Esercizio 7.1
Determinare il gruppo di Galois su
del campo di spezzamento
del polinomio
.
Prima cerco il campo di spezzamento
: la fattorizzazione di
in irriducibili in
è

Osservo che

, e definisco il campo di spezzamento di questo polinomio:
![{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})={\frac {\mathbb {Q} [x]}{(x^{2}-5)}}=\{a+b{\sqrt {5}},\,a,b\in \mathbb {Q} \}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/63c12e6332163a93fb06d7bce5b6bf36620b3305)

quindi il polinomio

non ammette radici in

, e si ha

.
Per trovare il campo di spezzamento di
estendo
e considero:

e sostituendo le espressioni di

e

:


Applicando il teorema della torre segue che

Siccome
ha caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile è separabile (infatti un polinomio irriducibile
ha una radice multipla solo se
, e questo in caratteristica 0 non può avvenire); dalla caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito segue quindi che
è normale, e
.
è isomorfo a un sottogruppo di
perché gli elementi di
permutano le radici del polinomio di partenza che sono quattro. Detti
e
, sappiamo che
agisce transitivamente sia su
che su
. Quindi, gli elementi di
si possono elencare in questo modo:

Posso anche riscrivere gli elementi sopra in questo modo

Osservo che il gruppo non è ciclico, infatti ogni elemento elevato al quadrato è uguale all'identità e ha quindi ordine 2. A meno di isomorfismo esistono solo due gruppi di ordine

che sono

e

(il gruppo di Klein). Nota: con

indichiamo il gruppo ciclico di ordine

e, se usiamo la notazione moltiplicativa per i gruppi, consideriamo il prodotto diretto

. Se invece usiamo la notazione additiva per i gruppi, consideriamo la somma diretta (ma e' la stessa costruzione, cambia solo la notazione).
Siccome
non e' ciclico deduciamo che
è
il Klein. Posso elencare i suoi elementi nella forma

dove

,

,

.
I sottogruppi di
sono:

Determino i campi intermedi:
, e siccome
fissa
,
.Inoltre per il teorema fondamentale della teoria di Galois
e siccome
, anche
. Poiche'
concludo che deve essere
.
- Per un ragionamento analogo si ha che
.
- Ora determiniamo

Determino gli elementi
che vengono fissati da
e quindi da
: un generico elemento in
è della forma
e considerando come agisce
si ha:
e imponendo
ottengo il sistema
cioè
mentre
sono liberi, quindi
(per comodità lo scrivo solo a parole)
SOTTOGRUPPI:
Primo livello:
Secondo livello:
,
,
Terzo livello:
CAMPI INTERMEDI:
Primo livello:

Secondo livello:

,

,
Terzo livello:
Osserviamo anche che
e' abeliano dunque ogni suo sottogruppo e' normale. Segue dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois che le estensioni
,
e
sono normali (cosa che si verifica facilmente anche in maniera diretta peraltro).