Quindicesimo esercizio

Esercizio 7.15

Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che $M=\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}})$$M=\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}})$.

Suggerimento: mostrare che l'orbita di ${\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$${\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$ sotto l'azione di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ contiene almeno $2^{n}$$2^n$ elementi distinti.

 

Cerco $2^{n}$$2^n$ elementi distinti dell'orbita di $\beta$$\beta$ sotto l'azione di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, dove pongo $\beta ={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$$\beta ={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$. Osservo che

$$\beta ^{g_{i}}={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}-{\sqrt {p_{i}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$$

$$\beta ^{g_{i}}={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}-{\sqrt {p_{i}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$$

e quindi le immagini di $\beta$$\beta$ mediante i $g_{i}$$g_{i}$ sono $n$$n$ elementi distinti dell'orbita. Poi, se considero prodotti della forma $g_{i}g_{j}$$g_{i}g_{j}$, si ha che

$$\beta ^{g_{i}g_{j}}={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}-{\sqrt {p_{i}}}+\dots -{\sqrt {p_{j}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$$

$$\beta ^{g_{i}g_{j}}={\sqrt {p_{1}}}+{\sqrt {p_{2}}}-{\sqrt {p_{i}}}+\dots -{\sqrt {p_{j}}}+\dots +{\sqrt {p_{n}}}$$

e ottengo ${\binom {n}{2}}$${\binom {n}{2}}$ elementi distinti dell'orbita.

Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, che sono $2^{n}$$2^n$; applicandoli a $\beta$$\beta$ ottengo $2^{n}$$2^n$ elementi nell'orbita di $\beta$$\beta$, della forma

$$\sum _{i}\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}},\;\lambda _{i}=\pm 1$$

$$\sum _{i}\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}},\;\lambda _{i}=\pm 1$$

Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti: Considero due prodotti $g,h$$g,h$ di elementi di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, devo mostrare che $\beta ^{g}\neq \beta ^{h}$$\beta ^{g}\neq \beta ^{h}$. Sia $\beta ^{g}=\sum _{i}\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}}$$\beta ^{g}=\sum _{i}\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}}$ e $\beta ^{h}=\sum _{i}\lambda _{i}'{\sqrt {p_{i}}}$$\beta ^{h}=\sum _{i}\lambda _{i}'{\sqrt {p_{i}}}$; Se supponiamo per assurdo che $\beta ^{g}=\beta ^{h}$$\beta ^{g}=\beta ^{h}$ segue che

$$\beta ^{g}-\beta ^{h}=\sum _{i}(\lambda _{i}-\lambda _{i}'){\sqrt {p_{i}}}=0$$

$$\beta ^{g}-\beta ^{h}=\sum _{i}(\lambda _{i}-\lambda _{i}'){\sqrt {p_{i}}}=0$$

ma allora, siccome i ${\sqrt {p_{i}}}$${\sqrt {p_{i}}}$ sono indipendenti, segue che $\lambda _{i}=\lambda _{i}'\forall i$$\lambda _{i}=\lambda _{i}'\forall i$, e quindi $g=h$$g=h$.

Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=2^{n}$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=2^{n}$. Sappiamo che $|M:\mathbb {Q} |=2^{n}$$|M:\mathbb {Q} |=2^{n}$ e abbiamo appena mostrato che $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\geq 2^{n}$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\geq 2^{n}$, però siccome vale l'inclusione $\mathbb {Q} (\beta )\subseteq M$$\mathbb {Q} (\beta )\subseteq M$, si deve avere $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\mid |M:\mathbb {Q} |$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\mid |M:\mathbb {Q} |$, cioè $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=2^{n}$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=2^{n}$.