Ottavo esercizio

Esercizio 7.8

Sia $\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$$\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$.

1. Calcolare il polinomio minimo $f(x)$$f(x)$ di $\alpha$$\alpha$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$.
2. Sia $M$$M$ campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, mostrare che ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ è ciclico di ordine 4.
3. Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.

 

1. POLINOMIO MINIMO: Osservo che
   $$\alpha ^{2}=2+{\sqrt {2}}\,\longrightarrow \,\alpha ^{2}-2={\sqrt {2}}$$

   $$\alpha ^{2}=2+{\sqrt {2}}\,\longrightarrow \,\alpha ^{2}-2={\sqrt {2}}$$
   ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
   $$\alpha ^{4}+4-4\alpha ^{2}=2,\,\longrightarrow \,\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+2=0$$

   $$\alpha ^{4}+4-4\alpha ^{2}=2,\,\longrightarrow \,\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+2=0$$
   cioè $\alpha$$\alpha$ è radice del polinomio $f(x)=x^{4}-4x^{2}+2$$f(x)=x^{4}-4x^{2}+2$. $f(x)$$f(x)$ è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo $x^{2}=t$$x^{2}=t$ e risolvo l'equazione
   $$t^{2}-4t+2=0$$

   $$t^{2}-4t+2=0$$
   $$t_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$

   $$t_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$
   $$t_{1,2}={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{2}}$$

   $$t_{1,2}={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{2}}$$
   $$t_{1,2}=2\pm {\sqrt {2}}$$

   $$t_{1,2}=2\pm {\sqrt {2}}$$
   quindi $f(x)$$f(x)$ si fattorizza nel modo seguente:
   $$f(x)=(x^{2}-{\sqrt {2}}-2)(x^{2}-2+{\sqrt {2}})$$

   $$f(x)=(x^{2}-{\sqrt {2}}-2)(x^{2}-2+{\sqrt {2}})$$
   quindi $f(x)$$f(x)$ non ammette una fattorizzazione in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$ ed è irriducibile in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$, quindi è il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
2. GRUPPO DI GALOIS: Pongo $\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$$\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$ e $\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$, allora le radici di $f(x)$$f(x)$ sono $\pm \alpha$$\pm \alpha$ e $\pm \beta$$\pm \beta$.${\rm {{gr}(f(x))=|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=4}}$${\rm {{gr}(f(x))=|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=4}}$, siccome dobbiamo mostrare che ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ è ciclico di ordine 4, mostriamo che $M=\mathbb {Q} (\alpha )$$M=\mathbb {Q} (\alpha )$, equivalentemente che $\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$$\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$. Moltiplico e divido $\beta$$\beta$ per ${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$:
   $$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$$

   $$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$$
   $$={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=(\alpha ^{2}-2)/\alpha =(\alpha ^{2}-2)*\alpha ^{-1}$$

   $$={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=(\alpha ^{2}-2)/\alpha =(\alpha ^{2}-2)*\alpha ^{-1}$$
   quindi $\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$$\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$ e $M=\mathbb {Q} (\alpha )$$M=\mathbb {Q} (\alpha )$.Segue quindi che $4=|M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$4=|M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, e $G:={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$$G:={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$. Gli elementi di $G$$G$ sono determinati dalla loro azione su $\alpha$$\alpha$, e mandano $\alpha$$\alpha$ in una delle radici di $f(x)$$f(x)$; supponiamo che gli elementi di $G$$G$ siano definiti nel seguente modo:
   $$\alpha ^{g_{1}}=\alpha ,\,\alpha ^{g_{2}}=-\alpha ,\,\alpha ^{g_{3}}=\beta ,\,\alpha ^{g_{4}}=-\beta .$$

   $$\alpha ^{g_{1}}=\alpha ,\,\alpha ^{g_{2}}=-\alpha ,\,\alpha ^{g_{3}}=\beta ,\,\alpha ^{g_{4}}=-\beta .$$
   Per mostrare che $G$$G$ è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di $G$$G$:#*Per $g_{2}$$g_{2}$ si ha:
   $$\alpha ^{g_{2}^{2}}=(-\alpha )^{g_{2}}=\alpha$$

   $$\alpha ^{g_{2}^{2}}=(-\alpha )^{g_{2}}=\alpha$$
   quindi $o(g_{2})=2$$o(g_{2})=2$. Considero allora $g_{3}$$g_{3}$:#*Per $g_{3}$$g_{3}$ si ha
   $$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\beta ^{g_{3}}=(\beta ^{2}-2)/\beta$$

   $$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\beta ^{g_{3}}=(\beta ^{2}-2)/\beta$$
   e sostituendo l'espressione di $\beta$$\beta$:
   $$={\frac {2-{\sqrt {2}}-2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$

   $$={\frac {2-{\sqrt {2}}-2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$
   moltiplico e divido per ${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$:
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$$
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2}}}$$
   $$=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=-\alpha$$

   $$=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=-\alpha$$
   quindi $\alpha ^{g_{3}^{2}}=\alpha ^{g_{2}}$$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\alpha ^{g_{2}}$, e $g_{3}^{2}=g_{2}$$g_{3}^{2}=g_{2}$. Allora $g_{3}$$g_{3}$ non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè $G$$G$ è ciclico generato da $g_{3}$$g_{3}$, e pongo $g:=g_{3}$$g:=g_{3}$, e si ha $g_{2}=g^{2}$$g_{2}=g^{2}$.#*Si verifica anche che $g_{4}=g^{3}$$g_{4}=g^{3}$, infatti
   $$\alpha ^{g^{3}}=\beta ^{g^{2}}=(-\alpha )^{g}=-\beta$$

   $$\alpha ^{g^{3}}=\beta ^{g^{2}}=(-\alpha )^{g}=-\beta$$
   quindi $\alpha ^{g^{3}}=\alpha ^{g_{4}}$$\alpha ^{g^{3}}=\alpha ^{g_{4}}$ e $g_{4}=g^{3}$$g_{4}=g^{3}$.Concludo che $G=\{1,g,g^{2},g^{3}\}$$G=\{1,g,g^{2},g^{3}\}$ con $\alpha ^{g}=\beta$$\alpha ^{g}=\beta$.L'estensione $M\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q}$ è normale perché $M$$M$ è campo di spezzamento su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ di $f(x)$$f(x)$ e siamo in caratteristica 0.
3. CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di $G$$G$ è $H=\{1,g^{2}\}$$H=\{1,g^{2}\}$, e determino il corrispondente campo intermedio $H'={\rm {{Fix}(H)}}$$H'={\rm {{Fix}(H)}}$. Basta determinare gli elementi di $M$$M$ fissati da $g^{2}$$g^{2}$. Essendo $M$$M$ campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ si ha
   $$M=\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\alpha ^{4}=4\alpha ^{2}-2\}$$

   $$M=\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\alpha ^{4}=4\alpha ^{2}-2\}$$
   Dato $\xi \in M$$\xi \in M$, siccome $g^{2}$$g^{2}$ è tale che $\alpha \mapsto -\alpha$$\alpha \mapsto -\alpha$, si ha
   $$\xi ^{g^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}$$

   $$\xi ^{g^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}$$
   e $\xi ^{g^{2}}=\xi$$\xi ^{g^{2}}=\xi$ se e solo se $a_{1}=a_{3}=0$$a_{1}=a_{3}=0$. Si ha quindi
   $$H'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})$$

   $$H'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})$$
   Diagramma dei campi: $\mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q} (\alpha ^{2})\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q} (\alpha ^{2})\supseteq \mathbb {Q}$ (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi: $1\leq H\leq G$$1\leq H\leq G$