Criterio per la costruibilità

Lemmi preliminari

Considereremo sottocampi $F\subseteq \mathbb {C}$$F\subseteq \mathbb {C}$ tali che

1. $F$$F$ contiene l'unità immaginaria, cioè $i\in F$$i\in F$;
2. $F$$F$ è chiuso rispetto al coniugio, cioè se $z\in F$$z\in F$, anche ${\bar {z}}\in F$${\bar {z}}\in F$.

Lemma 5.1

Sia $F\subseteq \mathbb {C}$$F\subseteq \mathbb {C}$ un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Siano $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$$z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ e $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$$z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ due elementi di $F$$F$, allora

1. $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in F$$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in F$;
2. se $y=\alpha x+\beta$$y=\alpha x+\beta$ è l'equazione della retta che passa per $(x_{1},y_{1})$$(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$$(x_{2},y_{2})$, allora $\alpha ,\beta \in F$$\alpha ,\beta \in F$.
3. se $(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r^{2}$$(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r^{2}$ è l'equazione della circonferenza di centro $(x_{1},y_{1})$$(x_{1},y_{1})$ e passante per il punto di coordinate $(x_{2},y_{2})$$(x_{2},y_{2})$, allora $r^{2}\in F$$r^{2}\in F$.

 

Dimostrazione

1. $z_{1}\in F$$z_{1}\in F$, e siccome $F$$F$ è chiuso per coniugio, anche ${\bar {z}}_{1}=x_{1}-iy_{1}\in F$${\bar {z}}_{1}=x_{1}-iy_{1}\in F$, allora siccome $F$$F$ è chiuso rispetto alla somma e alla differenza, si ha $z_{1}+{\bar {z}}_{1}=2x_{1}\in F$$z_{1}+{\bar {z}}_{1}=2x_{1}\in F$, e $z_{1}-{\bar {z}}_{1}=2iy_{1}\in F$$z_{1}-{\bar {z}}_{1}=2iy_{1}\in F$. Di conseguenza, siccome $i\in F$$i\in F$ e $2\in F$$2\in F$, anche $x_{1},y_{1}\in F$$x_{1},y_{1}\in F$, e lo stesso vale per $x_{2},y_{2}$$x_{2},y_{2}$.
2. Se $y=\alpha x+\beta$$y=\alpha x+\beta$ è la retta che passa per $(x_{1},y_{1})$$(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$$(x_{2},y_{2})$, segue che $y_{1}=\alpha x_{1}+\beta$$y_{1}=\alpha x_{1}+\beta$ e $y_{2}=\alpha x_{2}+\beta$$y_{2}=\alpha x_{2}+\beta$, allora, facendo la differenza tra queste due condizioni, si ha
   $$y_{1}-y_{2}=\alpha (x_{1}-x_{2})$$

   $$y_{1}-y_{2}=\alpha (x_{1}-x_{2})$$
   $$\longrightarrow \,\alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$$

   $$\longrightarrow \,\alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$$
   quindi $\alpha \in F$$\alpha \in F$, perché è espressa come somma e differenza e prodotto di elementi che per il punto 1 stanno in $F$$F$. Di conseguenza, siccome per la prima equazione $\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$$\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$ si ha anche $\beta \in F$$\beta \in F$.
3. Se $(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r^{2}$$(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r^{2}$ è l'equazione della circonferenza di centro $(x_{1},y_{1})$$(x_{1},y_{1})$ e passante per $(x_{2},y_{2})$$(x_{2},y_{2})$, sostituendo le coordinate di $(x_{2},y_{2})$$(x_{2},y_{2})$ nell'equazione segue che
   $$r^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}$$

   $$r^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}$$
   cioè $r^{2}\in F$$r^{2}\in F$.

 

Lemma 5.2

Sia $F\subseteq \mathbb {C}$$F\subseteq \mathbb {C}$ un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Sia $z=u+iv\in \mathbb {C}$$z=u+iv\in \mathbb {C}$, dove $(u,v)$$(u,v)$ si ottiene come intersezione di

1. due rette definite a partire da punti in $F$$F$,
2. retta e circonferenza definite a partire da punti in $F$$F$,
3. due circonferenze definite a partire da punti di $F$$F$.

Allora $|F(z):F|\leq 2$$|F(z):F|\leq 2$.

 

Dimostrazione

Distinguiamo i tre casi:

1. $(u,v)$$(u,v)$ è punto di intersezione di due rette, $y=\alpha _{1}x+\beta _{1}$$y=\alpha _{1}x+\beta _{1}$ e $y=\alpha _{2}x+\beta _{2}$$y=\alpha _{2}x+\beta _{2}$. Per il lemma precedente $\alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}\in F$$\alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}\in F$, allora
   $${\begin{cases}v=\alpha _{1}u+\beta _{1}\\v=\alpha _{2}u+\beta _{2}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}v=\alpha _{1}u+\beta _{1}\\v=\alpha _{2}u+\beta _{2}\end{cases}}$$
   e, sottraendo tra loro le due equazioni, ottengo
   $$(\alpha _{1}-\alpha _{2})u=\beta _{1}-\beta _{2},\,\longrightarrow \,u={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}$$

   $$(\alpha _{1}-\alpha _{2})u=\beta _{1}-\beta _{2},\,\longrightarrow \,u={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}$$
   cioè $u\in F$$u\in F$. Per la prima equazione anche $v\in F$$v\in F$. Siccome $F$$F$ contiene l'unità immaginaria, $z\in F$$z\in F$ e quindi $F(z)=F$$F(z)=F$ e l'estensione ha grado 1.
2. $(u,v)$$(u,v)$ è punto d'intersezione tra la retta di equazione $y=\alpha x+\beta$$y=\alpha x+\beta$e la circonferenza di equazione $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.Allora $\alpha ,\beta ,a,b,r^{2}\in F$$\alpha ,\beta ,a,b,r^{2}\in F$ per il lemma precedente. Sostituendo le coordinate di $(u,v)$$(u,v)$ nelle due equazioni ottengo
   $${\begin{cases}v=\alpha u+\beta \\(u-a)^{2}+(v-b)^{2}=r^{2}\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}v=\alpha u+\beta \\(u-a)^{2}+(v-b)^{2}=r^{2}\end{cases}}$$
   e sostituendo la prima equazione nella seconda ottengo
   $$(u-a)^{2}+(\alpha u+\beta -b)^{2}=r^{2}$$

   $$(u-a)^{2}+(\alpha u+\beta -b)^{2}=r^{2}$$
   Quest'equazione è di secondo grado e ha coefficienti in $F$$F$. Allora $|F(u):F|\leq 2$$|F(u):F|\leq 2$.Inoltre $v=\alpha u+\beta ,\,\longrightarrow v\in F(u)$$v=\alpha u+\beta ,\,\longrightarrow v\in F(u)$, si ha che $i\in F$$i\in F$, quindi $z=u+iv\in F(u)$$z=u+iv\in F(u)$, quindi $|F(z):F|\leq 2$$|F(z):F|\leq 2$.
3. $(u,v)$$(u,v)$ si ottiene come punto di intersezione di due circonferenze,
   $${\mathcal {C}}_{1}:x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$$

   $${\mathcal {C}}_{1}:x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$$
   $${\mathcal {C}}_{2}:x^{2}+y^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma =0$$

   $${\mathcal {C}}_{2}:x^{2}+y^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma =0$$
   Allora $(u,v)$$(u,v)$ soddisfa l'equazione ottenuta sottraendo ${\mathcal {C}}_{1}$${\mathcal {C}}_{1}$ a ${\mathcal {C}}_{2}$${\mathcal {C}}_{2}$, cioè
   $$(a-\alpha )x+(b-\beta )y+c-\gamma =0$$

   $$(a-\alpha )x+(b-\beta )y+c-\gamma =0$$
   che è l'equazione di una retta, e quindi ci si riconduce al caso 2.

 

Condizione necessaria e sufficiente per la costruibilità

Teorema 5.2

Un numero complesso $z\in \mathbb {C}$$z\in \mathbb {C}$ è costruibile se e solo se esiste una catena di campi della forma $\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{r}$$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{r}$, dove $z\in K_{r}$$z\in K_{r}$, e $|K_{i+1}:K_{i}|\leq 2$$|K_{i+1}:K_{i}|\leq 2$.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Supponiamo che $z$$z$ sia costruibile, allora esiste una successione

$$0,\,1,\,z_{1}=i,\,z_{2},\dots ,z_{s}=z$$

$$0,\,1,\,z_{1}=i,\,z_{2},\dots ,z_{s}=z$$

dove gli $z_{i}$$z_i$ sono numeri complessi tali che $z_{i+1}$$z_{i+1}$ si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti $0,1,z_{1},\dots ,z_{i}$$0,1,z_{1},\dots ,z_{i}$.
Definiamo

$$E_{0}=F_{0}:=\mathbb {Q}$$

$$E_{0}=F_{0}:=\mathbb {Q}$$

$$E_{1}=F_{1}:=\mathbb {Q} (i).$$

$$E_{1}=F_{1}:=\mathbb {Q} (i).$$

$$Supponendo\,di\,aver\,definito\,E_{i},\,definiamo$$

$$Supponendo\,di\,aver\,definito\,E_{i},\,definiamo$$

$$F_{i+1}=E_{i}(z_{i+1});\;E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})$$

$$F_{i+1}=E_{i}(z_{i+1});\;E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})$$

Supponiamo di aver dimostrato che $E_{i}$$E_i$ contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che

1. $|F_{i+1}:E_{i}|\leq 2$$|F_{i+1}:E_{i}|\leq 2$
2. $|E_{i+1}:F_{i+1}|\leq 2$$|E_{i+1}:F_{i+1}|\leq 2$
3. anche $E_{i+1}$$E_{i+1}$ soddisfa le proprietà 1 e 2.

L'affermazione $I)$$I)$ è vera perché $E_{i}$$E_i$ e $z_{i+1}$$z_{i+1}$ soddisfano le ipotesi del lemma 2. L'unita' immaginaria $i$$i$ è contenuta in ogni $E_{j}$$E_{j}$. Per dimostrare le affermazioni I) e II) distinguiamo due casi:

• $Z_{i+1}\in E_{i}$$Z_{i+1}\in E_{i}$, e quindi $F_{i+1}=E_{i}(z_{i+1})=E_{i}$$F_{i+1}=E_{i}(z_{i+1})=E_{i}$. Per ipotesi, $E_{i}$$E_i$ è chiuso per coniugio, quindi ${\bar {z}}_{i+1}\in E_{i}$${\bar {z}}_{i+1}\in E_{i}$, segue anche che $E_{i+1}=E_{i}$$E_{i+1}=E_{i}$; per quest'ultimo fatto, ovviamente si ha $|E_{i+1}:F_{i+1}|=1\leq 2$$|E_{i+1}:F_{i+1}|=1\leq 2$ e $E_{i+1}$$E_{i+1}$ soddisfa le proprietà 1 e 2, e valgono quindi le affermazioni II) e III).
• $Z_{I+1}$$Z_{I+1}$ HA GRADO 2 SU $E_{I}$$E_{I}$, segue che $z_{i+1}$$z_{i+1}$ ha un polinomio minimo della forma $x^{2}+\alpha x+\beta \in E_{i}[x]$$x^{2}+\alpha x+\beta \in E_{i}[x]$, cioè $z_{i+1}$$z_{i+1}$ risolve l'equazione $z^{2}+\alpha z+\beta =0$$z^{2}+\alpha z+\beta =0$. Passando ai coniugati, segue che ${\bar {z}}_{i+1}$${\bar {z}}_{i+1}$ è radice del polinomio $z^{2}+{\bar {\alpha }}z+{\bar {\beta }}$$z^{2}+{\bar {\alpha }}z+{\bar {\beta }}$ a coefficienti in $E_{i}[x]$$E_{i}[x]$, e quindi anche in $F_{i+1}[x]$$F_{i+1}[x]$. Allora rimane vero che $|E_{i+1}:F_{i+1}|\leq 2$$|E_{i+1}:F_{i+1}|\leq 2$, perché $E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})$$E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})$, e vale l'affermazione II).

La chiusura per coniugio di $E_{i+1}$$E_{i+1}$ segue dal fatto che

$$E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})=E_{i}(z_{i+1},{\bar {z}}_{i+1})$$

$$E_{i+1}=F_{i+1}({\bar {z}}_{i+1})=E_{i}(z_{i+1},{\bar {z}}_{i+1})$$

quindi, un generico elemento di $E_{i+1}$$E_{i+1}$ è della forma

$$(\alpha +\beta z_{i+1})+(\gamma +\delta z_{i+1}){\bar {z}}_{i+1},\;\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma \in E_{i}$$

$$(\alpha +\beta z_{i+1})+(\gamma +\delta z_{i+1}){\bar {z}}_{i+1},\;\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma \in E_{i}$$

e quindi anche il coniugato di questo elemento sta ancora in $E_{i+1}$$E_{i+1}$ (${\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},{\bar {\delta }},{\bar {\gamma }}$${\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},{\bar {\delta }},{\bar {\gamma }}$ stanno ancora in $E_{i}$$E_i$ perché $E_{i}$$E_i$ è chiuso rispetto al coniugio).

Provando le affermazioni I), II), e III) abbiamo costruito una catena di estensioni

$$E_{0}=F_{0}=\mathbb {Q} \subseteq E_{1}=F_{1}=\mathbb {Q} (i)\subseteq F_{2}\subseteq E_{2}\subseteq F_{3}\subseteq E_{3}\subseteq \dots \subseteq F_{t}\subseteq E_{t}$$

$$E_{0}=F_{0}=\mathbb {Q} \subseteq E_{1}=F_{1}=\mathbb {Q} (i)\subseteq F_{2}\subseteq E_{2}\subseteq F_{3}\subseteq E_{3}\subseteq \dots \subseteq F_{t}\subseteq E_{t}$$

come nell'enunciato.
$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: viceversa, dobbiamo dimostrare che se esiste una catena di campi

$$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{r}$$

$$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{r}$$

dove $z\in K_{r}$$z\in K_{r}$ e $|K_{i+1}:K_{i}|\leq 2$$|K_{i+1}:K_{i}|\leq 2$ allora $z$$z$ è costruibile.

Basta dimostrare il seguente fatto: se $F$$F$ è un sottocampo di $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$, tutti gli elementi di $F$$F$ sono costruibili ed esiste $E$$E$ tale che $|E:F|=2$$|E:F|=2$, allora tutti gli elementi di $E$$E$ sono costruibili. Vogliamo quindi mostrare che ogni $\alpha \in E\smallsetminus F$$\alpha \in E\smallsetminus F$ è costruibile. Siccome $|E:F|=2$$|E:F|=2$, dato $\alpha \in E\smallsetminus F$$\alpha \in E\smallsetminus F$, segue che $F(\alpha )=E$$F(\alpha )=E$, e $\alpha$$\alpha$ sarà lo zero di un polinomio della forma $x^{2}+bx+c$$x^{2}+bx+c$ a coefficienti in $F$$F$. Posto $\Delta =b^{2}-4c$$\Delta =b^{2}-4c$, si ha $\delta \in F$$\delta \in F$ e $\alpha ={\frac {-b\pm {\sqrt {\delta }}}{2}}$$\alpha ={\frac {-b\pm {\sqrt {\delta }}}{2}}$, e $\alpha$$\alpha$ è costruibile se ${\sqrt {\delta }}$${\sqrt {\delta }}$ è costruibile, quindi non è restrittivo supporre che $\alpha ^{2}\in F$$\alpha ^{2}\in F$. Pongo $\alpha ^{2}=a$$\alpha ^{2}=a$, e mostriamo che ${\sqrt {a}}$${\sqrt {a}}$ è costruibile. Distinguiamo due casi:

CASO 1: $A\in \mathbb {R} ,A>0$$A\in \mathbb {R} ,A>0$. Allora ${\sqrt {a}}$${\sqrt {a}}$ è costruibile con le seguenti operazioni:

• traccio la circonferenza ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ con centro in $((a+1)/2,0)$$((a+1)/2,0)$ passante per $(0,0)$$(0,0)$;
• costruisco la retta ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ passante per $(1,0)$$(1,0)$ e parallela all'asse delle y (per fissare le idee suppongo che $(a+1)/2>1$$(a+1)/2>1$).
• chiamo $P$$P$ il punto di intersezione tra ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ ed ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ di ascissa positiva, e ne determino le coordinate.

${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ ha equazione

$$(x-(a+1)/2)^{2}+y^{2}=((a+1)/2)^{2}$$

$$(x-(a+1)/2)^{2}+y^{2}=((a+1)/2)^{2}$$

e ponendo $r=(a+1)/2$$r=(a+1)/2$:

$$(x-r)^{2}+y^{2}=r^{2}$$

$$(x-r)^{2}+y^{2}=r^{2}$$

$$x^{2}+r^{2}-2rx+y^{2}=r^{2}$$

$$x^{2}+r^{2}-2rx+y^{2}=r^{2}$$

e il punto di intersezione tra ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ e la retta ${\mathcal {R}}:x=1$${\mathcal {R}}:x=1$ ottengo

$$y^{2}=2r-1,\,\longrightarrow y^{+}={\sqrt {2r-1}}={\sqrt {2(a+1)/2-1}}={\sqrt {a}}$$

$$y^{2}=2r-1,\,\longrightarrow y^{+}={\sqrt {2r-1}}={\sqrt {2(a+1)/2-1}}={\sqrt {a}}$$

$P$$P$ ha coordinate $(1,{\sqrt {a}})$$(1,{\sqrt {a}})$.

• costruisco la retta ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ passante per $P$$P$ e parallela all'asse x.
• il punto di intersezione tra ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ e l'asse y ha coordinate $(0,{\sqrt {a}})$$(0,{\sqrt {a}})$.

CASO 2: $A\in \mathbb {C}$$A\in \mathbb {C}$, cioè $a=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$a=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. ${\sqrt {a}}$${\sqrt {a}}$ è costruibile con le seguenti operazioni:

• considero la circonferenza ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ centrata nell'origine e passante per $P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ (posso farlo perché per ipotesi $a\in F$$a\in F$).
• chiamo $Q$$Q$ il punto di intersezione tra ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ e l'asse x, cioè $Q=(r,0)$$Q=(r,0)$.
• chiamo ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ la retta passante per $Q$$Q$ e $P$$P$.
• Traccio la retta ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ ortogonale a ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ passante per il punto medio tra $P$$P$ e $Q$$Q$.
• ho individuato il punto $T$$T$ intersezione di ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ ed ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$, che ha coordinate $(r\cos(\theta /2),\,r\sin(\theta /2))$$(r\cos(\theta /2),\,r\sin(\theta /2))$ cioe'$re^{i\theta /2}$$re^{i\theta /2}$e' costruibile.

Osservo che ${\sqrt {a}}={\sqrt {r}}e^{i\theta /2}$${\sqrt {a}}={\sqrt {r}}e^{i\theta /2}$, e siccome abbiamo appena mostrato che $b=re^{i\theta /2}$$b=re^{i\theta /2}$ è costruibile, allora possiamo costruire $a=1/{\sqrt {r}}*b$$a=1/{\sqrt {r}}*b$ dove ${\sqrt {r}}$${\sqrt {r}}$ è costruibile per il caso 1.

 

Corollario 5.2

Sia $z\in \mathbb {C}$$z\in \mathbb {C}$, se $z$$z$ è costruibile allora $|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |=2^{n}$$|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |=2^{n}$ con $n\geq 0$$n\geq 0$.

 

Dimostrazione

Se $z$$z$ è costruibile, esiste un campo $K_{r}\supseteq \mathbb {Q}$$K_{r}\supseteq \mathbb {Q}$ con $z\in K_{r}$$z\in K_{r}$ e $|K_{r}:\mathbb {Q} |=2^{s}$$|K_{r}:\mathbb {Q} |=2^{s}$. Siccome $K_{r}\supseteq \mathbb {Q} (z)\supseteq \mathbb {Q}$$K_{r}\supseteq \mathbb {Q} (z)\supseteq \mathbb {Q}$, $|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |\mid 2^{s}$$|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |\mid 2^{s}$ e quindi è una potenza di 2.

 

Tre problemi classici

Discutiamo i seguenti problemi classici:

1. QUADRATURA DEL CERCHIO: si vuole costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato.Assumiamo che il cerchio abbia raggio 1, allora per risolvere il problema bisognerebbe costruire con riga e compasso ${\sqrt {\pi }}$${\sqrt {\pi }}$. Questo non e' possibile perché ${\sqrt {\pi }}$${\sqrt {\pi }}$ è trascendente su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, mentre per la proposizione precedente $z$$z$ è costruibile solo se $|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |=2^{n},\,n\geq 0$$|\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} |=2^{n},\,n\geq 0$.
2. DUPLICAZIONE DEL CUBO: costruire con riga e compasso un cubo di volume doppio del volume di un cubo dato. Assumiamo che il cubo dato abbia lato 1, allora bisognerebbe costruire con riga e compasso ${\sqrt[{3}]{2}}$${\sqrt[{3}]{2}}$, ma ${\sqrt[{3}]{2}}$${\sqrt[{3}]{2}}$ ha grado 3 su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, e quindi non è costruibile perché non soddisfa le ipotesi del corollario.
3. TRISEZIONE DELL'ANGOLO DI $\pi /3$$\pi /3$: costruire un angolo pari a un terzo di quello dato. Posso costruire $\cos(\pi /3)+i\sin(\pi /3)=1/2+i{\sqrt {3}}/2$$\cos(\pi /3)+i\sin(\pi /3)=1/2+i{\sqrt {3}}/2$ con le seguenti operazioni:#*costruisco la circonferenza di centro l'origine e raggio 1;#*costruisco la retta ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ passante per $(1/2,0)$$(1/2,0)$ e parallela all'asse y.#*il punto $(1/2,{\sqrt {3}}/2)$$(1/2,{\sqrt {3}}/2)$ è uno dei punti di intersezione tra ${\mathcal {C}}$$\mathcal C$ e ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$.Tuttavia non posso costruire $e^{i\pi /9}$$e^{i\pi /9}$, perché questa è una radice primitiva 18-esima dell'unità, il cui polinomio minimo ha grado $\varphi (18)=6$$\varphi (18)=6$, e non è una potenza di 2.

Costruzione di poligoni regolari

Teorema 5.3

Sia $p>2$$p>2$ un numero primo, allora il poligono regolare con $p$$p$ lati è costruibile se e solo se $p$$p$ è della forma $2^{2^{s}}+1$$2^{2^{s}}+1$, $s\in \mathbb {N}$$s\in \mathbb {N}$.

 

Dimostrazione

Il poligono regolare con $p$$p$ lati è costruibile se e solo se è costruibile una radice primitiva $p$$p$-esima dell'unità.

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: per ipotesi, la radice primitiva $\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)=e^{i2\pi /p}$$\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)=e^{i2\pi /p}$ è costruibile, allora $|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=2^{m},\,m\in \mathbb {N}$$|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=2^{m},\,m\in \mathbb {N}$ per il corollario. Inoltre $\omega$$\omega$ ha come polinomio minimo $\phi _{p}(x)$$\phi _{p}(x)$ e ${\rm {{gr}(\phi _{p}(x))=\varphi (p)=p-1}}$${\rm {{gr}(\phi _{p}(x))=\varphi (p)=p-1}}$, quindi $|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=p-1$$|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=p-1$. Eguagliando le due espressioni di $|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |$$|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |$ segue quindi che $p-1=2^{m}$$p-1=2^{m}$, cioè $p=2^{m}+1$$p=2^{m}+1$. Proviamo che $m=2^{s}$$m=2^{s}$.

Se $m$$m$ non è una potenza di 2, potrò scrivere $m=k*l$$m=k*l$ con $k$$k$ numero dispari. Il polinomio $x^{k}+1$$x^{k}+1$ ammette $-1$$-1$ come radice quindi

$$x^{k}+1=(x+1)*f(x),\;f(x)\in \mathbb {Z} [x]$$

$$x^{k}+1=(x+1)*f(x),\;f(x)\in \mathbb {Z} [x]$$

$$\longrightarrow \,p=2^{m}+1=2^{kl}+1=(2^{l})^{k}+1=(2^{l}+1)*f(2^{l})$$

$$\longrightarrow \,p=2^{m}+1=2^{kl}+1=(2^{l})^{k}+1=(2^{l}+1)*f(2^{l})$$

ma questo contraddice il fatto che $p$$p$ sia primo. Rimane provato che $m$$m$ è una potenza di 2.

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: per ipotesi $p=2^{2^{s}}+1$$p=2^{2^{s}}+1$, considero $\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$ con $\omega$$\omega$ radice primitiva $p$$p$-esima dell'unità. Il gruppo ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$ è abeliano di ordine $2^{2^{s}}$$2^{2^{s}}$ (anzi ciclico perché $p$$p$ è primo). Allora esiste una catena di sottogruppi $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\dots \supseteq G_{s}=1$$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\dots \supseteq G_{s}=1$, dove $G_{i+1}$$G_{i+1}$ è normale in $G_{i}$$G_{i}$ e $o(G_{i}/G_{i+1})=2$$o(G_{i}/G_{i+1})=2$. Per il teorema della corrispondenza di Galois, considerando i campi intermedi $(G_{i})'$$(G_{i})'$, trovo una catena di campi $\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \dots \subseteq K_{r}=\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \dots \subseteq K_{r}=\mathbb {Q} (\omega )$ con $|K_{i+1}:K_{i}|=2$$|K_{i+1}:K_{i}|=2$, e questo significa che $\omega$$\omega$ è costruibile per il teoerma che fornisce un criterio per la costruibilita' (il primo teorema della sezione).

 

Più in generale, se considero un poligono regolare con $n$$n$ lati, esso è costruibile se è costruibile una radice $n$$n$-esima primitiva dell'unità $\omega$$\omega$, e $\omega$$\omega$ ha grado $\varphi (n)$$\varphi (n)$ sopra $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$. Ora $\omega$$\omega$ è costruibile se e solo se $n=2^{k}*p_{1}*p_{2}*\dots *p_{s}$$n=2^{k}*p_{1}*p_{2}*\dots *p_{s}$, dove $p_{i}\neq p_{j}$$p_{i}\neq p_{j}$ per $i\neq j$$i \neq j$ e $p_{i}=2^{2^{s_{i}}}+1$$p_{i}=2^{2^{s_{i}}}+1$.