Esercizio 7.8
Sia
.
- Calcolare il polinomio minimo
di
su
.
- Sia
campo di spezzamento di
su
, mostrare che
è ciclico di ordine 4.
- Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.
- POLINOMIO MINIMO: Osservo che

ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
cioè
è radice del polinomio
.
è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo
e risolvo l'equazione



quindi
si fattorizza nel modo seguente:
quindi
non ammette una fattorizzazione in
ed è irriducibile in
, quindi è il polinomio minimo di
su
(potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
- GRUPPO DI GALOIS: Pongo
e
, allora le radici di
sono
e
.
, siccome dobbiamo mostrare che
è ciclico di ordine 4, mostriamo che
, equivalentemente che
. Moltiplico e divido
per
:

quindi
e
.Segue quindi che
, e
. Gli elementi di
sono determinati dalla loro azione su
, e mandano
in una delle radici di
; supponiamo che gli elementi di
siano definiti nel seguente modo:
Per mostrare che
è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di
:#*Per
si ha:
quindi
. Considero allora
:#*Per
si ha
e sostituendo l'espressione di
:

moltiplico e divido per
:


quindi
, e
. Allora
non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè
è ciclico generato da
, e pongo
, e si ha
.#*Si verifica anche che
, infatti
quindi
e
.Concludo che
con
.L'estensione
è normale perché
è campo di spezzamento su
di
e siamo in caratteristica 0.
- CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di
è
, e determino il corrispondente campo intermedio
. Basta determinare gli elementi di
fissati da
. Essendo
campo di spezzamento di
si ha
Dato
, siccome
è tale che
, si ha
e
se e solo se
. Si ha quindi
Diagramma dei campi:
(i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi: 