Dodicesimo esercizio

Esercizio 7.12

Sia $M$$M$ il campo di spezzamento di $x^{4}-2$$x^{4}-2$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ in $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$. Mostrare che $M=\mathbb {Q} (i+{\sqrt[{4}]{2}})$$M=\mathbb {Q} (i+{\sqrt[{4}]{2}})$.

Suggerimento: trovare almeno cinque elementi distinti nell'orbita di $i+{\sqrt[{4}]{2}}$$i+{\sqrt[{4}]{2}}$ sotto l'azione di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$.

 

Abbiamo dimostrato precedentemente che, se pongo $\alpha ={\sqrt[{4}]{2}}$$\alpha ={\sqrt[{4}]{2}}$, $M=\mathbb {Q} (\alpha ,i)$$M=\mathbb {Q} (\alpha ,i)$ e ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{1,x,x^{2},x^{3},y,xy,x^{2}y,x^{3}y\}$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{1,x,x^{2},x^{3},y,xy,x^{2}y,x^{3}y\}$, con

$$x\,t.c.\,\alpha ^{x}=\alpha i,\;i^{x}=i$$

$$x\,t.c.\,\alpha ^{x}=\alpha i,\;i^{x}=i$$

$$y\,t.c.\,\alpha ^{y}=\alpha ,\;i^{y}=-i.$$

$$y\,t.c.\,\alpha ^{y}=\alpha ,\;i^{y}=-i.$$

Pongo $\beta =i+\alpha$$\beta =i+\alpha$ e cerco almeno cinque elementi distinti dell'orbita di $\beta$$\beta$ sotto l'azione di ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$:

$$\beta ^{x}=i^{x}+\alpha ^{x}=i+i\alpha =i*(1+\alpha )$$

$$\beta ^{x}=i^{x}+\alpha ^{x}=i+i\alpha =i*(1+\alpha )$$

$$\beta ^{y}=i^{y}+\alpha ^{y}=-i+\alpha$$

$$\beta ^{y}=i^{y}+\alpha ^{y}=-i+\alpha$$

$$\beta ^{xy}=i^{xy}+\alpha ^{xy}=i^{y}+(i\alpha )^{y}=-i-i\alpha =-i(1+\alpha )$$

$$\beta ^{xy}=i^{xy}+\alpha ^{xy}=i^{y}+(i\alpha )^{y}=-i-i\alpha =-i(1+\alpha )$$

$$\beta ^{x^{2}}=i^{x^{2}}+\alpha ^{x^{2}}=i-\alpha$$

$$\beta ^{x^{2}}=i^{x^{2}}+\alpha ^{x^{2}}=i-\alpha$$

$$\beta ^{x^{3}}=i^{x^{3}}+\alpha ^{x^{3}}=i-i\alpha =i(1-\alpha )$$

$$\beta ^{x^{3}}=i^{x^{3}}+\alpha ^{x^{3}}=i-i\alpha =i(1-\alpha )$$

Ora mostro che $M=\mathbb {Q} (\beta )$$M=\mathbb {Q} (\beta )$. L'inclusione $\mathbb {Q} (\beta )\subseteq M$$\mathbb {Q} (\beta )\subseteq M$ è ovvia perché $\beta \in M$$\beta \in M$. Viceversa, proviamo che $M\subseteq \mathbb {Q} (\beta )$$M\subseteq \mathbb {Q} (\beta )$. Considero il polinomio minimo $h(x)$$h(x)$ di $\beta$$\beta$ sopra $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$. Gli elementi della forma $\beta ^{g}$$\beta ^{g}$ con $g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$g\in {\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ sono ancora radici di $h(x)$$h(x)$, infatti, applicando $g$$g$ all'equazione $h(\beta )=0$$h(\beta )=0$ ottengo $0=g(\beta ^{g})$$0=g(\beta ^{g})$. Con i conti precedenti ho trovato almeno cinque radici distinte di $g(x)$$g(x)$, quindi ${\rm {{gr}h(x)\geq 5}}$${\rm {{gr}h(x)\geq 5}}$, cioè $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\geq 5$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\geq 5$.

Sappiamo anche che $|M:\mathbb {Q} |=8$$|M:\mathbb {Q} |=8$, e quindi ${\rm {{gr}(h(x))=|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\mid 8}}$${\rm {{gr}(h(x))=|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |\mid 8}}$, ma allora unendo queste due condizioni l'unica possibilità è che $|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=8$$|\mathbb {Q} (\beta ):\mathbb {Q} |=8$, cioè $\mathbb {Q} (\beta )=M$$\mathbb {Q} (\beta )=M$.