Esercizio 7.15
Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che
.
Suggerimento: mostrare che l'orbita di
sotto l'azione di
contiene almeno
elementi distinti.
Cerco
elementi distinti dell'orbita di
sotto l'azione di
, dove pongo
. Osservo che

e quindi le immagini di

mediante i

sono

elementi distinti dell'orbita.
Poi, se considero prodotti della forma

, si ha che

e ottengo

elementi distinti dell'orbita.
Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di
, che sono
; applicandoli a
ottengo
elementi nell'orbita di
, della forma

Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti: Considero due prodotti
di elementi di
, devo mostrare che
. Sia
e
; Se supponiamo per assurdo che
segue che

ma allora, siccome i

sono indipendenti, segue che

, e quindi

.
Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che
. Sappiamo che
e abbiamo appena mostrato che
, però siccome vale l'inclusione
, si deve avere
, cioè
.