Quattordicesimo esercizio

Esercizio 7.14

Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice $i$$i$, esiste $g_{i}\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$g_{i}\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ tale che ${\sqrt {p_{i}}}^{g_{i}}=-{\sqrt {p_{i}}}$${\sqrt {p_{i}}}^{g_{i}}=-{\sqrt {p_{i}}}$, mentre ${\sqrt {p_{j}}}^{g_{i}}={\sqrt {p_{j}}}$${\sqrt {p_{j}}}^{g_{i}}={\sqrt {p_{j}}}$ per $j\neq i$$j\neq i$. Usare questo fatto per mostrare che ${\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}},\dots ,{\sqrt {p_{n}}}$${\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}},\dots ,{\sqrt {p_{n}}}$ sono indipendenti su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$.

 

Dato $g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, esso è determinato dalla sua azione sulle radici; abbiamo mostrato nell'esercizio precedente che in $G$$G$ ci sono esattamente $2^{n}$$2^n$ elementi, quindi $g$$g$ deve necessariamente includere i morfismi $g_{i}$$g_{i}$ tali che ${\sqrt {p_{i}}}^{g_{i}}=-{\sqrt {p_{i}}}$${\sqrt {p_{i}}}^{g_{i}}=-{\sqrt {p_{i}}}$ e ${\sqrt {p_{j}}}^{g_{j}}={\sqrt {p_{j}}}\forall j\neq i$${\sqrt {p_{j}}}^{g_{j}}={\sqrt {p_{j}}}\forall j\neq i$.

Mostriamo ora la lineare indipendenza dei $g_{i}$$g_{i}$: Supponiamo di avere una combinazione lineare della forma

$$\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}{\sqrt {p_{j}}}=0,\;\lambda _{j}\in \mathbb {Q} .$$

$$\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}{\sqrt {p_{j}}}=0,\;\lambda _{j}\in \mathbb {Q} .$$

Applicando $g_{i}$$g_{i}$ a entrambi i membri ottengo

$$0=\sum _{j}\lambda _{j}^{g_{i}}{\sqrt {p_{j}}}^{g_{i}}$$

$$0=\sum _{j}\lambda _{j}^{g_{i}}{\sqrt {p_{j}}}^{g_{i}}$$

e siccome i $\lambda _{j}$$\lambda _{j}$ stanno in $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ e vengono fissati si ha

$$0=\sum _{j\neq i}\lambda _{j}{\sqrt {p_{j}}}-\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}}$$

$$0=\sum _{j\neq i}\lambda _{j}{\sqrt {p_{j}}}-\lambda _{i}{\sqrt {p_{i}}}$$

ed eguagliando i coefficienti rispetto agli elementi della base nelle due combinazioni lineari ottengo $\lambda _{i}=-\lambda _{i}$$\lambda _{i}=-\lambda _{i}$, cioè $\lambda _{i}=0$$\lambda _{i}=0$. Ripetendo questo procedimento per ogni $i$$i$ ottengo che tutti gli scalari sono nulli.