Teorema 6.1 (teorema dell'elemento primitivo)
Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.
Per la dimostrazione serve il seguente risultato preliminare:
Proposizione 6.1
Sia
un'estensione di grado finito. Allora
è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra
e
.
Dimostrazione
- Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra
e
: distinguiamo i due casi seguenti.
CASO 1:
FINITO. Se
è finito, anche
è finito, allora
quindi
, cioè
è semplice.
CASO 2:
INFINITO. Sia
un elemento di grado massimo su
. Vogliamo provare che
. Supponiamo per assurdo che
, allora posso prendere
e considerare la famiglia di campi intermedi
. Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha
per certi
,
.
Quindi
contiene
e
, e deve contenere anche la loro differenza,
. Ma
quindi
, e siccome
, anche
sta in
. Allora
, assurdo perché
era stato scelto di grado massimo su
.
: viceversa, sia
, considero un campo intermedio
tra
ed
. Sia
il polinomio minimo di
su
, e
il polinomio minimo di
su
.
è monico, della forma
. Considero il campo
. Siccome
per ogni
,
e posso considerare la catena di estensioni
. Mostro che
.
, infatti
, e siccome
,
.
, infatti
e
quindi
.
cioè dalle due disuguaglianze segue che
.
Ma
è anche un fattore di
, e se penso a
in un suo campo di spezzamento, esso è della forma
. Il polinomio
si ottiene come prodotto di alcuni
, e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con
(dove i
sono i coefficienti di un fattore irriducibile di
), esiste un numero finito di campi intermedi.
Teorema 6.2 (teorema dell'elemento primitivo)
Ogni estensione separabile di grado finito di un campo è semplice.
Dimostrazione
Sia
un'estensione separabile di grado finito. Sia
la chiusura spezzante di
su
, così
. Siccome
è separabile,
è anche la chiusura normale di
su
, quindi
è normale, e posso considerare
che è finito e ha un numero finito di sottogruppi. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, esiste un numero finito di campi intermedi tra
e
: un campo intermedio tra
e
è anche un campo intermedio tra
e
, e quindi esiste solo un numero finito di campi intermedi tra
e
. Quindi
è semplice per il risultato precedente.