Chiusura algebrica di un campo

Osservazioni introduttive

Osservazione 1.3

Sia $K$$K$ un campo, e siano $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ elementi algebrici su $K$$K$. Posso quindi considerare l'estensione $K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\supseteq K$$K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\supseteq K$, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.

 

Dimostrazione

Ho una successione di estensioni semplici di grado finito: $M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\supseteq K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n-1})\supseteq \dots \supseteq K(\alpha _{1})\supseteq K$$M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\supseteq K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n-1})\supseteq \dots \supseteq K(\alpha _{1})\supseteq K$, e applicando il teorema del grado anche $|M:K|$$|M:K|$ è finito.

 

Osservazione 1.4 (transitività delle estensioni algebriche)

Siano $K\subseteq L\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq M$ estensioni di campi, e suppongo che $M\supseteq L$$M\supseteq L$ e $L\supseteq K$$L\supseteq K$ siano algebriche. Allora anche $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è algebrica.

 

Dimostrazione

Prendo $\alpha \in M$$\alpha \in M$, allora $\alpha$$\alpha$ è algebrico su $L$$L$ e posso considerare il polinomio minimo $f(x)$$f(x)$ di $\alpha$$\alpha$ in $L[x]$$L[x]$, esso è della forma:

$$f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},\,a_{i}\in L$$

$$f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},\,a_{i}\in L$$

Essendo $L\supseteq K$$L\supseteq K$ algebrica, ciascun $a_{i}$$a_{i}$ è algebrico su $K$$K$. Considero $K_{0}=K(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})$$K_{0}=K(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})$ che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni $K_{0}(\alpha )\supseteq K_{0}\supseteq K$$K_{0}(\alpha )\supseteq K_{0}\supseteq K$.

$K_{0}(\alpha )$$K_{0}(\alpha )$ come estensione di $K_{0}$$K_{0}$ è di grado finito, e lo stesso vale per $K_{0}\supseteq K$$K_{0}\supseteq K$, allora per il teorema della torre $K_{0}(\alpha )\supseteq K$$K_{0}(\alpha )\supseteq K$ è di grado finito e quindi è algebrica. In particolare $\alpha$$\alpha$ è algebrico su $K$$K$.

 

Osservazione 1.5

Vale anche il viceversa: se $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è algebrica, allora anche $M\supseteq L$$M\supseteq L$ e $L\supseteq K$$L\supseteq K$ sono algebriche.

 

Dimostrazione

Sia $\alpha \in M$$\alpha \in M$, allora siccome $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è algebrica, esiste $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ tale che $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$. $f(x)$$f(x)$ può essere considerato anche come polinomio a coefficienti in $L$$L$, e quindi $M\supseteq L$$M\supseteq L$ è algebrica. Inoltre, se ogni $\alpha \in M$$\alpha \in M$ è algebrico su $K$$K$, a maggior ragione ogni $\alpha \in L\subseteq M$$\alpha \in L\subseteq M$ è algebrico su $K$$K$, cioè $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è algebrica.

 

Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso

Definizione 1.7

Un campo $K$$K$ si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:

1. ogni polinomio $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ non costante ammette almeno una radice in $K$$K$.
2. ogni polinomio $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ non costante ammette tutte le sue radici in $K$$K$.
3. ogni polinomio $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ si spezza in fattori lineari in $K[x]$$K[x]$.
4. i soli polinomi irriducibili in $K[x]$$K[x]$ sono i polinomi di primo grado.
5. $K$$K$ non ammette estensioni algebriche proprie.

 

Esistenza di una chiusura algebrica

Definizione 1.8

Dato un campo $K$$K$, un campo ${\bar {K}}\supset K$${\bar {K}}\supset K$ si dice una chiusura algebrica di $K$$K$ se

1. ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ è algebricamente chiuso
2. ${\bar {K}}\supseteq K$${\bar {K}}\supseteq K$ è un'estensione algebrica.

 

Teorema 1.2

Sia $K$$K$ un campo, allora esiste un campo $L$$L$ che estende $K$$K$, con $L$$L$ algebricamente chiuso.

 

Dimostrazione

Considero la famiglia ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ di tutti i polinomi $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ di grado $\geq 1$$\geq 1$. Considero un insieme di indeterminate ${\mathcal {X}}$${\mathcal {X}}$ indicizzate sugli elementi della famiglia ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$, cioè

$${\mathcal {X}}=\{x_{f},\,f\in {\mathcal {F}}\}$$

$${\mathcal {X}}=\{x_{f},\,f\in {\mathcal {F}}\}$$

e considero l'anello dei polinomi $K[{\mathcal {X}}]$$K[{\mathcal {X}}]$.
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia $Y=\{y_{i}\}_{i\geq 1}$$Y=\{y_{i}\}_{i\geq 1}$ un insieme di indeterminate, allora $K[Y]=\{f(y_{t_{1}},y_{t_{2}},\dots ,y_{t_{r}}):r\geq 1\}$$K[Y]=\{f(y_{t_{1}},y_{t_{2}},\dots ,y_{t_{r}}):r\geq 1\}$ cioe' l'anello dei polinomi $K[Y]$$K[Y]$ contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di $Y$$Y$).

Sia $I$$I$ l'ideale generato dagli elementi $f(x_{f})$$f(x_{f})$ al variare di $f\in {\mathcal {F}}$$f\in {\mathcal {F}}$. Affermo che $I$$I$ è un ideale proprio dell'anello $K[{\mathcal {X}}]$$K[{\mathcal {X}}]$. Per assurdo, suppongo che $1\in I$$1\in I$, allora

$$1=g_{1}*f_{1}(x_{1})+g_{2}*f_{2}(x_{2})+\dots +g_{n}*f_{n}(x_{n}),{\textrm {formula}}\star$$

$$1=g_{1}*f_{1}(x_{1})+g_{2}*f_{2}(x_{2})+\dots +g_{n}*f_{n}(x_{n}),{\textrm {formula}}\star$$

dove $x_{i}=x_{f_{i}}$$x_{i}=x_{f_{i}}$, e dove $g_{1},\dots ,g_{n}$$g_{1},\dots ,g_{n}$ sono polinomi in $K[{\mathcal {X}}]$$K[{\mathcal {X}}]$, con

$$g_{i}=g_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\quad (M\geq n)$$

$$g_{i}=g_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\quad (M\geq n)$$

Considero un'estensione finita $K_{1}\supseteq K$$K_{1}\supseteq K$ in cui ciascun polinomio $f_{i}$$f_{i}$ ammette una radice $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$.

L'uguaglianza $\star$$\star$ può essere considerata in $K_{1}[{\mathcal {X}}]$$K_{1}[{\mathcal {X}}]$, e sostituendo $x_{1}$$x_{1}$ con $\alpha _{1}$$\alpha _{1}$, $x_{2}$$x_{2}$ con $\alpha _{2}$$\alpha _{2}$, $\dots$$\dots$, $x_{n}$$x_n$ con $\alpha _{n}$$\alpha _{n}$ e $x_{i}$$x_{i}$ con $0$$0$ per $i>n$$i>n$ nella formula $\star$$\star$, ottengo che $1=0$$1=0$, assurdo.

Allora $I$$I$ è un ideale proprio, e quindi esiste in $K[{\mathcal {X}}]$$K[{\mathcal {X}}]$ un ideale massimale $M$$M$ che contiene $I$$I$ per la conseguenza del lemma di Zorn.

Pongo $L_{1}={\frac {K[{\mathcal {X}}]}{M}}$$L_{1}={\frac {K[{\mathcal {X}}]}{M}}$, siccome $M$$M$ è un ideale massimale, $L_{1}$$L_{1}$ è un campo che estende $K$$K$. Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in $K$$K$ ammette una radice in $L_{1}$$L_{1}$ (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).

Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: $L_{0}=K\subset L_{1}\subset L_{2}\subseteq \dots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}\subseteq \ldots$$L_{0}=K\subset L_{1}\subset L_{2}\subseteq \dots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}\subseteq \ldots$.

Chiamo $L=\bigcup _{k\geq 0}L_{k}$$L=\bigcup _{k\geq 0}L_{k}$ e affermo che $L$$L$ è un campo: infatti, dati $\alpha ,\beta \in L$$\alpha ,\beta \in L$, esistono indici $h,k$$h,k$ tali che $\alpha \in L_{k},\beta \in L_{h}$$\alpha \in L_{k},\beta \in L_{h}$. Supponiamo $L_{k}\subseteq L_{h}$$L_{k}\subseteq L_{h}$, allora $\alpha ,\beta \in L_{h}$$\alpha ,\beta \in L_{h}$, $L_{h}$$L_{h}$ è un campo, allora $\alpha +\beta \in L_{h}$$\alpha +\beta \in L_{h}$ quindi $\alpha +\beta \in L$$\alpha +\beta \in L$. Analogamente $\alpha \beta$$\alpha \beta$ e $\alpha \beta ^{-1}$$\alpha \beta ^{-1}$ appartengono a $L$$L$.

Sappiamo inoltre che $K\subseteq L$$K\subseteq L$, e mostriamo che $L$$L$ è algebricamente chiuso.

Considero $f$$f$ un polinomio a coefficienti in $L$$L$, allora $f$$f$ ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice $n$$n$ tale che $f\in L_{n}[x]$$f\in L_{n}[x]$. Per costruzione dato un polinomio non costante a coefficienti in $L_{n}$$L_{n}$, esso ammette una radice in $L_{n+1}$$L_{n+1}$, allora anche $f(x)$$f(x)$ ammette una radice in $L_{n+1}\subseteq L$$L_{n+1}\subseteq L$, quindi $L$$L$ è algebricamente chiuso.

 

Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:

Teorema 1.3

Sia $K$$K$ un campo, allora esiste una chiusura algebrica di $K$$K$.

 

Dimostrazione

Per il teorema precedente esiste un campo $L\supseteq K$$L\supseteq K$ che è algebricamente chiuso. Allora considero

$${\bar {K}}=\{\alpha \in L\,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,K\}$$

$${\bar {K}}=\{\alpha \in L\,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,K\}$$

Mostro che ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ è un campo: siano $\alpha ,\beta \in {\bar {K}}$$\alpha ,\beta \in {\bar {K}}$, allora $\alpha$$\alpha$ è algebrico su $K$$K$, quindi $|K(\alpha ):K|<\infty$$|K(\alpha ):K|<\infty$, inoltre $\beta$$\beta$ è algebrico su $K$$K$, quindi anche su $K(\alpha )$$K(\alpha )$ allora $|K(\alpha ,\beta ):K(\alpha )|<\infty$$|K(\alpha ,\beta ):K(\alpha )|<\infty$. Dal teorema della torre segue che l'estensione $K(\alpha ,\beta )\supseteq K$$K(\alpha ,\beta )\supseteq K$ è di grado finito, in quanto $|K(\alpha ,\beta ):K|=|K(\alpha ,\beta ):K(\alpha )|*|K(\alpha ):K|<\infty$$|K(\alpha ,\beta ):K|=|K(\alpha ,\beta ):K(\alpha )|*|K(\alpha ):K|<\infty$, ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi $\alpha \pm \beta ,\,\alpha \beta ,\,\alpha \beta ^{-1}$$\alpha \pm \beta ,\,\alpha \beta ,\,\alpha \beta ^{-1}$ sono contenuti in $K(\alpha ,\beta )$$K(\alpha ,\beta )$, e quindi sono algebrici su $K$$K$, quindi per definizione stanno in ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ che è un campo.

Inoltre, ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ è un'estensione algebrica di $K$$K$, infatti

$${\bar {K}}=\{\alpha \in L\,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,K\}$$

$${\bar {K}}=\{\alpha \in L\,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,K\}$$

Rimane da mostrare che ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ è algebricamente chiuso. Considero un polinomio non costante a coefficienti in ${\bar {K}}$${\bar {K}}$, con ${\rm {{gr}(f(x))\geq 1}}$${\rm {{gr}(f(x))\geq 1}}$. Siccome ${\bar {K}}\subseteq L$${\bar {K}}\subseteq L$, $f$$f$ ha coefficienti in $L$$L$, ma $L$$L$ è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice $\beta$$\beta$ di $f(x)$$f(x)$ in $L$$L$, cioè $f(\beta )=0$$f(\beta )=0$.

Ora considero la catena di estensioni ${\bar {K}}(\beta )\supseteq {\bar {K}}\supseteq K$${\bar {K}}(\beta )\supseteq {\bar {K}}\supseteq K$, allora ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ come estensione di $K$$K$ è algebrica per il punto precedente, e ${\bar {K}}(\beta )$${\bar {K}}(\beta )$ come estensione di ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ è algebrica perché $\beta$$\beta$ è radice di un polinomio a coefficienti in ${\bar {K}}$${\bar {K}}$. Per la transitività delle estensioni algebriche,

${\bar {K}}(\beta )\supseteq K$${\bar {K}}(\beta )\supseteq K$ è algebrica, quindi $\beta$$\beta$ è algebrico su $K$$K$, e quindi sta in ${\bar {K}}$${\bar {K}}$, che è algebricamente chiuso.

 

Esempio 1.1

Si può considerare ad esempio il caso in cui $K=\mathbb {Q}$$K=\mathbb {Q}$, $L=\mathbb {C}$$L=\mathbb {C}$ e

$${\bar {K}}=\{\alpha \in \mathbb {C} \,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,\mathbb {Q} \}.$$

$${\bar {K}}=\{\alpha \in \mathbb {C} \,t.c.\,\alpha \,algebrico\,su\,\mathbb {Q} \}.$$

Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che $|{\bar {K}}:\mathbb {Q} |=m<\infty$$|{\bar {K}}:\mathbb {Q} |=m<\infty$, allora ogni elemento di ${\bar {K}}$${\bar {K}}$ dovrebbe avere polinomio minimo di grado $\leq m$$\leq m$. Se $p$$p$ è primo e $n\geq 1$$n\geq 1$, l'elemento ${\sqrt[{n}]{p}}$${\sqrt[{n}]{p}}$ è radice del polinomio $x^{n}-p$$x^{n}-p$, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi ${\sqrt[{n}]{p}}$${\sqrt[{n}]{p}}$ è algebrico su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ (pertanto e' un elemento di ${\bar {K}}$${\bar {K}}$) con polinomio minimo (su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$) $x^{n}-p$$x^{n}-p$. Dall'arbitrarietà di $n$$n$ si ha l'assurdo.