Nozioni elementari sulle matrici

Osservazione 7.1

Se $U\in \mathbb {R} ^{k}$$U\in \mathbb {R} ^{k}$ e' generato da vettori $u_{1},\dots ,u_{l}$$u_{1},\dots ,u_{l}$, $U={\rm {{span}\{u_{1},\dots ,u_{l}\}}}$$U={\rm {{span}\{u_{1},\dots ,u_{l}\}}}$, allora ci chiediamo

1. come calcolare la dimensione di $U$$U$;
2. come trovare equazioni cartesiane per $U$$U$.

Scriviamo $u_{1},\dots ,u_{l}$$u_{1},\dots ,u_{l}$ come una matrice $k\times l$$k\times l$.

 

Definizione di matrice

Definizione 7.1

Una matrice$k\times l$$k\times l$ e' un ordinamento di numeri $a_{i_{j}}$$a_{i_{j}}$ disposti in $k$$k$ righe e $l$$l$ colonne.

 

Esempio 7.1

Se $A$$A$ e' una matrice $2\times 2$$2\times 2$ essa e' della forma

$${\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}$$

$${\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}$$

Un esempio di matrice $A$$A$$3\times 2$$3\times 2$ è il seguente:

$${\begin{array}{cc}1&5\\3&6\\1&6\end{array}}$$

$${\begin{array}{cc}1&5\\3&6\\1&6\end{array}}$$

Un vettore colonna e' una matrice $n\times 1$$n\times 1$, mentre un vettore riga e' una matrice $1\times n$$1\times n$.

Data una matrice $A=k\times l$$A=k\times l$ della forma:

$${\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{k1}&a_{k2}&\dots &a_{kl}\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{k1}&a_{k2}&\dots &a_{kl}\end{array}}$$

$A^{j}$$A^{j}$ e' la j-esima colonna di $A$$A$, cioe' e' il vettore colonna

$${\begin{array}{c}a_{1j}\\a_{2j}\\\ldots \\a_{kj}\end{array}}$$

$${\begin{array}{c}a_{1j}\\a_{2j}\\\ldots \\a_{kj}\end{array}}$$

che e' un vettore in $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$ per $j=1,\dots ,l$$j=1,\dots ,l$

Invece $a_{i}$$a_{i}$ sara' la i-esima riga. E' un vettore riga $(a_{i1},\dots ,a_{il})$$(a_{i1},\dots ,a_{il})$ per $i=1,\dots ,k$$i=1,\dots ,k$.

 

Definizione 7.2

Sia $A$$A$ una matrice $k\times l$$k\times l$, allora il rango per colonne di $A$$A$ e' la dimensione dello span delle colonne di $A$$A$, dove ${\rm {{span}\{a^{1},\dots ,a^{l}\}}}$${\rm {{span}\{a^{1},\dots ,a^{l}\}}}$ e' un sottospazio vettoriale di $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$

 

Analogamente, il rango per righe e' la dimensione dello span delle righe quando le traspongo.

Il problema di calcolare la dimensione di un sottospazio vettoriale $U\in \mathbb {R} ^{k}$$U\in \mathbb {R} ^{k}$, noti dei generatori, equivale quindi al problema di calcolare il rango di una matrice avente per colonne tali generatori.

Operazioni per riga

Definizione 7.3

Le operazioni elementari per righe su una matrice $k\times l$$k\times l$ sono le seguenti:

1. scambio di due righe: Questa operazione porta la matrice $A$$A$ in una matrice $A'$$A'$ che e' uguale ad $A$$A$, ma in cui la i-esima riga viene scambiata con la j-esima.
2. moltiplicare una riga per uno scalare diverso da 0: Questa operazione porta la matrice $A$$A$ in una matrice $A'$$A'$ dove tutte le righe di $A$$A$ rimangono invariate ma al posto della j-esima riga ho questa riga moltiplicata per uno scalare. $a_{j}$$a_{j}$ viene sostituita con $\lambda *a_{j},\lambda \in \mathbb {R} ,\lambda \neq 0$$\lambda *a_{j},\lambda \in \mathbb {R} ,\lambda \neq 0$;
3. sommare a una riga un multiplo scalare di un'altra riga Nella matrice $A'$$A'$ la j-esima riga della matrice $A$$A$ viene sostituita con la i-esima riga sommata a un multiplo scalare della j-esima. Ad esempio $a_{j}$$a_{j}$ viene sostituita con $a_{j}+\lambda *a_{i}$$a_{j}+\lambda *a_{i}$, con $i\neq j,\lambda in\mathbb {R}$$i\neq j,\lambda in\mathbb {R}$

 

Definizione 7.4

Due matrici sono equivalenti per operazioni per righe se una matrice si puo' ottenere dall'altra attraverso una sequenza di operazioni.

 

Teorema 7.1

le operazioni elementari per righe non cambiano il rango di una matrice.

 

Esempio 7.2

Supponiamo di avere un sottospazio $V$$V$ generato dai vettori: $v_{1}(1,6,0,1),v_{2}(4,0,0,2),v_{3}(6,5,3,1)$$v_{1}(1,6,0,1),v_{2}(4,0,0,2),v_{3}(6,5,3,1)$. Determinarne il rango.

Considero la matrice che ha per colonne i vettori dati.

L'obiettivo è quello di calcolare il rango di $A$$A$.

Come risultato del teorema precedente, mediante operazioni elementari per righe cerco di ridurre la matrice $A$$A$ in una forma nella quale il rango sia in qualche modo evidente. In particolare, riduco la matrice in forma triangolare superiore (con zeri sotto la diagonale) azzerando una sottocolonna alla volta e tengo traccia delle operazioni fatte.

$${\begin{array}{ccc}1&4&6\\6&0&5\\0&0&3\\1&2&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}1&4&6\\6&0&5\\0&0&3\\1&2&1\end{array}}$$

Chiamo le righe $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$.

1. Per azzerare la prima colonna, $a_{1}$$a_1$ rimane invariata (non devono esserci zeri su questa riga), sostituisco $a_{2}$$a_2$ con $a_{2}-6*a_{1}$$a_{2}-6*a_{1}$ in modo da annullarne la prima entrata. Sostituisco $a_{4}$$a_{4}$ con $a_{4}-a_{1}$$a_{4}-a_{1}$
   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&-2&-5\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&-2&-5\end{array}}$$
2. Per azzerare la seconda sottocolonna:
   $$a_{4}=a_{4}*12$$

   $$a_{4}=a_{4}*12$$
   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&-24&-60\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&-24&-60\end{array}}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$
   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&-29\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&-29\end{array}}$$
3. Per azzerare la terza sottocolonna
   $$a_{4}=a_{4}*3$$

   $$a_{4}=a_{4}*3$$
   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&-87\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&-87\end{array}}$$
   $$a_{4}=a_{4}+a_{3}*29$$

   $$a_{4}=a_{4}+a_{3}*29$$
   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&0\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&4&6\\0&-24&-31\\0&0&3\\0&0&0\end{array}}$$

Il rango della matrice ottenuta è 3 (i vettori sono linearmente indipendenti perché hanno zeri in posizioni diverse), quindi la dimensione dello span dei vettori di partenza è 3.

A priori, so che la dimensione dello span di tre vettori e' minore o uguale a 3 e vale l'uguale se e solo se le colonne della matrice ottenuta alla fine (e quindi anche i vettori iniziali) sono linearmente indipendenti.

 

Matrici a scala

Questo procedimento si sceglie per il fatto che una classe di matrici per cui il rango e' evidente sono le matrici a scala.

Piu' precisamente, data una qualsiasi matrice $k\times l$$k\times l$ con la i-esima riga $a_{i}=(a_{1i},\dots ,a_{li})$$a_{i}=(a_{1i},\dots ,a_{li})$, il textit o textit della i-esima riga e' la prima entrata diversa da 0 che si incontra lungo tale riga andando da sinistra a destra.

Una textit si dice textit se soddisfa queste due condizioni:

1. il gradino della i-esima riga e' a sinistra del gradino della $i+1-$$i+1-$esima riga.
2. le eventuali righe nulle sono in fondo.

In particolare, il rango di una matrice a scala e' il numero dei gradini, usando la definizione di linear indipendenza. Una colonna senza gradino e' combinazione lineare delle colonne precedenti.

Qualsiasi matrice puo' essere portata in forma a scala mediante un'opportuna sequenza finita di operazioni elementari per riga.

Quindi possiamo trovare la dimensione di qualsiasi sottospazio.

Esempio 7.3

Considero il sottospazio $U$$U$ generato dai vettori $v_{1}(1,0,1,2)$$v_{1}(1,0,1,2)$, $v_{2}(3,-1,0,1)$$v_{2}(3,-1,0,1)$, $v_{3}(2,-1,-1,-1)$$v_{3}(2,-1,-1,-1)$, $v_{4}(5,-2,-1,0)$$v_{4}(5,-2,-1,0)$. Trovare la dimensione di $U$$U$ e una sua base.

Scrivo la matrice che ha come colonna i vettori.

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\1&0&-1&-1\\2&1&-1&0\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\1&0&-1&-1\\2&1&-1&0\end{array}}$$

Per azzerare la prima colonna:

$$a_{3}=a_{3}-a_{1},\,a_{4}=a_{4}-2*a_{3}$$

$$a_{3}=a_{3}-a_{1},\,a_{4}=a_{4}-2*a_{3}$$

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\0&-3&-3&-6\\0&1&1&2\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\0&-3&-3&-6\\0&1&1&2\end{array}}$$

Per azzerare la seconda sottocolonna, lascio invariate prima e seconda riga ed eseguo

$$a_{3}=a_{3}-3*a_{2};a_{4}=a_{4}+a_{2}$$

$$a_{3}=a_{3}-3*a_{2};a_{4}=a_{4}+a_{2}$$

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\0&-0&-0&0\\0&0&0&0\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&3&2&5\\0&-1&-1&-2\\0&-0&-0&0\\0&0&0&0\end{array}}$$

Ora la matrice e' in forma a scala Ho due gradini, perche' le altre due righe sono fatte solo da 0.

La dimensione di $U$$U$ e' il rango della matrice $A$$A$, quindi è 2.

Per trovare una base scelgo due dei vettori dati inizialmente che non siano linearmente indipendenti. In particolare per trovare la base basta prendere i vettori della base di partenza che corrispondono ai gradini nella matrice di arrivo.

Le colonne che corrispondono ai gradini sono la prima e la seconda. Allora una Base per lo spazio è

$${\mathcal {B}}=\{v_{1}=(1,0,1,2),v_{2}=(3,-1,0,1)\}$$

$${\mathcal {B}}=\{v_{1}=(1,0,1,2),v_{2}=(3,-1,0,1)\}$$

 

Esempio 7.4

Considero il sottospazio vettoriale $W$$W$ di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$:

$$W={\rm {{span}\{(1,0,2,-1),\,(-2,0,-4,2),\,(1,1,0,1),\,(2,1,2,0)\}}}$$

$$W={\rm {{span}\{(1,0,2,-1),\,(-2,0,-4,2),\,(1,1,0,1),\,(2,1,2,0)\}}}$$

E' richiesto di trovare la dimensione di $W$$W$, una base di $W$$W$ e le sue equazioni cartesiane.

La dimensione di $W$$W$ e' il rango della matrice $A$$A$ che ha per colonne i generatori.

Un vettore appartiene a $W$$W$ se e solo se e' combinazione lineare di $a^{1},a^{2},a^{3}a^{4}$$a^{1},a^{2},a^{3}a^{4}$.

Per trovare equazioni cartesiane si fanno operazioni sulla matrice estesa, che comprende anche la colonna $(x,y,z,t)$$(x,y,z,t)$ oltre ai generatori. Poi le equzioni cartesiane si ottengono imponendo che il rango della matrice estesa sia uguale a quello della matrice che ha come colonne solo i generatori.

Eliminazione gaussiana sulla matrice estesa:

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\2&-4&0&2&z\\-1&2&1&0&t\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\2&-4&0&2&z\\-1&2&1&0&t\end{array}}$$

Per azzerare la prima sottocolonna, $a_{1},a_{2}$$a_{1},a_{2}$ rimangono invariate.

$$a_{3}=a_{3}-2*a_{1},\,a_{4}=a_{1}+a_{4}$$

$$a_{3}=a_{3}-2*a_{1},\,a_{4}=a_{1}+a_{4}$$

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\0&0&-2&-2&z-2x\\0&0&2&2&x+t\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\0&0&-2&-2&z-2x\\0&0&2&2&x+t\end{array}}$$

Per azzerare la terza sottocolonna:

$$a_{3}=a_{3}+a_{2}*2,\,a_{4}=a_{3}$$

$$a_{3}=a_{3}+a_{2}*2,\,a_{4}=a_{3}$$

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\0&0&0&0&z-2x+2y\\0&0&0&0&-x+t+z\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}1&-2&1&2&x\\0&0&1&1&y\\0&0&0&0&z-2x+2y\\0&0&0&0&-x+t+z\end{array}}$$

La dimensione di $W$$W$ e' il rango della matrice dei generatori (in questo caso 2).

Come base di $W$$W$ prendo il primo e il terzo vettore della stringa dei generatori, perche' i gradini corrispondono alla prima e alla terza colonna.

$${\mathcal {B}}=\{(1,0,2,-1),\,(1,1,0,1)\}$$

$${\mathcal {B}}=\{(1,0,2,-1),\,(1,1,0,1)\}$$

Per trovare le equazioni cartesiane impongo che la matrice estesa abbia il rango della matrice originaria, e quindi annullo le condizioni corrispondenti alle righe di zeri.

$(x,y,z,t)\in W$$(x,y,z,t)\in W$ se e solo se valgono queste due condizioni:

$${\begin{cases}2x-2y-z=0\\x-z-t=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}2x-2y-z=0\\x-z-t=0\end{cases}}$$

 

Esempio 7.5

Trovare una base di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ che estende una base di $W$$W$, dove $W$$W$ è come nell'esercizio precedente.

Parto dalla base che ho trovato nell'esercizio precedente:

$${\mathcal {B}}=\{(1,0,2,-1),(1,1,0,1)\}$$

$${\mathcal {B}}=\{(1,0,2,-1),(1,1,0,1)\}$$

Per completare la base, riduco a scala la matrice che ha come colonna la base di $W$$W$ e la base standard di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$: i vettori da aggiungere corrispondono ai gradini della matrice finale.

$$A={\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\2&0&0&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\2&0&0&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{array}}$$

$$a_{3}=a_{3}-2*a_{1},\,a_{4}=a_{4}+a_{1}$$

$$a_{3}=a_{3}-2*a_{1},\,a_{4}=a_{4}+a_{1}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}}$$

$$a_{3}=a_{3}+2a_{2},\,a_{4}=a_{4}-2*a_{2}$$

$$a_{3}=a_{3}+2a_{2},\,a_{4}=a_{4}-2*a_{2}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&-2&2&1&0\\0&0&1&-2&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&-2&2&1&0\\0&0&1&-2&0&1\end{array}}$$

$$a_{4}=2*a_{4}+a_{3}$$

$$a_{4}=2*a_{4}+a_{3}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&-2&2&1&0\\0&0&0&-2&1&2\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&1&1&0&0&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&-2&2&1&0\\0&0&0&-2&1&2\end{array}}$$

I gradini corrispondono alla prima, seconda, terza e quarta colonna. La base e' costituita dai due vettori dati e dai vettori $A(1,0,0,0),B(0,1,0,0)$$A(1,0,0,0),B(0,1,0,0)$.

 

Complemento ortogonale

Definizione 7.5

Se $W$$W$ in $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$ e' un sottospazio vettoriale, diciamo complemento ortogonale di $W$$W$ il sottospazio cosi' definito:

$$\{v\in \mathbb {R} ^{k}t.c.v\cdot w=0,\,w\in W\}$$

$$\{v\in \mathbb {R} ^{k}t.c.v\cdot w=0,\,w\in W\}$$

 

Lemma 7.1

Il complemento ortogonale di $W$$W$ (indicato con $W_{\perp }$$W_{\perp }$) in $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$ e' un sottospazio vettoriale.

 

Dimostrazione 7.1

$0_{\mathbb {R} ^{k}}\in W_{\perp }$$0_{\mathbb {R} ^{k}}\in W_{\perp }$, perche' qualsiasi vettore moltiplicato per 0 e' 0.

Se ho $v_{1},v_{2}\in W_{\perp }$$v_{1},v_{2}\in W_{\perp }$ e $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ allora $\forall w\in W_{\perp }$$\forall w\in W_{\perp }$ si ha che

$$(\lambda _{1}*v_{1}+\lambda _{2}*v_{2})\cdot w=$$

$$(\lambda _{1}*v_{1}+\lambda _{2}*v_{2})\cdot w=$$

$$=\lambda _{1}*v_{1}\cdot w+\lambda _{2}*v_{2}\cdot w=0$$

$$=\lambda _{1}*v_{1}\cdot w+\lambda _{2}*v_{2}\cdot w=0$$

perché $v_{1}\cdot w,v_{2}\cdot w=0$$v_{1}\cdot w,v_{2}\cdot w=0$.

Pertanto siccome questo vale per ogni $w\in W$$w\in W$, allora $W_{\perp }$$W_{\perp }$ è chiuso rispetto a combinazione lineare ed è un sottospazio vettoriale.

cvd

 

Osservazione 7.2

Se $W\in \mathbb {R} ^{k}$$W\in \mathbb {R} ^{k}$ e' un sottospazio vettoriale e $W_{\perp }\in \mathbb {R} ^{k}$$W_{\perp }\in \mathbb {R} ^{k}$ e' il complemento ortogonale di $W$$W$ rispetto al prodotto scalare standard, allora $W\cap W_{\perp }$$W\cap W_{\perp }$ e' il vettore nullo di $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$, cioe' $W,W_{\perp }$$W,W_{\perp }$ sono in somma diretta.

 

Dimostrazione 7.2

Sia $v\in W\cap W_{\perp }$$v\in W\cap W_{\perp }$. Allora $v\cdot v=0$$v\cdot v=0$, perche' $v$$v$ ha prodotto scalare nullo con ogni elemento di $W$$W$ e $v$$v$ e' a sua volta un elemento di $W$$W$. Allora

$$v\cdot v=(\vert v\vert )^{2}=0$$

$$v\cdot v=(\vert v\vert )^{2}=0$$

quindi $v$$v$ dev'essere il vettore nullo, allora $W\cap W_{\perp }=\{0\}$$W\cap W_{\perp }=\{0\}$.
cvd

 

Quindi $W+W_{\perp }$$W+W_{\perp }$ si puo' scrivere come somma diretta e la sua dimensione e' $\mathrm {dim} w+\mathrm {dim} W_{\perp }$$\mathrm {dim} w+\mathrm {dim} W_{\perp }$.

In particolare, la dimensione del complemento ortogonale e' $k-\mathrm {dim} W$$k-\mathrm {dim} W$. (da dimostrare in seguito) e $\mathbb {R} ^{k}=W+W_{\perp }$$\mathbb {R} ^{k}=W+W_{\perp }$.

Supponiamo $l=\mathrm {dim} W$$l=\mathrm {dim} W$ e $1\leq l<k$$1\leq l<k$. Allora se ${\mathcal {B}}=\{w_{1},\dots ,w_{l}\}$${\mathcal {B}}=\{w_{1},\dots ,w_{l}\}$ e' una base di $W$$W$ e ${\mathcal {B}}'=\{w_{1}',w_{2}',\dots ,w_{k-l}\}$${\mathcal {B}}'=\{w_{1}',w_{2}',\dots ,w_{k-l}\}$ e' una base di $W_{\perp }$$W_{\perp }$ allora siccome $\mathbb {R} ^{k}=W+W_{\perp }$$\mathbb {R} ^{k}=W+W_{\perp }$ l'unione delle due basi e' un sistema di generatori per $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$.

$$\mathbb {R} ^{k}={\rm {{span}\{w_{1},\dots ,w_{l},w_{1}',\dots ,w_{k-l}'\}}}$$

$$\mathbb {R} ^{k}={\rm {{span}\{w_{1},\dots ,w_{l},w_{1}',\dots ,w_{k-l}'\}}}$$

I generatori sono sicuramente linearmente indipendenti. Concludo che $\{w_{1},\dots ,w_{l},w_{1}',\dots ,w_{k-l}'\}$$\{w_{1},\dots ,w_{l},w_{1}',\dots ,w_{k-l}'\}$ e' una base di $\mathbb {R} ^{k}$$\mathbb {R} ^{k}$ che estende una base di $W$$W$.

Procedimento alternativo per il completamento della base

Se considero la base di W, ${\mathcal {B}}=\{v_{1}=(1,0,2,-1),\,v_{2}=(1,1,0,1)\}$${\mathcal {B}}=\{v_{1}=(1,0,2,-1),\,v_{2}=(1,1,0,1)\}$ posso estenderla a una base di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$.

La dimensione di $W_{\perp }$$W_{\perp }$ e' uguale a $4-2$$4-2$

Impongo che il prodotto scalare di $(x,y,z,t)$$(x,y,z,t)$ con i vettori della base sia 0, in questo modo automaticamente anche il prodotto con tutti gli altri vettori di $W$$W$ e' 0. Dal sistema che ottengo ricavo un sistema di generatori per $W_{\perp }$$W_{\perp }$ che completano la base di $W$$W$ già trovata.

$(x,y,z,t)\in W_{\perp }$$(x,y,z,t)\in W_{\perp }$ se e solo se $(x,y,z,t)\cdot v_{1}=0$$(x,y,z,t)\cdot v_{1}=0$ e $(x,y,z,t)\cdot v_{2}=0$$(x,y,z,t)\cdot v_{2}=0$.

Calcolo i prodotti scalari:

$$v_{1}\cdot (x,y,z,t)=(1,0,2,-1)=x+2z-t=0$$

$$v_{1}\cdot (x,y,z,t)=(1,0,2,-1)=x+2z-t=0$$

$$v_{2}\cdot (x,y,z,t)=x+y+t=0$$

$$v_{2}\cdot (x,y,z,t)=x+y+t=0$$

Per risolvere un sistema lineare conviene scrivere una matrice estesa dove le righe sono i coefficienti delle due equazioni.

Lo spazio delle soluzioni non cambia se faccio operazioni per riga

$${\begin{array}{cccc}1&0&2&-1\\1&1&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&0&2&-1\\1&1&0&1\end{array}}$$

$$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$

$$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$

$${\begin{array}{cccc}1&0&2&-1\\0&1&-2&2\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&0&2&-1\\0&1&-2&2\end{array}}$$

Le colonne corrispondenti ai gradini sono le variabili dipendenti, le altre sono variabili indipendenti.

$t,z$$t,z$ sono parametri indipendenti, mentre $x,y$$x,y$ sono parametri dipendenti.

$(x,y,z,t)\in W_{\perp }$$(x,y,z,t)\in W_{\perp }$ se e solo se $x=-2z+t,\,y=2z-2t$$x=-2z+t,\,y=2z-2t$ (ho espresso $x$$x$ e $y$$y$ in funzione di $z$$z$ e $t$$t$ leggendo la soluzione dalle righe della matrice).

$$W_{\perp }=\{(-2z+t,2z-2t,z,t),\,z,t\in \mathbb {R} \}$$

$$W_{\perp }=\{(-2z+t,2z-2t,z,t),\,z,t\in \mathbb {R} \}$$

$$W_{\perp }=\{z(-2,2,1,0)+t(1,-2,0,1),\,z,t,\in \mathbb {R} \}$$

$$W_{\perp }=\{z(-2,2,1,0)+t(1,-2,0,1),\,z,t,\in \mathbb {R} \}$$

$$W_{\perp }={\rm {{span}\{(-2,2,1,0),(1,-2,0,1)\}}}$$

$$W_{\perp }={\rm {{span}\{(-2,2,1,0),(1,-2,0,1)\}}}$$

I vettori presi nell'ordine sono una base, per $W_{\perp }$$W_{\perp }$ perche' sono linearmente indipendenti. Prendo la base di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ che ha come primi vettori $v_{1}(1,0,2,-1)$$v_{1}(1,0,2,-1)$ e $v_{2}(1,1,0,1)$$v_{2}(1,1,0,1)$ a cui aggiungo i vettori trovati $v_{3}(-2,2,1,0)$$v_{3}(-2,2,1,0)$ e $v_{4}(1,-2,0,1)$$v_{4}(1,-2,0,1)$.

Esempio 7.6 (Dimensioni di somma e intersezione)

Consideriamo $U={\rm {{span}\{(1,1,-2,1),(0,2,-1,2)\}}}$$U={\rm {{span}\{(1,1,-2,1),(0,2,-1,2)\}}}$ e $W={\rm {{span}\{(1,3,-3,3),(2,1,0,1)\}}}$$W={\rm {{span}\{(1,3,-3,3),(2,1,0,1)\}}}$ in $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$. Trovare basi e dimensione ed equazioni cartesiane per $U$$U$, $W$$W$, $U\cap W$$U\cap W$, $U+W$$U+W$.

Spazio $U$$U$:

1. dimensione di $U$$U$$=2$$=2$
2. La base di $U$$U$ e' costituita dai due vettori dati
3. Per trovare equazioni cartesiane per $U$$U$ scrivo la matrice estesa e la riduco a scala:
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\1&2&y\\-2&-1&z\\1&2&t\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\1&2&y\\-2&-1&z\\1&2&t\end{array}}$$
   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$

   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$
   $$a_{3}=a_{3}+2a_{1}$$

   $$a_{3}=a_{3}+2a_{1}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{1}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{1}$$
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\0&2&y-x\\0&-1&z+2x\\0&2&t-x\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\0&2&y-x\\0&-1&z+2x\\0&2&t-x\end{array}}$$
   $$a_{3}=2*a_{3}+a_{2}$$

   $$a_{3}=2*a_{3}+a_{2}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\0&2&y-x\\0&0&2z+3x+y\\0&0&t-y\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&x\\0&2&y-x\\0&0&2z+3x+y\\0&0&t-y\end{array}}$$
   Prendendo le condizioni corrispondenti alle righe di zeri, $(x,y,z,t)\in U$$(x,y,z,t)\in U$ se e solo se sono soddisfatte le due equazioni
   $${\begin{cases}3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$

Spazio $W$$W$:

1. Dimensione $=2$$=2$
2. base costituita dai due vettori dati.
3. Per trovare le equazioni cartesiane scrivo la matrice estesa
   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\3&1&y\\-3&0&z\\3&1&t\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\3&1&y\\-3&0&z\\3&1&t\end{array}}$$
   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}*3$$

   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}*3$$
   $$a_{3}=a_{3}+a_{1}*3$$

   $$a_{3}=a_{3}+a_{1}*3$$
   $$a_{4}=a_{4}-3*a_{1}$$

   $$a_{4}=a_{4}-3*a_{1}$$
   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&-5&y-3x\\0&6&z+3x\\0&-5&t-3x\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&-5&y-3x\\0&6&z+3x\\0&-5&t-3x\end{array}}$$
   $$a_{3}=a_{3}+6*5*a_{2}$$

   $$a_{3}=a_{3}+6*5*a_{2}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$
   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&-5&y-3x\\0&0&z+6/5y-3/5x\\0&0&t-y\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&-5&y-3x\\0&0&z+6/5y-3/5x\\0&0&t-y\end{array}}$$
   Quindi le equazioni cartesiane per $U$$U$ sono date da:
   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\t-y=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\t-y=0\end{cases}}$$

Spazio $V\cap W$$V\cap W$:

1. L'intersezione $U\cap W$$U\cap W$ è l'insieme dei vettori che soddisfano le equazioni cartesiane di $U$$U$ e quelle di $W$$W$ contemporaneamente, quindi è il sistema:
   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$
   Risolvo il sistema:
   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$
   utilizzando il metodo di riduzione a scala della matrice:
   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\3&1&2&0\\0&-1&0&1\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\3&1&2&0\\0&-1&0&1\end{array}}$$
   fare operazioni per righe sulla matrice non cambia lo spazio delle soluzioni.
   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$
   $$a_{3}=a_{3}-a_{1}$$

   $$a_{3}=a_{3}-a_{1}$$
   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\0&7&-3&0\\0&-0&0&0\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\0&7&-3&0\\0&-0&0&0\end{array}}$$
   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\0&0&-3&7\\0&0&0&0\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}3&-6&5&0\\0&-1&0&1\\0&0&-3&7\\0&0&0&0\end{array}}$$
   Uso $x,y,z$$x,y,z$ come variabili dipendenti e $t$$t$ come variabile indipendente, cioè esprimo $x,y,z$$x,y,z$ in funzione di $t$$t$.
   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x-6y-5z=0\\-y+t=0\\3x+y+2z=0\\-y+t=0\end{cases}}$$
   $${\begin{cases}3x-6t-5z=0\\3x+t+2z=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}3x-6t-5z=0\\3x+t+2z=0\end{cases}}$$
   Sottraggo membro a membro le due equazioni:
   $$-7t-7z=0,\,\longrightarrow \,z=-t$$

   $$-7t-7z=0,\,\longrightarrow \,z=-t$$
   Sostituendo $z$$z$ con $-t$$-t$ nella prima equazione del sistema sopra ottengo:
   $$3x-6t+5t=0\,\longrightarrow \,x=t/3$$

   $$3x-6t+5t=0\,\longrightarrow \,x=t/3$$
   Risultato:
   $$U\cap W=\{(t/3,-t,-t,t),\,t\in \mathbb {R} \}={\rm {{span}\{1,-3,-3,3\}}}$$

   $$U\cap W=\{(t/3,-t,-t,t),\,t\in \mathbb {R} \}={\rm {{span}\{1,-3,-3,3\}}}$$
2. la base di $U\cap W$$U\cap W$ è data dal vettore $(1,3,-3,3)$$(1,3,-3,3)$
3. Di conseguenza, $\mathrm {dim} (U\cap W)=1$$\mathrm {dim} (U\cap W)=1$

Spazio $U+W$$U+W$

1. Dimensione di $U+W$$U+W$: $\mathrm {dim} U+\mathrm {dim} W-\mathrm {dim} (U\cap W)=2+2-1=3$$\mathrm {dim} U+\mathrm {dim} W-\mathrm {dim} (U\cap W)=2+2-1=3$ (formula di Grasman)
2. Scrivo la matrice per trovare base con equazioni cartesiane per $U+w$$U+w$
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\1&2&3&1&y\\-2&-1&-3&0&z\\1&2&3&1&t\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\1&2&3&1&y\\-2&-1&-3&0&z\\1&2&3&1&t\end{array}}$$
   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$

   $$a_{2}=a_{2}-a_{1}$$
   $$a_{2}=a_{2}+2*a_{1}$$

   $$a_{2}=a_{2}+2*a_{1}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{1}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{1}$$
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\0&2&2&-1&y-x\\0&-1&-1&4&z+x\\0&2&2&-1&t-x\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\0&2&2&-1&y-x\\0&-1&-1&4&z+x\\0&2&2&-1&t-x\end{array}}$$
   $$a_{3}=2a_{3}+a_{2}$$

   $$a_{3}=2a_{3}+a_{2}$$
   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$

   $$a_{4}=a_{4}-a_{2}$$
   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\0&2&2&-1&y-x\\0&0&0&7&2z+x+y\\0&0&0&0&t-y\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&x\\0&2&2&-1&y-x\\0&0&0&7&2z+x+y\\0&0&0&0&t-y\end{array}}$$
   Ho tre gradini.Lo spazio ha dimensione 3.La base e' data dai vettori $u_{1},u_{2},w_{2}$$u_{1},u_{2},w_{2}$ sulle colonne corrispondenti ai gradini.
3. L'equazione cartesiana è $t-y=0$$t-y=0$.

Trovare basi di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ che estende una base di $U+W$$U+W$ e di $U$$U$ rispettivamente.

Spazio $U+W$$U+W$: $U+W$$U+W$ ha dimensione 3 Basta trovare un vettore di $\mathbb {R} ^{4}$$\mathbb {R} ^{4}$ che non sta in $W$$W$, cioè che non soddisfi l'equazione $y=t$$y=t$. Uno qualsiasi dei vettori della base canonica può completare la base.

Spazio $U$$U$: Scrivo la matrice che ha per colonne i vettori della base di $U$$U$ e quelli della base canonica.

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\1&2&0&1&0&0\\-2&-1&0&0&1&0\\1&2&0&0&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\1&2&0&1&0&0\\-2&-1&0&0&1&0\\1&2&0&0&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\0&2&-1&1&0&-1\\0&-1&2&0&1&2\\0&2&-1&0&0&0\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\0&2&-1&1&0&-1\\0&-1&2&0&1&2\\0&2&-1&0&0&0\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\0&2&-1&1&0&-1\\0&0&3&1&2&3\\0&0&0&-1&0&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccccc}1&0&1&0&0&1\\0&2&-1&1&0&-1\\0&0&3&1&2&3\\0&0&0&-1&0&1\end{array}}$$

Completo la base con il primo vettore della base canonica.