Teorema dell'elemento primitivo

Teorema 6.1 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.

 

Risultato preliminare

Per la dimostrazione serve il seguente risultato preliminare:

Proposizione 6.1

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di grado finito. Allora $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra $K$$K$ e $M$$M$.

 

Dimostrazione

Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra $K$$K$ e $M$$M$: distinguiamo i due casi seguenti.

CASO 1: $K$$K$ FINITO. Se $K$$K$ è finito, anche $M$$M$ è finito, allora $M^{*}=\langle \alpha \rangle$$M^{*}=\langle \alpha \rangle$ quindi $M=K(\alpha )$$M=K(\alpha )$, cioè $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è semplice.

CASO 2: $K$$K$ INFINITO. Sia $\alpha \in M$$\alpha \in M$ un elemento di grado massimo su $K$$K$. Vogliamo provare che $M=K(\alpha )$$M=K(\alpha )$. Supponiamo per assurdo che $K(\alpha )\subset M$$K(\alpha )\subset M$, allora posso prendere $\beta \in M,\beta \notin K(\alpha )$$\beta \in M,\beta \notin K(\alpha )$ e considerare la famiglia di campi intermedi $\{K(\alpha +c\beta )\}_{c\in K}$$\{K(\alpha +c\beta )\}_{c\in K}$. Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha $K(\alpha +k\beta )=K(\alpha +h\beta )$$K(\alpha +k\beta )=K(\alpha +h\beta )$ per certi $h,k\in K$$h,k\in K$, $h\neq k$$h\neq k$.

Quindi $K(\alpha +h\beta )$$K(\alpha +h\beta )$ contiene $\alpha +h\beta$$\alpha +h\beta$ e $\alpha +k\beta$$\alpha +k\beta$, e deve contenere anche la loro differenza, $(h-k)*\beta$$(h-k)*\beta$. Ma $h-k\neq 0\in K$$h-k\neq 0\in K$ quindi $\beta \in K(\alpha +h\beta )$$\beta \in K(\alpha +h\beta )$, e siccome $\alpha =(\alpha +k\beta )-k\beta$$\alpha =(\alpha +k\beta )-k\beta$, anche $\alpha$$\alpha$ sta in $K(\alpha +h\beta )$$K(\alpha +h\beta )$. Allora $|K(\alpha +h\beta :K|>|K(\alpha ):K|$$|K(\alpha +h\beta :K|>|K(\alpha ):K|$, assurdo perché $\alpha$$\alpha$ era stato scelto di grado massimo su $M$$M$.

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: viceversa, sia $M=K(\alpha )$$M=K(\alpha )$, considero un campo intermedio $L$$L$ tra $K$$K$ ed $M$$M$. Sia $f(x)$$f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $K$$K$, e $g(x)$$g(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $L$$L$. $g(x)$$g(x)$ è monico, della forma $x^{r}+a_{1}x^{r-1}+\dots +a_{r},\,a_{i}\in L$$x^{r}+a_{1}x^{r-1}+\dots +a_{r},\,a_{i}\in L$. Considero il campo $K(a_{1},\dots ,a_{r})$$K(a_{1},\dots ,a_{r})$. Siccome $a_{i}\in L$$a_{i}\in L$ per ogni $i$$i$, $K(a_{1},\dots ,a_{r})\subseteq L$$K(a_{1},\dots ,a_{r})\subseteq L$ e posso considerare la catena di estensioni $M\supseteq L\supseteq K(a_{1},\dots ,a_{r})\supseteq K$$M\supseteq L\supseteq K(a_{1},\dots ,a_{r})\supseteq K$. Mostro che $|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|=r=|M:L|$$|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|=r=|M:L|$.

1. $|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\geq r$$|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\geq r$, infatti $|M:L|={\rm {{gr}(g(x))=r}}$$|M:L|={\rm {{gr}(g(x))=r}}$, e siccome $K(a_{1},\dots ,a_{r})\subseteq L$$K(a_{1},\dots ,a_{r})\subseteq L$, $|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\geq |M:L|$$|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\geq |M:L|$.
2. $|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\leq r$$|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\leq r$, infatti $g(x)\in K(a_{1},\ldots ,a_{r})[x]$$g(x)\in K(a_{1},\ldots ,a_{r})[x]$ e $g(\alpha )=0$$g(\alpha )=0$ quindi $|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\leq r$$|M:K(a_{1},\dots ,a_{r})|\leq r$.

cioè dalle due disuguaglianze segue che $L=K(a_{1},\dots ,a_{r})$$L=K(a_{1},\dots ,a_{r})$.

Ma $g(x)$$g(x)$ è anche un fattore di $f(x)$$f(x)$, e se penso a $f(x)$$f(x)$ in un suo campo di spezzamento, esso è della forma $\prod _{i}(x-\alpha _{i})$$\prod _{i}(x-\alpha _{i})$. Il polinomio $g(x)$$g(x)$ si ottiene come prodotto di alcuni $x-\alpha _{i}$$x-\alpha _{i}$, e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con $K(c_{1},\dots ,c_{r})$$K(c_{1},\dots ,c_{r})$ (dove i $c_{i}$$c_i$ sono i coefficienti di un fattore irriducibile di $f(x)$$f(x)$), esiste un numero finito di campi intermedi.

 

Teorema dell'elemento primitivo

Teorema 6.2 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito di un campo è semplice.

 

Dimostrazione

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione separabile di grado finito. Sia $N$$N$ la chiusura spezzante di $M$$M$ su $K$$K$, così $N\supseteq M\supseteq K$$N\supseteq M\supseteq K$. Siccome $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è separabile, $N$$N$ è anche la chiusura normale di $M$$M$ su $K$$K$, quindi $N\supseteq K$$N\supseteq K$ è normale, e posso considerare ${\mathcal {G}}(N/K)$${\mathcal {G}}(N/K)$ che è finito e ha un numero finito di sottogruppi. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, esiste un numero finito di campi intermedi tra $N$$N$ e $K$$K$: un campo intermedio tra $M$$M$ e $K$$K$ è anche un campo intermedio tra $N$$N$ e $K$$K$, e quindi esiste solo un numero finito di campi intermedi tra $M$$M$ e $K$$K$. Quindi $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è semplice per il risultato precedente.