Esercizio 7.9
Determinare il gruppo di Galois
dove
è una radice sedicesima dell'unità.
Avevamo precedentemente calcolato che
, e sappiamo che
con
gruppo degli elementi invertibili di
, quindi

e

.
Determiniamo gli ordini degli elementi di
:

Allora

con

tale che

.
è abeliano rispetto al prodotto e ha ordine 8. I gruppi abeliani di ordine 8 sono
,
e
. In particolare, siccome in
ci sono elementi di ordine 4, escludo che
, e siccome non è ciclico escludo
, quindi rimane
.
I sottogruppi di ordine 4 sono i seguenti:
(infatti siccome
, si ha
,
)
(come prima, siccome
e
, si ha
e
)
- Si ha poi un sottogruppo di ordine 4 della forma
,

quindi
Determino i campi intermedi corrispondenti. Il polinomio ciclotomico
è polinomio minimo di
su
e
quindi

,
Dato un generico
, siccome
mediante
, si ha
e devo esprimere gli
in termini della base
. Tenendo conto che
:
e chiedere la condizione
equivale a chiedere

quindi
infatti si ottiene che
e quindi
è radice di
.
, determino
. Basta determinare gli elementi di
fissati da
. Prendo
, allora

allora
implica


perché
è radice di
.
. Ad un generico
applico prima
, e poi ad
applico
.

e imponendo
si ha


Ora verifico quali tra gli elementi fissati da
sono fissati anche da
, e preso
:
e imponendo
:
Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono
, quindi i sottogruppi di ordine 2 sono
,
,
.
Determiniamo i campi intermedi corrispondenti:
. Per calcoli precedenti

; siccome
, preso
si ha

e imponendo

si ottiene

. Quindi

. Siccome
, dato
si ha

e imponendo

si ha

quindi
