Sia
un campo, e siano
elementi algebrici su
. Posso quindi considerare l'estensione
, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.
Dimostrazione
Ho una successione di estensioni semplici di grado finito:
, e applicando il teorema del grado anche
è finito.
Siano
estensioni di campi, e suppongo che
e
siano algebriche.
Allora anche
è algebrica.
Dimostrazione
Prendo
, allora
è algebrico su
e posso considerare il polinomio minimo
di
in
, esso è della forma:

Essendo

algebrica, ciascun

è algebrico su

. Considero

che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni

.
come estensione di
è di grado finito, e lo stesso vale per
, allora per il teorema della torre
è di grado finito
e quindi è algebrica.
In particolare
è algebrico su
.
Vale anche il viceversa: se
è algebrica, allora anche
e
sono algebriche.
Dimostrazione
Sia
, allora siccome
è algebrica, esiste
tale che
.
può essere considerato anche come polinomio a coefficienti in
, e quindi
è algebrica.
Inoltre, se ogni
è algebrico su
, a maggior ragione ogni
è algebrico su
, cioè
è algebrica.
Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso[modifica | modifica wikitesto]
Definizione 1.7
Un campo
si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:
- ogni polinomio
non costante ammette almeno una radice in
.
- ogni polinomio
non costante ammette tutte le sue radici in
.
- ogni polinomio
si spezza in fattori lineari in
.
- i soli polinomi irriducibili in
sono i polinomi di primo grado.
non ammette estensioni algebriche proprie.
Definizione 1.8
Dato un campo
, un campo
si dice una chiusura algebrica di
se
è algebricamente chiuso
è un'estensione algebrica.
Teorema 1.2
Sia
un campo, allora esiste un campo
che estende
, con
algebricamente chiuso.
Dimostrazione
Considero la famiglia
di tutti i polinomi
di grado
. Considero un insieme di indeterminate
indicizzate sugli elementi della famiglia
, cioè

e considero l'anello dei polinomi
![{\displaystyle K[{\mathcal {X}}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f0ed165d5937fb0f99967a368ee52a1434cbdbaa)
.
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia

un insieme di indeterminate, allora
![{\displaystyle K[Y]=\{f(y_{t_{1}},y_{t_{2}},\dots ,y_{t_{r}}):r\geq 1\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f77fe568d267e61eb2c8503ae767f88093b059e5)
cioe' l'anello
dei polinomi
![{\displaystyle K[Y]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ff587b01af7e8fefb1a1ee11fe2261cd857ad670)
contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di

).
Sia
l'ideale generato dagli elementi
al variare di
. Affermo che
è un ideale proprio dell'anello
. Per assurdo, suppongo che
, allora

dove

, e dove

sono polinomi in
![{\displaystyle K[{\mathcal {X}}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f0ed165d5937fb0f99967a368ee52a1434cbdbaa)
, con

Considero un'estensione finita

in cui ciascun polinomio

ammette una radice

.
L'uguaglianza
può essere considerata in
, e sostituendo
con
,
con
,
,
con
e
con
per
nella formula
, ottengo che
, assurdo.
Allora
è un ideale proprio, e quindi esiste in
un ideale massimale
che contiene
per la conseguenza del lemma di Zorn.
Pongo
, siccome
è un ideale massimale,
è un campo che estende
. Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in
ammette una radice in
(per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).
Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni:
.
Chiamo
e affermo che
è un campo: infatti, dati
, esistono indici
tali che
.
Supponiamo
, allora
,
è un campo, allora
quindi
. Analogamente
e
appartengono a
.
Sappiamo inoltre che
, e mostriamo che
è algebricamente chiuso.
Considero
un polinomio a coefficienti in
, allora
ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice
tale che
.
Per costruzione dato un polinomio non costante a coefficienti in
, esso ammette una radice in
, allora anche
ammette una radice in
, quindi
è algebricamente chiuso.
Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:
Teorema 1.3
Sia
un campo, allora esiste una chiusura algebrica di
.
Dimostrazione
Per il teorema precedente esiste un campo
che è algebricamente chiuso. Allora considero

Mostro che
è un campo: siano

, allora

è algebrico su

, quindi

, inoltre

è algebrico su

,
quindi anche su

allora

. Dal teorema della torre segue che l'estensione

è di grado finito, in quanto

, ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi

sono contenuti in

, e quindi sono algebrici su

, quindi per definizione stanno in

che è un campo.
Inoltre,
è un'estensione algebrica di
, infatti

Rimane da mostrare che
è algebricamente chiuso. Considero un polinomio non costante a coefficienti in

, con

.
Siccome

,

ha coefficienti in

, ma

è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice

di

in

, cioè

.
Ora considero la catena di estensioni
, allora
come estensione di
è algebrica per il punto precedente, e
come estensione di
è algebrica perché
è radice di un polinomio a coefficienti in
. Per la transitività delle estensioni algebriche,

è algebrica, quindi

è algebrico su

, e quindi sta in

, che è algebricamente chiuso.
Esempio 1.1
Si può considerare ad esempio il caso in cui
,
e

Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che

, allora ogni elemento di

dovrebbe avere polinomio minimo di grado

. Se

è primo e

, l'elemento
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/dac134c13bde44d42060499220adf6949490f40e)
è radice del polinomio

, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/dac134c13bde44d42060499220adf6949490f40e)
è algebrico su

(pertanto e' un elemento di

) con polinomio minimo (su

)

. Dall'arbitrarietà di

si ha l'assurdo.