Chiusura spezzante e chiusura normale

Osservazione 2.14

Siano $M\supseteq L\supseteq K$$M\supseteq L\supseteq K$ estensioni di campi, e supponiamo che $M$$M$ sia campo di spezzamento su $L$$L$ di un polinomio $f(x)$$f(x)$ a coefficienti in $K$$K$. Supponiamo anche che $L$$L$ si ottenga da $K$$K$ estendendolo con alcune radici di $f$$f$. Allora $M$$M$ è anche campo di spezzamento su $K$$K$ di $f$$f$.

 

Dimostrazione

$M$$M$ è campo di spezzamento di $f$$f$ su $L$$L$, allora $f(x)$$f(x)$ si spezza in fattori lineari su $M$$M$. Scriviamo poi $L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r})$$L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r})$ dove $f(\alpha _{i})=0$$f(\alpha _{i})=0$ per $i=1,\ldots ,r$$i=1,\ldots ,r$. Sia $M_{0}$$M_0$ il campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, mostro che valgono le due inclusioni:

1. $M_{0}\subseteq M$$M_{0}\subseteq M$ perché $M$$M$ contiene $K$$K$ e contiene le radici di $f(x)$$f(x)$ essendo campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$.
2. Viceversa, per definizione $K\subseteq M_{0}$$K\subseteq M_{0}$, $\alpha _{i}\in M_{0}\forall i=1,\dots ,r$$\alpha _{i}\in M_{0}\forall i=1,\dots ,r$ e quindi $L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})\subset M_{0}$$L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})\subset M_{0}$; siccome $f$$f$ si spezza su $M_{0}$$M_0$, $M\subseteq M_{0}$$M\subseteq M_{0}$ per la minimalità di $M$$M$ come campo di spezzamento su $L$$L$.

 

Vale la seguente proposizione:

Proposizione 2.6

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti queste due affermazioni:

1. $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$ (di un certo polinomio a coefficienti in $K$$K$);
2. per ogni polinomio monico e irriducibile $g(x)\in K[x]$$g(x)\in K[x]$, se $g(x)$$g(x)$ ammette una radice in $M$$M$, allora $g(x)$$g(x)$ ammette tutte le sue radici in $M$$M$ (o equivalentemente, $g(x)$$g(x)$ si spezza in fattori lineari su $M$$M$).

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: per ipotesi $M$$M$ è campo di spezzamento di un polinomio $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$. Sia $g(x)\in K[x]$$g(x)\in K[x]$ un polinomio monico e irriducibile che ammette una radice $\alpha$$\alpha$ in $M$$M$. Per assurdo, supponiamo che esista un elemento $\beta$$\beta$ con $g(\beta )=0$$g(\beta )=0$ e $\beta \notin M$$\beta \notin M$. Considero il diagramma fatto in questo modo: DESCRIZIONE:

(in particolare $M$$M$ non contiene $K(\beta )$$K(\beta )$)

RAPPRESENTAZIONE:

$${\begin{array}{ccccc}M(\beta )&&&&\\\uparrow &\diagdown &&&\\M&&\diagdown &&\\\uparrow &&&\diagdown &\\K(\alpha )&&&&K(\beta )\\&\diagdown &&\diagup &\\&&K&&\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}M(\beta )&&&&\\\uparrow &\diagdown &&&\\M&&\diagdown &&\\\uparrow &&&\diagdown &\\K(\alpha )&&&&K(\beta )\\&\diagdown &&\diagup &\\&&K&&\end{array}}$$

Esiste un isomorfismo $\sigma :K(\alpha )\to K(\beta )$$\sigma :K(\alpha )\to K(\beta )$ tale che $\alpha \mapsto \beta$$\alpha \mapsto \beta$ e $\sigma _{|_{K}}=1_{K}$$\sigma _{|_{K}}=1_{K}$. Considero la catena di estensioni $M\supseteq K(\alpha )\supseteq K$$M\supseteq K(\alpha )\supseteq K$. Osservo che $M$$M$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, e quindi lo è anche su $K(\alpha )$$K(\alpha )$.

Inoltre $M(\beta )$$M(\beta )$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K(\beta )$$K(\beta )$: infatti sia $M_{0}$$M_0$ il campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $K(\beta )$$K(\beta )$, allora valgono le due inclusioni:

• $K(\beta )\subseteq M(\beta )$$K(\beta )\subseteq M(\beta )$ e $f(x)$$f(x)$ si spezza su $M(\beta )$$M(\beta )$, allora per la minimalità di $M_{0}$$M_0$, $M_{0}\subseteq M(\beta )$$M_{0}\subseteq M(\beta )$;
• Viceversa, $f$$f$ si spezza su $M_{0}$$M_0$ e $M_{0}\supseteq K$$M_{0}\supseteq K$, e quindi per la minimalità di $M$$M$ come campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, $M\subseteq M_{0}$$M\subseteq M_{0}$.

Inoltre $\beta \in M_{0}$$\beta \in M_{0}$ ($M_{0}$$M_0$ infatti contiene $K(\beta )$$K(\beta )$) e quindi $M_{0}\supseteq M(\beta )$$M_{0}\supseteq M(\beta )$.

Allora $\sigma$$\sigma$ si solleva a un isomorfismo ${\bar {\sigma }}:M\to M(\beta )$${\bar {\sigma }}:M\to M(\beta )$, tale che ${\bar {\sigma }}_{|_{K}}=1_{K}$${\bar {\sigma }}_{|_{K}}=1_{K}$, e che conserva le dimensioni su $K$$K$, cioè $|M(\beta ):K|=|M:K|$$|M(\beta ):K|=|M:K|$, ma per il teorema della torre vale anche la relazione $|M(\beta ):K|=|M(\beta ):M|*|M:K|$$|M(\beta ):K|=|M(\beta ):M|*|M:K|$, cioè $|M(\beta ):M|=1$$|M(\beta ):M|=1$ e quindi $M(\beta )=M$$M(\beta )=M$ e questo è assurdo perché abbiamo scelto $\beta \notin M$$\beta \notin M$.

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: per ipotesi, $M$$M$ è un'estensione di $K$$K$ di grado finito. Considero una base $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$ di $M$$M$ su $K$$K$, ogni $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ è algebrico su $K$$K$, allora posso considerare il polinomio minimo $f_{i}(x)\in K[x]$$f_{i}(x)\in K[x]$ di $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ per ogni $i$$i$. Pongo $f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$$f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$. Ciascun $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ ammette una radice $\alpha _{i}\in M$$\alpha _{i}\in M$; allora per ipotesi $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ si spezza in fattori lineari su $M$$M$, e lo stesso è vero per $f(x)$$f(x)$. Voglio mostrare che $M$$M$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$. La minimalità segue dal fatto che $M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$$M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$ (se $M_{0}$$M_0$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, sia $K$$K$ che $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$ stanno in $M_{0}$$M_0$, e quindi $M\subseteq M_{0}$$M\subseteq M_{0}$).

 

Proposizione 2.7 (esistenza della chiusura spezzante)

Sia $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è un'estensione di grado finito. Allora esiste $M$$M$ campo tale che $M\supseteq L\supseteq K$$M\supseteq L\supseteq K$ che soddisfa queste due proprietà:

1. $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$;
2. nessun campo $T$$T$ compreso tra $M$$M$ e $L$$L$ e diverso da $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$.

Inoltre se $M_{0}$$M_0$ è un campo con $M_{0}\supseteq L\supseteq K$$M_{0}\supseteq L\supseteq K$ e $M_{0}$$M_0$ soddisfa le proprietà 1 e 2, allora esiste un isomorfismo $\sigma :M\to M_{0}$$\sigma :M\to M_{0}$ tale che $\sigma _{|_{L}}=1_{L}$$\sigma _{|_{L}}=1_{L}$.

 

Dimostrazione

Per ipotesi, $L$$L$ è un'estensione di $K$$K$ di grado finito, e quindi posso considerare $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$ base di $L$$L$ su $K$$K$. Sia $f_{i}(x)\in K[x]$$f_{i}(x)\in K[x]$ il polinomio minimo di $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ su $K$$K$, e sia $f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$$f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$. Sia $M$$M$ il campo di spezzamento su $L$$L$ di $f(x)$$f(x)$. Mostro che $M$$M$ soddisfa le due richieste della proposizione:

1. $L$$L$ si ottiene estendendo $K$$K$ con alcune radici di $f(x)$$f(x)$, cioè $L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$$L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$, e $M$$M$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$. Segue quindi che $M$$M$ è campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$.
2. sia $T$$T$ un campo tale che $K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$, e suppongo che $T$$T$ sia campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$. Ora $L\subseteq T$$L\subseteq T$ allora $\alpha _{i}\in T$$\alpha _{i}\in T$ per $i=1,\dots ,r$$i=1,\dots ,r$ perché $\alpha _{i}\in L$$\alpha _{i}\in L$. Il polinomio minimo $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ di $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ ammette una radice in $T$$T$, e $T$$T$ è campo di spezzamento su $K$$K$, perciò $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ si spezza su $T$$T$. Allora anche $f(x)$$f(x)$ si spezza in fattori lineari su $T$$T$, e $T$$T$ contiene $L$$L$, pertanto $T$$T$ contiene $M$$M$ che è campo di spezzameno di $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$. L'altra inclusione vale per ipotesi, allora $M=T$$M=T$.

Infine, sia $M_{0}$$M_0$ un campo con $M_{0}\supseteq L\supseteq K$$M_{0}\supseteq L\supseteq K$, che soddisfa le condizioni 1 e 2. Con argomenti analoghi ai precedenti segue che esiste un isomorfismo $\sigma :M\to M_{0}$$\sigma :M\to M_{0}$ che è l'identità su $L$$L$, perché $M,M_{0}$$M,M_{0}$ sono campi di spezzamento dello stesso polinomio $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$.

 

Definizione 2.6

Data un'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ di grado finito, il campo $M$$M$ di cui la proposizione precedente afferma l'esistenza si dice chiusura spezzante di $L$$L$ su $K$$K$. Se $L$$L$ come estensione di $K$$K$ è separabile, $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale e in questo caso $M$$M$ si dice chiusura normale di $L$$L$ su $K$$K$.

 

Osservazione 2.15

Il fatto che se $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è separabile allora $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale è vero perché $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$ di $f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$$f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$, dove $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha _{i}\in L$$\alpha _{i}\in L$; se suppongo che $L$$L$ è separabile su $K$$K$, allora $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ dev'essere un polinomio separabile per ogni $i$$i$, e quindi $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$ di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.

 

Osservazione 2.16 (come ottenere $M$ da $L$)

Considero una base $\{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$$\{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$ di $L$$L$ su $K$$K$ e considero il polinomio minimo $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ di $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$, per $i=1,\dots ,r$$i=1,\dots ,r$. Pongo $f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$$f(x)=\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)$, e sia $M$$M$ il campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$, allora $M$$M$ contiene tutte le radici di ciascun $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$.

Siano $\alpha _{i},\beta$$\alpha _{i},\beta$ radici di $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$. Esiste un isomorfismo $\sigma :K(\alpha _{i})\to K(\beta )$$\sigma :K(\alpha _{i})\to K(\beta )$ tale che $\alpha _{i}\mapsto \beta$$\alpha _{i}\mapsto \beta$ e $\sigma _{|_{K}}=1_{K}$$\sigma _{|_{K}}=1_{K}$. $M$$M$ è anche campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $K(\alpha _{i})$$K(\alpha _{i})$ e $K(\beta )$$K(\beta )$. Allora $\sigma$$\sigma$ si solleva a un elemento $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$$g\in {\mathcal {G}}(M/K)$, tale che $\alpha _{i}^{g}=\beta \in M$$\alpha _{i}^{g}=\beta \in M$. D'altra parte $\alpha _{i}^{g}\in L^{g}$$\alpha _{i}^{g}\in L^{g}$, e $M$$M$ è generato da $(L^{g})_{g\in {\mathcal {G}}(M/K)}$$(L^{g})_{g\in {\mathcal {G}}(M/K)}$.