Algebra Lineare I1

Questo corso è stato importato dalle note di una studentessa di matematica triennale e segue il programma classico di algebra lineare fino al teorema spettrale. Questi appunti sono stati presi durante il corso di Algebra Lineare e Geometria tenuto dal professor Roberto Paoletti nell'anno accademico 2012-2013. Il programma di tale corso ora ha subito variazioni

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Concetti introduttivi

• Ripasso di insiemistica
• Relazioni
• Funzioni
• Operazioni
• Principio di induzione

Lo spazio R2

• Proprietà generali dello spazio Rn
• operazioni in Rn
• L'insieme R2

Lo spazio R3

• Lo spazio R3
• La retta in R3
• Piani in R 3
• basi ordinate in R 3

Norme e distanze

• Norme
• Norma euclidea
• Distanza punto - retta
• Distanza punto - piano
• Distanza retta - retta

Spazi vettoriali

• Concetti introduttivi
• Esempi di spazi vettoriali
• sottospazi vettoriali
• Combinazione lineare di un insieme di vettori
• Teoremi sulle basi

Spazi vettoriali somma prodotto e intersezione

• Dimensione di spazi vettoriali
• spazio vettoriale prodotto
• spazio vettoriale intersezione
• Spazio vettoriale somma
• Formula di Grasman

Matrici e spazi vettoriali

• Nozioni elementari sulle matrici

Spazio vettoriale quoziente

• classe di equivalenza
• Sottospazio affine
• Operazioni nello spazio quoziente
• dimensione dello spazio quoziente

Applicazioni lineari

• Nozioni di base
• Nucleo e spazio immagine
• Rango di un'applicazione
• Controimmagine di un vettore
• Applicazioni lineari tra due spazi vettoriali
• Isomorfismo

Prodotto tra matrici

• Applicazioni lineari tra spazi euclidei
• composizione di applicazioni lineari
• Invertibilità di matrici
• Calcolo della matrice inversa
• Matrice trasposta

Matrici e basi

• Basi di partenza e di arrivo
• composizione e prodotti di matrici
• Applicazione lineare dello spazio quoziente
• Applicazioni tra due spazi vettoriali con basi diverse

Matrici simili

• Matrici simili in uno spazio vettoriale
• condizioni necessarie per la similitudine
• Precisazione sulle matrici simili

Determinanti

• Definizioni preliminari
• Definizione di determinante ed esempi
• Calcolo del determinante

Spazio duale

• omomorfismo
• Spazio duale
• Sottospazi annullatori
• Osservazioni sulla traccia
• Relazione tra sottospazi annullatori

Prodotti scalari

• Definizione ed esempi di prodotti scalari
• Forme bilineari e prodotti scalari su spazi euclidei
• Spazio nullo di un prodotto scalare
• Complemento ortogonale
• Matrici e prodotti scalari in spazi generici
• Dipendenza della matrice M_B da B
• Spazio vettoriale euclideo

Basi ortogonali

• Definizione ed esempi
• Esistenza della base ortogonale
• Considerazioni generali
• Teorema di Sylvester
• Complemento ortogonale
• L'applicazione Lv
• criterio dei minori incapsulati

Autovalori e autovettori

• Introduzione
• Concetti principali
• Relazione tra matrici e applicazioni diagonalizzabili
• Autovalori di un endomorfismo
• Molteplicità algebrica e geometrica
• Osservazioni generali

Teorema spettrale

• Diagonalizzabilità negli spazi vettoriali euclidei
• Teorema spettrale
• Teorema spettrale nello studio dei prodotti scalari
• Dimostrazione del teorema spettrale

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