Base di Hilbert

Insiemi parzialmente ordinati

Definizione 4.3

$Y$$Y$ è un insieme parzialmente ordinato. se esiste una relazione binaria $\leq$$\leq$ che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva (ne è un esempio l'insieme delle parti con l'inclusione). Un insieme si dice totalmente ordinato se è parzialmente ordinato e se due elementi qualsiasi nell'insieme sono confrontabili tra loro, cioè $a\leq b$$a\leq b$ o $b\leq a$$b\leq a$ per ogni $a,b\in Y$$a,b\in Y$.

 

Esempio 4.3

Considero $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ e introduco la relazione d'ordine $a\leq b\iff a\mid b$$a\leq b\iff a\mid b$. Questo è un insieme parzialmente ordinato (infatti non è vero che tutti gli elementi sono confrontabili tra loro, ad esempio $5\nmid 3,3\nmid 5$$5\nmid 3,3\nmid 5$). Dato un sottoinsieme di $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$, rispetto a questa relazione l'M.C.D. è l'inf di tale insieme e l'$m.c.m.$$m.c.m.$ è il sup.

 

Definizione 4.4

Sia $Y$$Y$ parzialmente ordinato, e sia $S\subset Y$$S\subset Y$. $x\in S$$x\in S$ è massimale per $S$$S$ se non esiste nessun elemento di $S$$S$ maggiore di $x$$x$, quindi se la condizione $x\leq s$$x\leq s$ implica $x=s$$x=s$.

 

Ci sono alcuni sottoinsiemi che hanno elemento massimale ma non hanno massimo: ad esempio posso considerare un diagramma con cinque punti, tre allineati su una riga e due allineati sulla riga sopra. Può anche avvenire che un insieme non abbia elementi massimali, ad esempio $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ con la relazione d'ordine tra i numeri non ha elementi massimali.

Lemma di Zorn

Lemma 4.1 (lemma di Zorn)

Se ogni sottocatena di $Y$$Y$ ha maggiorante, allora $Y$$Y$ ha elementi massimali.

 

catena $=$$=$ sottoinsieme totalmente ordinato in un insieme parzialmente ordinato

Il lemma di Zorn afferma che dati infiniti insiemi $C_{i}$$C_i$ non vuoti, posso costruire un insieme prendendo un elemento in ogni $C_{i}$$C_i$.

Basi di Hilbert

Definizione 4.5

Si chiama base di uno spazio di Hilbert un sottoinsieme ortonormale massimale (dire che la famiglia è massimale significa che, se ci aggiungo un vettore, esso dev'essere necessariamente 0).

 

Teorema 4.6

Ogni spazio di Hilbert, non ridotto al solo 0, ammette una base.

 

Dimostrazione

Se $X$$X$ è diverso dal sottospazio nullo, esisterà $x\in X$$x \in X$, con $x\neq 0$$x \neq 0$, allora l'insieme costituito dal solo elemento $e={\frac {x}{\|x\|}}$$e={\frac {x}{\|x\|}}$ è ortonormale, e quindi l'insieme dei sottoinsiemi ortonormali di $X$$X$ non è vuoto. Se $E_{i}$$E_i$ è una famiglia totalmente ordinata per inclusione di sottoinsiemi ortonormali, allora esiste $E$$E$ maggiorante della catena. Prendo $E=\bigcup _{i}E_{i}$$E=\bigcup _{i}E_{i}$. Il prodotto tra due vettori $x,y$$x,y$ in $E$$E$ è nullo, perchè ad esempio si avrà $x\in E_{i_{1}},y\in E_{i_{2}}$$x\in E_{i_{1}},y\in E_{i_{2}}$ e siccome i due insiemi sono confrontabili, se ad esempio $E_{i_{1}}\subset E_{i_{2}}$$E_{i_{1}}\subset E_{i_{2}}$, si ha che $x,y\in E_{i_{2}}$$x,y\in E_{i_{2}}$ e quindi sono ortonormali. (il fatto che gli elementi siano confrontabili è vero solo perché ho una catena). Allora $E$$E$ è la base cercata.

 

Cinque condizioni equivalenti

Teorema 4.7

Sia $X$$X$ di Hilbert e considero un sottoinsieme ortonormale numerabile. Sono equivalenti cinque condizioni:

1. $E$$E$ è una base
2. $E^{\perp }=\{0\}$$E^{\perp }=\{0\}$
3. $E$$E$ è completo
4. ogni $x$$x$ è somma della sua serie di Fourier
5. vale l'identità di Parseval

 

Dimostrazione

Abbiamo già mostrato che le condizioni dalla 2 alla 5 sono equivalenti. Mostro che la condizione 1 è equivalente a una qualsiasi delle altre.

Supponiamo che $E$$E$ sia una base; se esiste $x\neq 0$$x \neq 0$ tale che $x\perp E$$x\perp E$, posso considerare il vettore di norma 1 $x'={\frac {x}{\|x\|}}$$x'={\frac {x}{\|x\|}}$. Detto $E'=E\cup x'$$E'=E\cup x'$, questo è un sottoinsieme ortonormale che contiene $E$$E$, e questo va contro l'ipotesi che $E$$E$ sia una base. Quindi $x\perp E\longrightarrow x=0$$x\perp E\longrightarrow x=0$, e vale la condizione 2.

Il viceversa vale perché se $E^{\perp }=0$$E^{\perp }=0$, allora ${\rm {{Lin}E=X}}$${\rm {{Lin}E=X}}$.

 

Relazione tra basi di Hilbert e basi algebriche

Uno spazio $X$$X$ di Hilbert è anche uno spazio vettoriale, e quindi ha anche una base algebrica (base di Hamel). Queste due basi coincidono se e solo se lo spazio è di dimensione finita. A priori, detta ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ una base di Hilbert e ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ una base algebrica, per le loro cardinalità si ha $|{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {C}}|$$|{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {C}}|$ (infatti una base di Hilbert è anche una base algebrica). Nel caso infinito vale la relazione $|{\mathcal {B}}|=2^{|{\mathcal {C}}|}$$|{\mathcal {B}}|=2^{|{\mathcal {C}}|}$.

Per dimostrare l'uguaglianza delle cardinalità delle due basi nel caso finito è necessaria la seguente proposizione

Proposizione 4.2

Sia $X$$X$ di Hilbert e $Y\subset X$$Y\subset X$ di dimensione finita, allora $Y$$Y$ è chiuso.

 

Dimostrazione

Sugli spazi di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti. Allora su $Y$$Y$ posso prendere come norma la restrizione ad $Y$$Y$ della norma di $X$$X$. Questa dev'essere equivalente alla norma 1.

Siccome $Y$$Y$ ha dimensione finita, avrà una base $\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$$\{v_{1},\dots ,v_{k}\}$. Ogni elemento si scrive come

$$x=\sum _{i}\alpha _{i}v_{i}$$

$$x=\sum _{i}\alpha _{i}v_{i}$$

allora

$$\|y\|_{1}=\sum _{i}|\alpha _{i}|$$

$$\|y\|_{1}=\sum _{i}|\alpha _{i}|$$

Esistono due costanti tali che per ogni $y$$y$,

$$\|y\|_{1}\leq c*\|y\|,\quad \|y\|\leq d*\|y\|_{1}$$

$$\|y\|_{1}\leq c*\|y\|,\quad \|y\|\leq d*\|y\|_{1}$$

ma con $\|\cdot \|_{1}$$\|\cdot \|_{1}$$Y$$Y$ è completo. Se ho una successione di Cauchy per la norma iniziale, essa lo sarà anche per la norma 1. Ma con la norma 1 $Y$$Y$ è completo, allora la successione converge ad un certo $y$$y$ per la norma 1. Allora si avrà la convergenza anche per la norma indotta, e quindi $Y$$Y$ è completo con la norma indotta, ma se è completo è chiuso (dimostrazione $\ast$$\ast$).

 

$X\cong \mathbb {R} ^{n}$$X\cong \mathbb {R} ^{n}$ per questo valgono i discorsi validi per gli spazi reali.

Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Preso $z\in Y^{\prime }$$z\in Y^{\prime }$, allora esiste una successione di elementi di $Y$$Y$ che converge a $z$$z$, e questa successione è di Cauchy. Ma per la completezza di $Y$$Y$, la successione converge in $Y$$Y$ cioè $z\in Y$$z\in Y$, quindi $Y$$Y$ contiene i suoi punti di accumulazione ed è chiuso.

 

Tutti i sottoinsiemi completi di uno spazio metrico sono chiusi.

Dimostro la relazione tra le cardinalità delle due basi nel caso finito:

Dimostrazione

Supponiamo che ${\rm {{dim}X}}$${\rm {{dim}X}}$ sia finita, e sia ${\mathcal {T}}$${\mathcal {T}}$ una base di Hilbert. Per la massimalità di ${\mathcal {T}}$${\mathcal {T}}$ si ha ${\mathcal {T}}^{\perp }=0$${\mathcal {T}}^{\perp }=0$, allora ${\rm {{Lin}{\mathcal {T}}}}$${\rm {{Lin}{\mathcal {T}}}}$ è denso in $X$$X$, e ha dimensione finita, quindi è chiuso. Allora ${\rm {{Lin}{\mathcal {T}}=X}}$${\rm {{Lin}{\mathcal {T}}=X}}$, cioè ${\mathcal {T}}$${\mathcal {T}}$ è un sottoinsieme formato da vettori linearmente indipendenti che genera $X$$X$, cioè $|{\mathcal {T}}|=|{\mathcal {C}}|$$|{\mathcal {T}}|=|{\mathcal {C}}|$.

 

Dimensione di uno spazio di Hilbert

Proposizione 4.3

Sia $X$$X$ di Hilbert e siano $F,G$$F,G$ due sottoinsiemi ortonormali completi (due basi). Allora $|F|=|G|$$|F|=|G|$.

 

Dimostrazione

CASO 1: supponiamo che $|F|$$|F|$ sia finita, e che $F=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}$$F=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}$, allora

$$X={\overline {\rm {{Lin}\{f_{1},\dots ,f_{n}\}}}}={\rm {{Lin}\{f_{1},\dots ,f_{n}\}}}$$

$$X={\overline {\rm {{Lin}\{f_{1},\dots ,f_{n}\}}}}={\rm {{Lin}\{f_{1},\dots ,f_{n}\}}}$$

dove l'ultimo passaggio vale perché un sottospazio vettoriale di dimensione finita è sempre chiuso. Segue quindi che $F$$F$ è anche una base algebrica, e $\dim X=|F|$$\dim X=|F|$. Inoltre come spazio vettoriale ${\rm {{Lin}G\subset X}}$${\rm {{Lin}G\subset X}}$, allora $\dim {\rm {{Lin}G=|G|\leq \dim X=|F|}}$$\dim {\rm {{Lin}G=|G|\leq \dim X=|F|}}$, allora $|G|$$|G|$ è finita. Posso ripetere il procedimento partendo da $G$$G$, e ottengo $|F|\leq |G|$$|F|\leq |G|$, e dalle due disuguaglianze segue $|F|=|G|$$|F|=|G|$.

CASO 2: siano $|F|,|G|$$|F|,|G|$ infinite. Fissiamo $f\in F$$f\in F$, allora l'insieme

$$G_{f}=\{g\in G\,t.c.\,f\cdot g\neq 0\}$$

$$G_{f}=\{g\in G\,t.c.\,f\cdot g\neq 0\}$$

è numerabile (dimostrato precedentemente). Affermo che $G=\bigcup _{f\in F}G_{f}$$G=\bigcup _{f\in F}G_{f}$, vale la doppia inclusione infatti:

1. $\bigcup _{f\in F}G_{f}\subset G$$\bigcup _{f\in F}G_{f}\subset G$ perché i $G_{f}$$G_f$ sono fatti da elementi di $G$$G$.
2. Se $g\in G$$g\in G$, allora deve esistere $f\in F$$f\in F$ tale che $g\cdot f\neq 0$$g\cdot f\neq 0$, altrimenti si avrebbe $g\cdot f=0\forall f$$g\cdot f=0\forall f$, e quindi $g=0$$g=0$, ma questo non può avvenire perché $g$$g$ deve avere norma 1 essendo un vettore di una base ortonormale. Quindi $G\subset \bigcup _{f\in F}G_{f}$$G\subset \bigcup _{f\in F}G_{f}$.

Detta $\varepsilon$$\varepsilon$ la cardinalità di un insieme numerabile si ha

$$|G|\leq \varepsilon *|F|$$

$$|G|\leq \varepsilon *|F|$$

allora se $|G|$$|G|$ è infinito anche $|F|$$|F|$ è infinito, e rovesciando il ragionamento si ottiene $|F|\leq |G|*\varepsilon$$|F|\leq |G|*\varepsilon$, da cui l'uguaglianza.

 

Definizione 4.6

Si chiama dimensione di uno spazio di Hilbert la cardinalità di ogni base.

 

Gli spazi di Hilbert di dimensione numerabile sono tutti e soli gli spazi separabili in senso topologico.

Esercizio 4.3

Dimostrare che $\dim l^{2}(I)=|I|$$\dim l^{2}(I)=|I|$.

 

Dimostrazione

Posso considerare come base di questo spazio l'insieme delle funzioni $f_{i}(j)=\delta _{ij}$$f_{i}(j)=\delta _{ij}$ per ogni $i\in I$$i\in I$. Questi elementi hanno norma 1, infatti:

$$\|f_{i}\|_{2}={\sqrt {\sum _{j\in I}|f_{i}(j)|^{2}}}={\sqrt {\sum _{j\in I}\delta _{ij}}}=1$$

$$\|f_{i}\|_{2}={\sqrt {\sum _{j\in I}|f_{i}(j)|^{2}}}={\sqrt {\sum _{j\in I}\delta _{ij}}}=1$$

Inoltre le $f_{i}$$f_{i}$ sono ortogonali tra loro, infatti:

$$i\neq k\,\longrightarrow \,f_{i}\cdot f_{k}=\sum _{j\in I}f_{i}(j)g_{k}(j)=\sum _{j\in I}\delta _{ij}\delta _{kj}=0$$

$$i\neq k\,\longrightarrow \,f_{i}\cdot f_{k}=\sum _{j\in I}f_{i}(j)g_{k}(j)=\sum _{j\in I}\delta _{ij}\delta _{kj}=0$$

Questo insieme di funzioni inoltre è massimale, perché se ci aggiungessi un altro elemento, che sia ortogonale a tutti gli altri, esso sarebbe necessariamente la funzione nulla. Quindi le funzioni $(f_{i})_{i\in I}$$(f_{i})_{i\in I}$ costituiscono una base di Hilbert e ${\rm {{dim}l^{2}=|I|}}$${\rm {{dim}l^{2}=|I|}}$.

 

Se la dimensione di $X$$X$ come spazio di Hilbert è la cardinalità numerabile $\varepsilon$$\varepsilon$, allora la dimensione algebrica di $X$$X$ è $2^{\varepsilon }$$2^{\varepsilon }$. Ad esempio, nel caso di $l^{2}$$l^{2}$ inteso come spazio delle successioni convergenti a valori reali (cioè $l^{2}(I)$$l^{2}(I)$ con $I=\mathbb {N}$$I=\mathbb {N}$), si ha che la sua dimensione come spazio di Hilbert è $|I|=|\mathbb {N} |=\varepsilon$$|I|=|\mathbb {N} |=\varepsilon$ ma la dimensione algebrica di $l^{2}$$l^{2}$

è la dimensione del continuo. Questo si spiega per il fatto che, a differenza degli spazi vettoriali finiti, non è detto che l'inviluppo lineare generato dai vettori della base sia chiuso, e prendendone la chiusura si aggiungono ad esso molti elementi.

Osservazione 4.2 (osservazione intuitiva)

Dato uno spazio di dimensione finita, ci sono $n$$n$ vettori $e_{1},\dots ,e_{n}$$e_{1},\dots ,e_{n}$ tali che

$$x=\sum _{i}x_{i}e_{i}$$

$$x=\sum _{i}x_{i}e_{i}$$

per ogni $x\in X$$x \in X$.
Per estendere il procedimento a un numero infinito di vettori, si scrive

$$x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}e_{i},\,{\hbox{serie}}$$

$$x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}e_{i},\,{\hbox{serie}}$$

dove $x_{i}=x\cdot e_{i}$$x_{i}=x\cdot e_{i}$.
Al finito

$$\|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$$

$$\|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$$

ed estendendo al caso infinito si ottiene l'identità di Parseval.