq \varepsilon ^{2}$ per la relazione $\ast$$\ast$ (sto considerando solo una parte della coda che è trascurabile) e il net considerato è di Cauchy.

 

Per il teorema sulla completezza, segue anche che il net $(x_{F})_{F\subset E,|F|<\infty }$$(x_{F})_{F\subset E,|F|<\infty }$ converge a un certo vettore $z\in X$$z\in X$.

Condizioni equivalenti per insiemi non necessariamente numerabili

Teorema 4.10

Sia $X$$X$ di Hilbert e $E$$E$ sottoinsieme ortonormale completo. Sono equivalenti:

1. $E$$E$ è una base (un sottoinsieme ortonormale massimale)
2. $E^{\perp }=\{0\}$$E^{\perp }=\{0\}$
3. $E$$E$ è completo (l'inviluppo lineare di $E$$E$ è denso in $X$$X$)
4. per ogni $x\in X$$x \in X$, $x=\lim _{F}x_{F}$$x=\lim _{F}x_{F}$ ($x$$x$ coincide con $z$$z$ di cui prima abbiamo mostrato l'esistenza)
5. per ogni $x$$x$, $\|x\|^{2}=\sum _{e\in X}|x\cdot e|^{2}$$\|x\|^{2}=\sum _{e\in X}|x\cdot e|^{2}$.

 

Dimostrazione

L'equivalenza dei punti 1,2,3 è già stata dimostrata nel caso numerabile e non dipende dalla cardinalità di $E$$E$.

$2\longrightarrow 4$$2\longrightarrow 4$: devo mostrare che $x=z$$x=z$ con $z=\lim _{F\subset E}x_{F}$$z=\lim _{F\subset E}x_{F}$. Dato $e\in E$$e\in E$, considero

$$(x-z)\cdot e=x\cdot e-z\cdot e=x\cdot e-(\lim _{F}x_{F})\cdot e$$

$$(x-z)\cdot e=x\cdot e-z\cdot e=x\cdot e-(\lim _{F}x_{F})\cdot e$$

$$=x\cdot e-\lim _{F}(x_{F}\cdot e)=x\cdot e-\lim _{F}(\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e)\cdot e=x\cdot e-x\cdot e=0$$

$$=x\cdot e-\lim _{F}(x_{F}\cdot e)=x\cdot e-\lim _{F}(\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e)\cdot e=x\cdot e-x\cdot e=0$$

(questo passaggio vale perché posso supporre che il vettore $e$$e$ fissato stia in $F$$F$)

A questo punto per la proprietà 2 $(x-z)\perp e$$(x-z)\perp e$ implica $x-z=0$$x-z=0$, $x=z$$x=z$.

$2\longrightarrow 5$$2\longrightarrow 5$:

$$\|x\|^{2}=x\cdot x=x\cdot \lim _{F}x_{F}$$

$$\|x\|^{2}=x\cdot x=x\cdot \lim _{F}x_{F}$$

$$=\lim _{F}(x\cdot x_{F})=\lim _{F}(\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e)\cdot x)=\lim _{F}\sum _{e\in F}|x\cdot e|^{2}=\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}$$

$$=\lim _{F}(x\cdot x_{F})=\lim _{F}(\sum _{e\in F}|x\cdot e|*e)\cdot x)=\lim _{F}\sum _{e\in F}|x\cdot e|^{2}=\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}$$

$5\longrightarrow 1$$5\longrightarrow 1$: condizione già dimostrata, non dipende dalla cardinalità di $E$$E$.

 

Questo teorema è ben posto perché, per il lemma di Zorn, sappiamo che ogni insieme ammette una base ortonormale.