Tredicesimo esercizio

Esercizio 7.13

Siano $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ numeri primi distinti, e sia $M=\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}},\dots ,{\sqrt {p_{n}}})$$M=\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}},\dots ,{\sqrt {p_{n}}})$.

1. Mostrare che $M\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q}$ è normale;
2. Mostrare che $G={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$G={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ è elementare abeliano di ordine $2^{n}$$2^n$. (dire che $G$$G$ è elementare abeliano significa che $G=C_{2}\times \dots \times C_{2}$$G=C_{2}\times \dots \times C_{2}$, $o(G)=2^{n}$$o(G)=2^{n}$, $G$$G$ è abeliano e tutti gli elementi di $G$$G$ esclusa l'unità hanno ordine 2)

Suggerimento: una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi $\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$ sono tutti distinti, al variare di $k$$k$ sui $2^{n}-1$$2^{n}-1$ prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$.

 

1. Siamo in caratteristica 0 e $M$$M$ è campo di spezzamento del polinomio $(x^{2}-p_{1})(x^{2}-p_{2})*\dots *(x^{2}-p_{n})$$(x^{2}-p_{1})(x^{2}-p_{2})*\dots *(x^{2}-p_{n})$ sopra $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, quindi $M\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q}$ è normale.
2. Considero la catena di estensioni:
   $$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})\subseteq \dots \subseteq M$$

   $$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})\subseteq \dots \subseteq M$$
   Per il teorema della torre
   $$|M:\mathbb {Q} |=|M:\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\dots ,{\sqrt {p_{n-1}}})|*\dots *|\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})|*|\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} |$$

   $$|M:\mathbb {Q} |=|M:\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\dots ,{\sqrt {p_{n-1}}})|*\dots *|\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})|*|\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} |$$
   dove ogni fattore è $\leq 2$$\leq 2$ perché per ogni $i$$i$, ${\sqrt {p_{i}}}$${\sqrt {p_{i}}}$ è uno zero del polinomio $x^{2}-p_{i}\in \mathbb {Q} [x]$$x^{2}-p_{i}\in \mathbb {Q} [x]$.Allora $o(G)=|M:\mathbb {Q} |=2^{m}$$o(G)=|M:\mathbb {Q} |=2^{m}$ per un certo $m\in \mathbb {N} ,m\leq n$$m\in \mathbb {N} ,m\leq n$ e dobbiamo provare che $m=n$$m=n$, cioè che $o(G)=2^{n}$$o(G)=2^{n}$.Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che $\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$ è un campo intermedio fra $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ e $M$$M$ di grado 2, allora, ponendo $H_{k}=\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})'$$H_{k}=\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})'$,
   $$2=|\mathbb {Q} ({\sqrt {k}}):\mathbb {Q} |=|G:H_{k}|.$$

   $$2=|\mathbb {Q} ({\sqrt {k}}):\mathbb {Q} |=|G:H_{k}|.$$
   Siccome supponiamo che i campi $\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$ siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi $H_{k}$$H_{k}$ di indice 2 in $G$$G$ sono tutti distinti e sono almeno $2^{n}$$2^n$, di conseguenza esistono almeno $2^{n}$$2^n$ elementi in $G$$G$, cioè $o(G)>2^{n}$$o(G)>2^{n}$. Segue che $m=n$$m=n$.Gli elementi di $G$$G$ hanno ordine 2, eccetto l'unita', infatti, dato $g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, esso manda l'elemento ${\sqrt {p_{i}}}$${\sqrt {p_{i}}}$ in sé stesso oppure in $-{\sqrt {p_{i}}}$$-{\sqrt {p_{i}}}$, e quindi $g^{2}=1$$g^{2}=1$.$G$$G$ è abeliano: in generale dato un gruppo $G$$G$, se $g^{2}=1$$g^{2}=1$ per ogni$g\in G$$g\in G$, allora $G$$G$ è abeliano. Infatti, dati $x,y\in G$$x,y\in G$, segue che $xyxy=1$$xyxy=1$. D'altra parte, $x^{2}=1$$x^{2}=1$ implica $x=x^{-1}$$x=x^{-1}$ e $y^{2}=1$$y^{2}=1$ implica $y=y^{-1}$$y=y^{-1}$. Dall'uguglianza $xyxy=1$$xyxy=1$, moltiplicando a destra per $y$$y$ e poi per $x$$x$, si ha $xy=yx$$xy=yx$.Infine argomentiamo il sugerimento: Sia $k\neq h$$k\neq h$, e suppongo per assurdo che $\mathbb {Q} ({\sqrt {h}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {h}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {k}})$. Se questo avviene, si deve avere in particolare che ${\sqrt {k}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {h}})$${\sqrt {k}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {h}})$, cioè, preso un generico elemento in $\mathbb {Q} ({\sqrt {h}})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {h}})$ della forma $a+b{\sqrt {h}}$$a+b{\sqrt {h}}$, si deve avere.ì
   $$(a+b{\sqrt {h}})^{2}=k$$

   $$(a+b{\sqrt {h}})^{2}=k$$
   e sviluppando il quadrato
   $$a^{2}+b^{2}h+2ab{\sqrt {h}}=k,\;\longrightarrow \,ab=0$$

   $$a^{2}+b^{2}h+2ab{\sqrt {h}}=k,\;\longrightarrow \,ab=0$$
   Il caso $b=0$$b=0$ si esclude perché se così fosse si avrebbe $a^{2}=k$$a^{2}=k$, con $a\in \mathbb {Q}$$a\in \mathbb {Q}$. Se invece $a=0$$a=0$ si ha $b^{2}h=k$$b^{2}h=k$. Siccome abbiamo supposto $h\neq k$$h\neq k$, esisterà un $p_{i}$$p_{i}$ che compare nella scrittura di $h$$h$ ma non di $k$$k$, cioè esiste un $p_{i}$$p_{i}$ che divide $h$$h$ e non divide $k$$k$, e quindi l'equazione sopra non può essere vera.