Oggetti chiusi

Vogliamo caratterizzare gli oggetti chiusi in ${\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$${\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$. "Oggetti chiusi si ottengono da oggetti chiusi per estensioni finite".

Lemma 2.1

Siano $K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$$K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$ estensioni di campi, con $|M:L|=n<\infty$$|M:L|=n<\infty$. Allora l'indice di $M'$$M'$ in $L'$$L'$(indicato con $|L':M'|$$|L':M'|$), è $\leq n$$\leq n$. In altre parole

$$|L':M'|\leq |M:L|.$$

$$|L':M'|\leq |M:L|.$$

 

Dimostrazione

Procediamo per induzione su $n$$n$. Se $n=1$$n=1$, $M=L$$M=L$ e non c'è niente da dimostrare, e possiamo supporre $n>1$$n>1$. Supponiamo che esista un campo intermedio proprio $T$$T$ tra $L$$L$ e $M$$M$ (cioè tale che $L\subset T\subset M$$L\subset T\subset M$). Siccome grado e indice sono entrambi moltiplicativi l'induzione risolve. Infatti pongo $|M:T|=r$$|M:T|=r$ e $|T:L|=s$$|T:L|=s$, dunque si ha $|M:L|=|M:T|*|T:L|=rs=n$$|M:L|=|M:T|*|T:L|=rs=n$. Poiche'$T$$T$e' un campo propriamente contenuto tra $L$$L$ e $M$$M$ deve essere $r,s>1$$r,s>1$ e dunque $r,s<n$$r,s<n$. Ora $|M:T|=r<n$$|M:T|=r<n$, e per induzione $|T':M'|\leq r$$|T':M'|\leq r$. Analogamente la condizione $|T:L|=s<n$$|T:L|=s<n$ implica $|L':T'|\leq s$$|L':T'|\leq s$. Infine l'indice e' moltiplicativo dunque $|L':M'|=|L':T'|*|T':M'|\leq rs=n$$|L':M'|=|L':T'|*|T':M'|\leq rs=n$.

Supponiamo ora che non esistano campi propriamente compresi tra $L$$L$ e $M$$M$, considero $\alpha \in M\smallsetminus L$$\alpha \in M\smallsetminus L$, allora il campo $L(\alpha )$$L(\alpha )$ contiene $L$$L$ propriamente ed è contenuto in $M$$M$. Dato che per ipotesi non esistono campi intermedi tra $L$$L$ e $M$$M$, segue subito che $L(\alpha )=M$$L(\alpha )=M$.

Sia $f(x)\in L[x]$$f(x)\in L[x]$ il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$, e chiamo $\Omega$$\Omega$ l'insieme delle radici di $f(x)$$f(x)$ contenute in $N$$N$. In particolare, $\Omega \neq \emptyset$$\Omega \neq \emptyset$ perché contiene almeno $\alpha$$\alpha$. Considero $L'={\mathcal {G}}(N/L)$$L'={\mathcal {G}}(N/L)$, che agisce su $\Omega$$\Omega$ in questo modo: dati $\beta \in \Omega$$\beta \in \Omega$ e $g\in L'$$g\in L'$, allora $(\beta ,g)\mapsto \beta ^{g}$$(\beta ,g)\mapsto \beta ^{g}$. mostro che $\beta ^{g}$$\beta ^{g}$ sta ancora in $\Omega$$\Omega$, infatti

$$\beta \in \Omega \,\longrightarrow \,f(\beta )=0$$

$$\beta \in \Omega \,\longrightarrow \,f(\beta )=0$$

e se applico l'automorfismo $g$$g$ a entrambi i membri ottengo

$$0=0^{g}=(f(\beta ))^{g}=f(\beta ^{g})$$

$$0=0^{g}=(f(\beta ))^{g}=f(\beta ^{g})$$

infatti $g$$g$ agisce come l'identità sui coefficienti di $f$$f$ che stanno in $L$$L$, e quindi $\beta ^{g}$$\beta ^{g}$ è ancora una radice di $f(x)$$f(x)$.

Nell'azione di gruppo considerata, gli elementi dello stabilizzatore di $\alpha$$\alpha$ fissano $M$$M$ elemento per elemento (infatti, devono fissare $L$$L$ elemento per elemento, essendo elementi di ${\mathcal {G}}(N/L)$${\mathcal {G}}(N/L)$, e devono fissare $\alpha$$\alpha$ essendo elementi del suo stabilizzatore), quindi lo stabilizzatore di $\alpha$$\alpha$e'$M'$$M'$.

Infine osservo che $|L':M'|$$|L':M'|$, indice di $M'$$M'$ in $L'$$L'$, è uguale alla cardinalità dell'orbita, $\alpha ^{L'}$$\alpha ^{L'}$, di $\alpha$$\alpha$ sotto l'azione di $L'$$L'$, e l'orbita è contenuta in $\Omega$$\Omega$. Ma $|\Omega |\leq n={\rm {{gr}(f(x))=|M:L|}}$$|\Omega |\leq n={\rm {{gr}(f(x))=|M:L|}}$ quindi $|L':M'|\leq |\alpha ^{L'}|\leq |M:L|$$|L':M'|\leq |\alpha ^{L'}|\leq |M:L|$.

 

Lemma 2.2

Sia $K\subseteq M$$K\subseteq M$ un'estensione di campi, e $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Siano $H,S$$H,S$ sottogruppi di $G$$G$, con $H\subset S$$H\subset S$. Se l'indice di $H$$H$ in $S$$S$ è uguale a $n<\infty$$n<\infty$, allora $|H':S'|\leq n$$|H':S'|\leq n$. In altre parole

$$|H':S'|\leq |S:H|$$

$$|H':S'|\leq |S:H|$$

 

Dimostrazione

Per definizione, si ha che $H'={\rm {{Fix}(H),\,S'={\rm {{Fix}(S)}}}}$$H'={\rm {{Fix}(H),\,S'={\rm {{Fix}(S)}}}}$.

PASSO 1: Considero i laterali destri di $H$$H$ in $S$$S$, e per $\alpha \in H'$$\alpha \in H'$ e $Hs$$Hs$ laterale destro di $H$$H$ in $S$$S$, definisco $\alpha ^{Hs}:=\alpha ^{s}$$\alpha ^{Hs}:=\alpha ^{s}$. Questa definizione è ben posta e non dipende dalla scelta del laterale, perché se $Hs_{1}=Hs_{2}$$Hs_{1}=Hs_{2}$, allora $s_{1}=hs_{2}$$s_{1}=hs_{2}$ per un certo $h\in H$$h\in H$, e quindi

$$\alpha ^{Hs_{1}}=\alpha ^{s_{1}}=\alpha ^{hs_{2}}=\alpha ^{s_{2}}=\alpha ^{Hs_{2}}$$

$$\alpha ^{Hs_{1}}=\alpha ^{s_{1}}=\alpha ^{hs_{2}}=\alpha ^{s_{2}}=\alpha ^{Hs_{2}}$$

dove l'ultimo passaggio vale perché $\alpha \in {\rm {{Fix}(H)}}$$\alpha \in {\rm {{Fix}(H)}}$.

PASSO 2: per assurdo, suppongo che $|H':S'|>n$$|H':S'|>n$, allora esistono $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n+1}$$\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n+1}$ elementi di $H'$$H'$, linearmente indipendenti su $S'$$S'$. Considero il sistema

$${\begin{cases}x_{1}(\alpha _{1}C_{1})+x_{2}(\alpha _{2}C_{1})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{1})=0\\x_{1}(\alpha _{1}C_{2})+x_{2}(\alpha _{2}C_{2})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{2})=0\\\ldots \\x_{1}(\alpha _{1}C_{n})+x_{2}(\alpha _{2}C_{n})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{n})=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}x_{1}(\alpha _{1}C_{1})+x_{2}(\alpha _{2}C_{1})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{1})=0\\x_{1}(\alpha _{1}C_{2})+x_{2}(\alpha _{2}C_{2})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{2})=0\\\ldots \\x_{1}(\alpha _{1}C_{n})+x_{2}(\alpha _{2}C_{n})+\dots +x_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{n})=0\end{cases}}$$

dove $C_{1},C_{2},\dots ,C_{n}$$C_{1},C_{2},\dots ,C_{n}$ sono i laterali destri di $H$$H$ in $S$$S$, e $C_{1}=H$$C_{1}=H$, e dove $\alpha _{i}C_{j}=\alpha _{i}^{C_{j}}$$\alpha _{i}C_{j}=\alpha _{i}^{C_{j}}$.

Il sistema lineare scritto sopra è omogeneo della forma $AX=0$$AX=0$, dove $A$$A$ è una matrice $n\times n+1$$n\times n+1$ e il sistema ha $n+1$$n+1$ incognite. Dunque il sistema ammette soluzioni non banali. Tra tutte le soluzioni non banali, ne considero una per cui il numero $r$$r$ di elementi non nulli sia minimo.

A meno di riordinamenti posso scrivere questa soluzione in modo che abbia gli zeri nelle ultime posizioni, cioè

$$(u_{1},u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0),\;u_{i}\neq 0,\;\forall i=1,\dots ,r$$

$$(u_{1},u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0),\;u_{i}\neq 0,\;\forall i=1,\dots ,r$$

Posso supporre, a meno di moltiplicare tutto per $u_{1}^{-1}$$u_{1}^{-1}$ (e posso farlo perche' ottengo ancora una soluzione del sistema che e' omogeneo), che il primo coefficiente sia uguale a 1 e che la soluzione sia

$$(1,u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0)$$

$$(1,u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0)$$

PASSO 3: Se gli $u_{i}$$u_i$ stanno in $S'$$S'$ per ogni $i$$i$, si ha un assurdo, perché la prima equazione del sistema diventa

$$\alpha _{1}C_{1}+u_{2}(\alpha _{2}C_{1})+\cdots +u_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{1})=0,$$

$$\alpha _{1}C_{1}+u_{2}(\alpha _{2}C_{1})+\cdots +u_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{1})=0,$$

dove $C_{1}=H$$C_{1}=H$. Ora $\alpha _{i}C_{1}={\alpha _{i}}^{H}=\alpha _{i}\forall i$$\alpha _{i}C_{1}={\alpha _{i}}^{H}=\alpha _{i}\forall i$, quindi la prima equazione si riscrive come

$$1\alpha _{1}+u_{2}\alpha _{2}+\dots +u_{n+1}\alpha _{n+1}=0$$

$$1\alpha _{1}+u_{2}\alpha _{2}+\dots +u_{n+1}\alpha _{n+1}=0$$

e ho una relazione di dipendenza lineare degli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ su $S'$$S'$, ma questo è assurdo perché sono stati scelti linearmente indipendenti. Quindi deve esistere almeno un elemento $u_{i}$$u_i$ che non sta in $S'$$S'$. A meno di riordinamenti suppongo che $u_{2}\notin S'$$u_{2}\notin S'$. Quindi $u_{2}\notin {\rm {{Fix}(S)}}$$u_{2}\notin {\rm {{Fix}(S)}}$, ed esiste pertanto un elemento $s\in S$$s\in S$ tale che $u_{2}^{s}\neq u_{2}$$u_{2}^{s}\neq u_{2}$.

PASSO 4: Considero la i-esima equazione del sistema precedente:

$$1(\alpha _{1}C_{i})+u_{2}(\alpha _{2}C_{i})+\dots +u_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{i})=0.$$

$$1(\alpha _{1}C_{i})+u_{2}(\alpha _{2}C_{i})+\dots +u_{n+1}(\alpha _{n+1}C_{i})=0.$$

Applico $s$$s$ a quest'equazione e ottengo

$$1^{s}*(\alpha _{1}C_{i})^{s}+u_{2}^{s}(\alpha _{2}C_{i})^{s}+\dots +u_{n+1}^{s}(\alpha _{n+1}C_{i})^{s}=0,$$

$$1^{s}*(\alpha _{1}C_{i})^{s}+u_{2}^{s}(\alpha _{2}C_{i})^{s}+\dots +u_{n+1}^{s}(\alpha _{n+1}C_{i})^{s}=0,$$

dove, posto $C_{i}=Hs_{i}$$C_{i}=Hs_{i}$, si ha che

$$(\alpha _{j}C_{i})^{s}=(\alpha _{j}^{s_{i}})^{s}=\alpha _{j}^{s_{i}s}=\alpha _{j}C_{i}s.$$

$$(\alpha _{j}C_{i})^{s}=(\alpha _{j}^{s_{i}})^{s}=\alpha _{j}^{s_{i}s}=\alpha _{j}C_{i}s.$$

La sequenza $(C_{1}s,C_{2}s,\dots ,C_{n}s)$$(C_{1}s,C_{2}s,\dots ,C_{n}s)$ è una permutazione di $(C_{1},C_{2},\dots ,C_{n})$$(C_{1},C_{2},\dots ,C_{n})$. Applicando questo ragionamento a tutte le righe, trovo che se il vettore $u=(1,u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0)$$u=(1,u_{2},\dots ,u_{r},0,\dots ,0)$ è una soluzione del sistema $AX=0$$AX=0$, allora anche $u_{s}=(1^{s},u_{2}^{s},\dots ,u_{r}^{s},0,\dots ,0)$$u_{s}=(1^{s},u_{2}^{s},\dots ,u_{r}^{s},0,\dots ,0)$ è una soluzione di $AX=0$$AX=0$(perche' il ragionamento di prima prova che il secondo vettore e' soluzione di un sistema che si ottiene da $AX=0$$AX=0$ permutandone le righe). Allora anche la differenza

$$u-u^{s}=(0,u_{2}-u_{2}^{s},\dots ,u_{r}-u_{r}^{s},0,\dots ,0)$$

$$u-u^{s}=(0,u_{2}-u_{2}^{s},\dots ,u_{r}-u_{r}^{s},0,\dots ,0)$$

è ancora una soluzione del sistema $AX=0$$AX=0$, e non e' la soluzione banale perche'${u_{2}}^{s}-u_{2}\neq 0$${u_{2}}^{s}-u_{2}\neq 0$. Ma questo va contro la minimalità di $r$$r$ perché $u-u^{s}$$u-u^{s}$ ha un numero di entrate non nulle minore di $r$$r$, assurdo!

 

Caratterizzazione di oggetti chiusi

Sono stati dimostrati i seguenti lemmi:

Lemma 2.3 (versione campi intermedi)

Siano $K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$ estensioni di campi, e sia $|T:L|=n<\infty$$|T:L|=n<\infty$, allora l'indice $|L':T'|\leq n$$|L':T'|\leq n$.

 

Lemma 2.4 (versione sottogruppi)

Sia $N\supseteq K$$N\supseteq K$ un'estensione di campi, e sia $G={\mathcal {G}}(N/K)$$G={\mathcal {G}}(N/K)$. Siano $H,S$$H,S$ sottogruppi di $G$$G$ con $H\leq S$$H\leq S$, e sia $|S:H|=n<\infty$$|S:H|=n<\infty$, allora $|H':S'|\leq n$$|H':S'|\leq n$ (grado).

 

"Oggetti chiusi si ottengono da oggetti chiusi per estensioni finite", e precisamente

Lemma 2.5

campi intermedi

Siano $K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$$K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$ estensioni di campi, con $|M:L|=n<\infty$$|M:L|=n<\infty$ e $L$$L$ chiuso. Allora $M$$M$ è chiuso, e l'indice di $M'$$M'$ in $L'$$L'$ è uguale al grado di $M$$M$ su $L$$L$, in simboli $|L':M'|=|M:L|$$|L':M'|=|M:L|$.

sottogruppi

Sia $N\supseteq K$$N\supseteq K$ un'estensione di campi, $G={\mathcal {G}}(N/K)$$G={\mathcal {G}}(N/K)$, e $H,S$$H,S$ sottogruppi di $G$$G$, con $H\subseteq S$$H\subseteq S$ e $|S:H|=n<\infty$$|S:H|=n<\infty$. Sia $H$$H$ chiuso, allora $S$$S$ è chiuso e $|H':S'|=|S:H|$$|H':S'|=|S:H|$.

 

Dimostrazione

VERSIONE PER CAMPI INTERMEDI: Sia $K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$$K\subseteq L\subseteq M\subseteq N$, allora se applico i lemmi 1 e 2 si ha

$$|M'':L''|\leq |L':M'|\leq |M:L|=n,\,{\hbox{relazione 1}}$$

$$|M'':L''|\leq |L':M'|\leq |M:L|=n,\,{\hbox{relazione 1}}$$

ma $M''\supseteq M$$M''\supseteq M$, inoltre $L$$L$ è chiuso, quindi $L''=L$$L''=L$. In termini di estensioni di campi si ha $M''\supset M\supseteq L$$M''\supset M\supseteq L$, e $M''\supseteq M$$M''\supseteq M$ implica $|M'':L|\geq |M:L|$$|M'':L|\geq |M:L|$ (relazione 2). Per le relazioni 1 e 2 segue $|M'':L|=|M:L|$$|M'':L|=|M:L|$ e quindi $M''=M$$M''=M$ cioè $M$$M$ è chiuso. Se riscrivo la relazione 1 ottengo

$$|M:L|\leq |L':M'|\leq |M:L|$$

$$|M:L|\leq |L':M'|\leq |M:L|$$

e quindi $|L':M'|=|M:L|$$|L':M'|=|M:L|$.

VERSIONE PER I SOTTOGRUPPI: La parte 2 si dimostra in modo analogo. Infatti

$$|S'':H''|\leq |H':S'|\leq |S:H|$$

$$|S'':H''|\leq |H':S'|\leq |S:H|$$

ma $H$$H$ è chiuso, allora $H''=H$$H''=H$, e $S''\supseteq S$$S''\supseteq S$, allora per un ragionamento simile al precedente $S''=S$$S''=S$, e $|H':S'|=|S:H|$$|H':S'|=|S:H|$.

 

Teorema fondamentale della teoria di Galois

Osservazione 2.4

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Il sottogruppo banale $1$$1$ di $G$$G$, e' sempre chiuso perche' si ha

$$1\mapsto 1'={\rm {{Fix}(1)=M\mapsto 1''=M'=1.}}$$

$$1\mapsto 1'={\rm {{Fix}(1)=M\mapsto 1''=M'=1.}}$$

Per quanto visto, sono chiusi tutti i sottogruppi di $G$$G$ di ordine finito.

 

Osservazione 2.5

Se $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale, $K$$K$ è chiuso, e quindi sono chiusi tutti i campi intermedi $L$$L$ tra $K$$K$ ed $M$$M$ dove $K\subseteq L\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq M$ con $L$$L$ estensione di grado finito di $K$$K$.

 

Abbiamo allora provato il teorema fondamentale della teoria di Galois:

Teorema 2.2

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione normale, di grado finito, e sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Allora tutti i campi intermedi tra $K$$K$ ed $M$$M$ e tutti i sottogruppi di $G$$G$ sono chiusi. Le applicazioni "primo" stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra campi intermedi e sottogruppi di $G$$G$. In tale corrispondenza la dimensione relativa tra due campi intermedi è uguale all'indice relativo tra i sottogruppi corrispondenti. In particolare

$$|G|=|M:K|.$$

$$|G|=|M:K|.$$

 

Osservazione 2.6

Dire che 'la dimensione relativa tra due campi intermedi è uguale all'indice relativo tra i sottogruppi corrispondenti' significa che, se $K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$ si ha $|T:L|=|L':T'|$$|T:L|=|L':T'|$. In particolare l'ordine di $G$$G$e' dato dall'indice di 1 in $G$$G$ e dunque è uguale a $|1':G'|=|M:K|$$|1':G'|=|M:K|$, cioè l'ordine del gruppo di Galois è uguale al grado dell'estensione.