Esercizio 7.13
Siano
numeri primi distinti, e sia
.
- Mostrare che
è normale;
- Mostrare che
è elementare abeliano di ordine
. (dire che
è elementare abeliano significa che
,
,
è abeliano e tutti gli elementi di
esclusa l'unità hanno ordine 2)
Suggerimento: una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi
sono tutti distinti, al variare di
sui
prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene
.
- Siamo in caratteristica 0 e
è campo di spezzamento del polinomio
sopra
, quindi
è normale.
- Considero la catena di estensioni:

Per il teorema della torre
dove ogni fattore è
perché per ogni
,
è uno zero del polinomio
.Allora
per un certo
e dobbiamo provare che
, cioè che
.Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che
è un campo intermedio fra
e
di grado 2, allora, ponendo
,
Siccome supponiamo che i campi
siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi
di indice 2 in
sono tutti distinti e sono almeno
, di conseguenza esistono almeno
elementi in
, cioè
. Segue che
.Gli elementi di
hanno ordine 2, eccetto l'unita', infatti, dato
, esso manda l'elemento
in sé stesso oppure in
, e quindi
.
è abeliano: in generale dato un gruppo
, se
per ogni
, allora
è abeliano. Infatti, dati
, segue che
. D'altra parte,
implica
e
implica
. Dall'uguglianza
, moltiplicando a destra per
e poi per
, si ha
.Infine argomentiamo il sugerimento: Sia
, e suppongo per assurdo che
. Se questo avviene, si deve avere in particolare che
, cioè, preso un generico elemento in
della forma
, si deve avere.ì
e sviluppando il quadrato
Il caso
si esclude perché se così fosse si avrebbe
, con
. Se invece
si ha
. Siccome abbiamo supposto
, esisterà un
che compare nella scrittura di
ma non di
, cioè esiste un
che divide
e non divide
, e quindi l'equazione sopra non può essere vera.