Decimo esercizio

Esercizio 7.10

Dare un esempio di campi tali che $K\subseteq L\subseteq M$ $K\subseteq L\subseteq M$ e $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è un'estensione normale, $M\supseteq L$ $M\supseteq L$ è un'estensione normale ma $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ non è un'estensione normale.

Avevamo precedentemente mostrato che il campo di spezzamento su $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ del polinomio $f(x)=x^{4}-2$ $f(x)=x^{4}-2$ è $\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}},i)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}},i)$ . Pongo $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q}$ e $M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})$ $M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})$ , in questo modo $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ non è normale perché $x^{4}-2$ $x^{4}-2$ ammette una radice in $M$ $M$ ma non si spezza su $M$ $M$ .

Se pongo $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ :

$M\supseteq L\supseteq K$ $M\supseteq L\supseteq K$ .
$L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è normale perché $L$ $L$ è campo di spezzamento su $K$ $K$ del polinomio $x^{2}-2$ $x^{2}-2$ .
$M\supseteq L$ $M\supseteq L$ è normale perché $M$ $M$ è campo di spezzamento su $L$ $L$ del polinomio $x^{2}-{\sqrt {2}}$ $x^{2}-{\sqrt {2}}$ ;
$M\supseteq K$ $M\supseteq K$ non è normale perché il polinomio $x^{4}-2$ $x^{4}-2$ ha una radice in $M$ $M$ ma non si spezza su $M$ $M$ .