Gruppo di Galois

In caratteristica zero un polinomio irriducubile e' separabile dunque l'estensione $M\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q}$e' normale. Allora sappiamo che

$$o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} ))=|M:\mathbb {Q} |=6$$

$$o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} ))=|M:\mathbb {Q} |=6$$

e $G$$G$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_{3}$$S_3$, perché permuta le tre radici di $f(x)$$f(x)$. Siccome $o(S_{3})=6$$o(S_{3})=6$, allora $G=S_{3}$$G=S_{3}$.

Siano $x,y\in G$$x,y\in G$ definiti da

$$x:{\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega ^{2}\\\alpha \omega ^{2}\mapsto \alpha \end{cases}}y:{\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega ^{2}\\\alpha \omega ^{2}\mapsto \alpha \omega \end{cases}}$$

$$x:{\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega ^{2}\\\alpha \omega ^{2}\mapsto \alpha \end{cases}}y:{\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega ^{2}\\\alpha \omega ^{2}\mapsto \alpha \omega \end{cases}}$$

(se indentifico $\alpha$$\alpha$ con $1$$1$, $\alpha \omega$$\alpha \omega$ con $2$$2$ e $\alpha \omega ^{2}$$\alpha \omega ^{2}$ con $3$$3$, ho che $x$$x$ corrisponde al $3$$3$-ciclo $(1,2,3)$$(1,2,3)$ di $S_{3}$$S_{3}$ e $y$$y$ allo scambio $(2,3)$$(2,3)$ in $S_{3}$$S_{3}$). Allora gli elementi di $G$$G$ si possono elencare nel seguente modo:

$$G=\{1,x,x^{2},y,yx,yx^{2}\}$$

$$G=\{1,x,x^{2},y,yx,yx^{2}\}$$

(dove $x^{2}$$x^2$ corrisponde a $(1,2,3)^{2}=(1,3,2)$$(1,2,3)^{2}=(1,3,2)$, $yx$$yx$ corrisponde a $(1,2)$$(1,2)$ e $yx^{2}$$yx^{2}$ corrisponde a $(1,3)$$(1,3)$).