Siano
estensioni di campi, e supponiamo che
sia campo di spezzamento su
di un polinomio
a coefficienti in
. Supponiamo anche che
si ottenga da
estendendolo con alcune radici di
. Allora
è anche campo di spezzamento su
di
.
Dimostrazione
è campo di spezzamento di
su
, allora
si spezza in fattori lineari su
. Scriviamo poi
dove
per
. Sia
il campo di spezzamento di
su
, mostro che valgono le due inclusioni:
perché
contiene
e contiene le radici di
essendo campo di spezzamento di
su
.
- Viceversa, per definizione
,
e quindi
; siccome
si spezza su
,
per la minimalità di
come campo di spezzamento su
.
Vale la seguente proposizione:
Proposizione 2.6
Sia
un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti queste due affermazioni:
è campo di spezzamento su
(di un certo polinomio a coefficienti in
);
- per ogni polinomio monico e irriducibile
, se
ammette una radice in
, allora
ammette tutte le sue radici in
(o equivalentemente,
si spezza in fattori lineari su
).
Dimostrazione
: per ipotesi
è campo di spezzamento di un polinomio
su
. Sia
un polinomio monico e irriducibile che ammette una radice
in
. Per assurdo, supponiamo che esista un elemento
con
e
. Considero il diagramma fatto in questo modo:
DESCRIZIONE:
(in particolare
non contiene
)
RAPPRESENTAZIONE:

Esiste un isomorfismo

tale che

e

. Considero la catena di estensioni

. Osservo che

è campo di spezzamento per

su

, e quindi lo è anche su

.
Inoltre
è campo di spezzamento per
su
: infatti sia
il campo di spezzamento di
su
, allora valgono le due inclusioni:
e
si spezza su
, allora per la minimalità di
,
;
- Viceversa,
si spezza su
e
, e quindi per la minimalità di
come campo di spezzamento per
su
,
.
Inoltre
(
infatti contiene
) e quindi
.
Allora
si solleva a un isomorfismo
, tale che
, e che conserva le dimensioni su
, cioè
, ma per il teorema della torre vale anche la relazione
, cioè
e quindi
e questo è assurdo perché abbiamo scelto
.
: per ipotesi,
è un'estensione di
di grado finito. Considero una base
di
su
, ogni
è algebrico su
, allora posso considerare il polinomio minimo
di
per ogni
. Pongo
. Ciascun
ammette una radice
; allora per ipotesi
si spezza in fattori lineari su
, e lo stesso è vero per
. Voglio mostrare che
è campo di spezzamento per
su
. La minimalità segue dal fatto che
(se
è campo di spezzamento per
su
, sia
che
stanno in
, e quindi
).
Proposizione 2.7 (esistenza della chiusura spezzante)
Sia
è un'estensione di grado finito. Allora esiste
campo tale che
che soddisfa queste due proprietà:
è campo di spezzamento su
;
- nessun campo
compreso tra
e
e diverso da
è campo di spezzamento su
.
Inoltre se
è un campo con
e
soddisfa le proprietà 1 e 2, allora esiste un isomorfismo
tale che
.
Dimostrazione
Per ipotesi,
è un'estensione di
di grado finito, e quindi posso considerare
base di
su
. Sia
il polinomio minimo di
su
, e sia
. Sia
il campo di spezzamento su
di
. Mostro che
soddisfa le due richieste della proposizione:
si ottiene estendendo
con alcune radici di
, cioè
, e
è campo di spezzamento per
su
. Segue quindi che
è campo di spezzamento di
su
.
- sia
un campo tale che
, e suppongo che
sia campo di spezzamento per
su
. Ora
allora
per
perché
. Il polinomio minimo
di
ammette una radice in
, e
è campo di spezzamento su
, perciò
si spezza su
. Allora anche
si spezza in fattori lineari su
, e
contiene
, pertanto
contiene
che è campo di spezzameno di
su
. L'altra inclusione vale per ipotesi, allora
.
Infine, sia
un campo con
, che soddisfa le condizioni 1 e 2. Con argomenti analoghi ai precedenti segue che esiste un isomorfismo
che è l'identità su
, perché
sono campi di spezzamento dello stesso polinomio
su
.
Definizione 2.6
Data un'estensione
di grado finito, il campo
di cui la proposizione precedente afferma l'esistenza si dice chiusura spezzante di
su
. Se
come estensione di
è separabile,
è normale e in questo caso
si dice chiusura normale di
su
.
Il fatto che se
è separabile allora
è normale è vero perché
è campo di spezzamento su
di
, dove
è il polinomio minimo di
; se suppongo che
è separabile su
, allora
dev'essere un polinomio separabile per ogni
, e quindi
è campo di spezzamento su
di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
Considero una base
di
su
e considero il polinomio minimo
di
, per
. Pongo
, e sia
il campo di spezzamento di
su
, allora
contiene tutte le radici di ciascun
.
Siano
radici di
. Esiste un isomorfismo
tale che
e
.
è anche campo di spezzamento di
su
e
. Allora
si solleva a un elemento
, tale che
. D'altra parte
, e
è generato da
.