Nono Esercizio

Esercizio 7.9

Determinare il gruppo di Galois ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$ dove $\omega$$\omega$ è una radice sedicesima dell'unità.

 

Gruppo di Galois

Avevamo precedentemente calcolato che $\phi _{16}(x)=x^{8}+1$$\phi _{16}(x)=x^{8}+1$, e sappiamo che ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )\cong U_{16}$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )\cong U_{16}$ con $U_{16}$$U_{16}$ gruppo degli elementi invertibili di ${\frac {\mathbb {Z} }{16\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{16\mathbb {Z} }}$, quindi

$$U_{16}=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$$

$$U_{16}=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$$

e $|U_{16}|=\varphi (16)=8$$|U_{16}|=\varphi (16)=8$.

Determiniamo gli ordini degli elementi di $U_{16}$$U_{16}$:

$${\begin{aligned}3^{2}=9,\,3^{3}=11,\,3^{4}=81=1&\longrightarrow &o(3)=4\\5^{2}=9,\,5^{3}=13,\,5^{4}=9^{2}=1&\longrightarrow &o(5)=4\\7^{2}=49=1&\longrightarrow &o(7)=2\\9^{2}=81=1&\longrightarrow &o(9)=2\\11^{2}=(-5)^{2}=9,\,11^{4}=9^{2}=1&\longrightarrow &o(11)=4\\13^{2}=(-3)^{2}=9,\,13^{4}=1&\longrightarrow &o(13)=4\\15^{2}=(-1)^{2}=1&\longrightarrow &o(15)=2\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}3^{2}=9,\,3^{3}=11,\,3^{4}=81=1&\longrightarrow &o(3)=4\\5^{2}=9,\,5^{3}=13,\,5^{4}=9^{2}=1&\longrightarrow &o(5)=4\\7^{2}=49=1&\longrightarrow &o(7)=2\\9^{2}=81=1&\longrightarrow &o(9)=2\\11^{2}=(-5)^{2}=9,\,11^{4}=9^{2}=1&\longrightarrow &o(11)=4\\13^{2}=(-3)^{2}=9,\,13^{4}=1&\longrightarrow &o(13)=4\\15^{2}=(-1)^{2}=1&\longrightarrow &o(15)=2\end{aligned}}$$

Allora

$$G=\{g_{1},g_{3},g_{5},g_{7},g_{9},g_{11},g_{13},g_{15}\}$$

$$G=\{g_{1},g_{3},g_{5},g_{7},g_{9},g_{11},g_{13},g_{15}\}$$

con $g_{i}$$g_{i}$ tale che $\omega ^{g_{i}}=\omega ^{i}$$\omega ^{g_{i}}=\omega ^{i}$.

$G$$G$ è abeliano rispetto al prodotto e ha ordine 8. I gruppi abeliani di ordine 8 sono $C_{2}\times C_{2}\times C_{2}$$C_{2}\times C_{2}\times C_{2}$, $C_{2}\times C_{4}$$C_{2}\times C_{4}$ e $C_{8}$$C_{8}$. In particolare, siccome in $G$$G$ ci sono elementi di ordine 4, escludo che $G=C_{2}\times C_{2}\times C_{2}$$G=C_{2}\times C_{2}\times C_{2}$, e siccome non è ciclico escludo $G=C_{8}$$G=C_{8}$, quindi rimane $G=C_{2}\times C_{4}$$G=C_{2}\times C_{4}$.

I sottogruppi di ordine 4 sono i seguenti:

1. $H_{1}:=<g_{3}>=\{1,g_{3},g_{3}^{2},g_{3}^{3}\}=\{1,g_{3},g_{9},g_{11}\}$$H_{1}:=<g_{3}>=\{1,g_{3},g_{3}^{2},g_{3}^{3}\}=\{1,g_{3},g_{9},g_{11}\}$(infatti siccome $3^{2}=9,3^{3}=11$$3^{2}=9,3^{3}=11$, si ha $g_{3}^{2}=g_{9}$$g_{3}^{2}=g_{9}$, $g_{3}^{3}=g_{11}$$g_{3}^{3}=g_{11}$)
2. $H_{2}:=<g_{5}>=\{1,g_{5},g_{9},g_{13}\}$$H_{2}:=<g_{5}>=\{1,g_{5},g_{9},g_{13}\}$(come prima, siccome $5^{2}=9$$5^{2}=9$ e $5^{3}=13$$5^{3}=13$, si ha $g_{3}^{2}=g_{9}$$g_{3}^{2}=g_{9}$ e $g^{3}=g_{13}$$g^{3}=g_{13}$)
3. Si ha poi un sottogruppo di ordine 4 della forma $C_{2}\times C_{2}$$C_{2}\times C_{2}$,
   $$<g_{7}>\times <g_{9}>=\{1,g_{7},g_{9},g_{7}*g_{9}\}$$

   $$<g_{7}>\times <g_{9}>=\{1,g_{7},g_{9},g_{7}*g_{9}\}$$
   $$\omega \mapsto ^{g_{9}}\omega ^{9}\mapsto ^{g_{7}}\omega ^{63}=\omega ^{15},\,\longrightarrow \,g_{7}*g_{9}=g_{15}$$

   $$\omega \mapsto ^{g_{9}}\omega ^{9}\mapsto ^{g_{7}}\omega ^{63}=\omega ^{15},\,\longrightarrow \,g_{7}*g_{9}=g_{15}$$
   quindi
   $$H_{3}:=<g_{7}>\times <g_{9}>=\{1,g_{7},g_{9},g_{15}\}$$

   $$H_{3}:=<g_{7}>\times <g_{9}>=\{1,g_{7},g_{9},g_{15}\}$$

Determino i campi intermedi corrispondenti. Il polinomio ciclotomico $\phi _{16}(x)$$\phi _{16}(x)$ è polinomio minimo di $\omega$$\omega$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ e $\mathbb {Q} (\omega )={\frac {\mathbb {Q} }{(\phi _{16})}}$$\mathbb {Q} (\omega )={\frac {\mathbb {Q} }{(\phi _{16})}}$ quindi

$$\mathbb {Q} (\omega )=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{5}+a_{6}\omega ^{6}+a_{7}\omega ^{7},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\,\omega ^{8}=-1\}$$

$$\mathbb {Q} (\omega )=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{5}+a_{6}\omega ^{6}+a_{7}\omega ^{7},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\,\omega ^{8}=-1\}$$

1. $H_{1}'=\{1,g_{3},g_{9},g_{11}\}$$H_{1}'=\{1,g_{3},g_{9},g_{11}\}$,
   $$H_{1}'={\rm {{Fix}(H_{1})=\{\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )\;t.c.\;\alpha ^{g_{3}}=\alpha \}.}}$$

   $$H_{1}'={\rm {{Fix}(H_{1})=\{\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )\;t.c.\;\alpha ^{g_{3}}=\alpha \}.}}$$
   Dato un generico $\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$$\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$, siccome $\omega \mapsto \omega ^{3}$$\omega \mapsto \omega ^{3}$ mediante $g_{3}$$g_{3}$, si ha
   $$\alpha ^{g_{3}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{3}+a_{2}\omega ^{6}+a_{3}\omega ^{9}+a_{4}\omega ^{12}+a_{5}\omega ^{15}+a_{6}\omega ^{18}+a_{7}\omega ^{21}$$

   $$\alpha ^{g_{3}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{3}+a_{2}\omega ^{6}+a_{3}\omega ^{9}+a_{4}\omega ^{12}+a_{5}\omega ^{15}+a_{6}\omega ^{18}+a_{7}\omega ^{21}$$
   e devo esprimere gli $\omega ^{i},\,i>7$$\omega ^{i},\,i>7$ in termini della base $\{\omega ^{i}\}_{i=1}^{7}$$\{\omega ^{i}\}_{i=1}^{7}$. Tenendo conto che $\omega ^{8}=-1$$\omega ^{8}=-1$:
   $$\alpha ^{g_{3}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{3}+a_{2}\omega ^{6}-a_{3}\omega -a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{7}+a_{6}\omega ^{2}+a_{7}\omega ^{5}$$

   $$\alpha ^{g_{3}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{3}+a_{2}\omega ^{6}-a_{3}\omega -a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{7}+a_{6}\omega ^{2}+a_{7}\omega ^{5}$$
   e chiedere la condizione $\alpha =\alpha ^{g_{3}}$$\alpha =\alpha ^{g_{3}}$ equivale a chiedere
   $${\begin{cases}a_{1}=a_{3}\\a_{2}=a_{6}\\-a_{3}=a_{1}\\a_{4}=-a_{4}\\a_{7}=-a_{5}\\a_{7}=a_{5}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}a_{1}=a_{3}\\a_{2}=a_{6}\\-a_{3}=a_{1}\\a_{4}=-a_{4}\\a_{7}=-a_{5}\\a_{7}=a_{5}\end{cases}}$$
   $$\longrightarrow \,a_{1}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=0,\,a_{2}=a_{6}$$

   $$\longrightarrow \,a_{1}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=0,\,a_{2}=a_{6}$$
   quindi
   $${\rm {{Fix}(H_{1})=\{a_{0}+a_{2}\omega ^{2}+a_{2}\omega ^{6},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2}+\omega ^{6})}}$$

   $${\rm {{Fix}(H_{1})=\{a_{0}+a_{2}\omega ^{2}+a_{2}\omega ^{6},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2}+\omega ^{6})}}$$
   infatti si ottiene che $(\omega ^{2}+\omega ^{6})^{2}=4$$(\omega ^{2}+\omega ^{6})^{2}=4$ e quindi $\omega ^{2}+\omega ^{6}$$\omega ^{2}+\omega ^{6}$ è radice di $x^{2}-4$$x^{2}-4$.
2. $H_{2}=\{1,g_{5},g_{9},g_{13}\}$$H_{2}=\{1,g_{5},g_{9},g_{13}\}$, determino $H_{2}'={\rm {{Fix}(H_{2})}}$$H_{2}'={\rm {{Fix}(H_{2})}}$. Basta determinare gli elementi di $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$ fissati da $g_{5}$$g_{5}$. Prendo $\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$$\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$, allora
   $$\alpha ^{g_{5}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{5}+a_{2}\omega ^{10}+a_{3}\omega ^{15}+a_{4}\omega ^{20}+a_{5}\omega ^{25}+a_{6}\omega ^{30}+a_{7}\omega ^{35}$$

   $$\alpha ^{g_{5}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{5}+a_{2}\omega ^{10}+a_{3}\omega ^{15}+a_{4}\omega ^{20}+a_{5}\omega ^{25}+a_{6}\omega ^{30}+a_{7}\omega ^{35}$$
   $$\alpha ^{g_{5}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{5}-a_{2}\omega ^{2}-a_{3}\omega ^{7}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{9}-a_{6}\omega ^{6}+a_{7}\omega ^{3}$$

   $$\alpha ^{g_{5}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{5}-a_{2}\omega ^{2}-a_{3}\omega ^{7}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{9}-a_{6}\omega ^{6}+a_{7}\omega ^{3}$$
   allora $\alpha ^{g_{5}}=\alpha$$\alpha ^{g_{5}}=\alpha$ implica
   $${\begin{cases}a_{1}=a_{5}\\a_{2}=0\\-a_{3}=a_{7}\\-a_{5}=a_{1}\\a_{6}=0\\a_{7}=a_{3}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}a_{1}=a_{5}\\a_{2}=0\\-a_{3}=a_{7}\\-a_{5}=a_{1}\\a_{6}=0\\a_{7}=a_{3}\end{cases}}$$
   $$\longrightarrow \,a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{5}=a_{6}=a_{7}==0$$

   $$\longrightarrow \,a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{5}=a_{6}=a_{7}==0$$
   $${\rm {{Fix}(H_{2})=\{a_{0}+a_{4}\omega ^{4},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{4})=\mathbb {Q} (i)}}$$

   $${\rm {{Fix}(H_{2})=\{a_{0}+a_{4}\omega ^{4},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{4})=\mathbb {Q} (i)}}$$
   perché $\omega ^{4}$$\omega ^{4}$ è radice di $x^{2}+1$$x^2+1$.
3. $H_{3}=\{1,g_{7},g_{9},g_{15}\}$$H_{3}=\{1,g_{7},g_{9},g_{15}\}$. Ad un generico $\alpha$$\alpha$ applico prima $g_{7}$$g_{7}$, e poi ad $\alpha ^{g_{7}}$$\alpha ^{g_{7}}$ applico $g_{9}$$g_{9}$.
   $$\alpha ^{g_{7}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{7}+a_{2}\omega ^{14}+a_{3}\omega ^{21}+a_{4}\omega ^{28}+a_{5}\omega ^{35}+a_{6}\omega ^{42}+a_{7}\omega ^{49}$$

   $$\alpha ^{g_{7}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{7}+a_{2}\omega ^{14}+a_{3}\omega ^{21}+a_{4}\omega ^{28}+a_{5}\omega ^{35}+a_{6}\omega ^{42}+a_{7}\omega ^{49}$$
   $$\alpha ^{g_{7}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{7}-a_{2}\omega ^{6}+a_{3}\omega ^{5}-a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{3}-a_{6}\omega ^{2}+a_{7}\omega$$

   $$\alpha ^{g_{7}}=a_{0}+a_{1}\omega ^{7}-a_{2}\omega ^{6}+a_{3}\omega ^{5}-a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{3}-a_{6}\omega ^{2}+a_{7}\omega$$
   e imponendo $\alpha ^{g_{7}}=\alpha$$\alpha ^{g_{7}}=\alpha$ si ha
   $${\begin{cases}a_{1}=a_{7}\\-a_{2}=a_{6}\\a_{3}=a_{5}\\-a_{4}=0\\a_{5}=a_{3}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}a_{1}=a_{7}\\-a_{2}=a_{6}\\a_{3}=a_{5}\\-a_{4}=0\\a_{5}=a_{3}\end{cases}}$$
   $${\rm {{Fix}g_{7}=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{3}\omega ^{5}-a_{2}\omega ^{6}+a_{1}\omega ^{7}\}}}$$

   $${\rm {{Fix}g_{7}=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{3}\omega ^{5}-a_{2}\omega ^{6}+a_{1}\omega ^{7}\}}}$$
   $$=\{a_{0}+a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5})\}$$

   $$=\{a_{0}+a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5})\}$$
   Ora verifico quali tra gli elementi fissati da $g_{7}$$g_{7}$ sono fissati anche da $g_{9}$$g_{9}$, e preso $\beta \in g_{7}$$\beta \in g_{7}$:
   $$\beta ^{g_{9}}=a_{0}-a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5})$$

   $$\beta ^{g_{9}}=a_{0}-a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5})$$
   e imponendo $\beta ^{g_{9}}=\beta$$\beta ^{g_{9}}=\beta$:
   $$H_{3}'=\{\alpha =a_{0}+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2}-\omega ^{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$$

   $$H_{3}'=\{\alpha =a_{0}+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2}-\omega ^{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$$

Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono $g_{7},g_{9},g_{15}$$g_{7},g_{9},g_{15}$, quindi i sottogruppi di ordine 2 sono $H_{1}:=\{1,g_{7}\}$$H_{1}:=\{1,g_{7}\}$, $H_{2}:=\{1,g_{9}\}$$H_{2}:=\{1,g_{9}\}$, $H_{3}:=\{1,g_{15}\}$$H_{3}:=\{1,g_{15}\}$. Determiniamo i campi intermedi corrispondenti:

• $H_{1}=\{1,g_{7}\}$$H_{1}=\{1,g_{7}\}$. Per calcoli precedenti

$$H_{1}'=\{a_{0}+a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega +\omega ^{7})$$

$$H_{1}'=\{a_{0}+a_{1}(\omega +\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{5}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega +\omega ^{7})$$

• $H_{2}=\{1,g_{9}\}$$H_{2}=\{1,g_{9}\}$; siccome $\omega ^{9}=-\omega$$\omega ^{9}=-\omega$, preso $\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$$\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$ si ha

$$\alpha ^{g_{9}}=a_{0}-a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}-a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{5}+a_{6}\omega ^{6}-a_{7}\omega ^{7}$$

$$\alpha ^{g_{9}}=a_{0}-a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}-a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{5}+a_{6}\omega ^{6}-a_{7}\omega ^{7}$$

e imponendo $\alpha ^{g_{9}}=\alpha$$\alpha ^{g_{9}}=\alpha$ si ottiene $a_{1}=a_{3}=a_{5}=a_{7}=0$$a_{1}=a_{3}=a_{5}=a_{7}=0$. Quindi

$$H_{2}'=\{a_{0}+a_{2}\omega ^{2}+a_{4}\omega ^{4}+a_{6}\omega ^{6},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2})$$

$$H_{2}'=\{a_{0}+a_{2}\omega ^{2}+a_{4}\omega ^{4}+a_{6}\omega ^{6},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega ^{2})$$

• $H_{3}=\{1,g_{15}\}$$H_{3}=\{1,g_{15}\}$. Siccome $\omega ^{15}=-\omega ^{7}$$\omega ^{15}=-\omega ^{7}$, dato $\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$$\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )$ si ha

$$\alpha ^{g_{15}}=a_{0}-a_{1}\omega ^{7}-a_{2}\omega ^{6}-a_{3}\omega ^{5}-a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{3}-a_{6}\omega ^{2}-a_{7}\omega$$

$$\alpha ^{g_{15}}=a_{0}-a_{1}\omega ^{7}-a_{2}\omega ^{6}-a_{3}\omega ^{5}-a_{4}\omega ^{4}-a_{5}\omega ^{3}-a_{6}\omega ^{2}-a_{7}\omega$$

e imponendo $\alpha =\alpha ^{g_{15}}$$\alpha =\alpha ^{g_{15}}$ si ha

$${\begin{cases}-a_{1}=a_{7}\\-a_{2}=a_{6}\\-a_{3}=a_{5}\\a_{4}=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}-a_{1}=a_{7}\\-a_{2}=a_{6}\\-a_{3}=a_{5}\\a_{4}=0\end{cases}}$$

quindi

$$H_{3}'=\{a_{0}+a_{1}(\omega -\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}-\omega ^{5}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega -\omega ^{7})$$

$$H_{3}'=\{a_{0}+a_{1}(\omega -\omega ^{7})+a_{2}(\omega ^{2}-\omega ^{6})+a_{3}(\omega ^{3}-\omega ^{5}),\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\omega -\omega ^{7})$$