Definizione 6.5
Considero un anello
non necessariamente commutativo. Definisco una derivazione di
un'applicazione
tale che
,
,
.
Esempio 6.5
Sia
un anello e prendo
. Definisco l'applicazione
tale che
. La mappa
è una derivazione infatti:



Chiamo
l'insieme delle derivazioni
. Prendo
due derivazioni di
, definisco la somma
ponendo
.
Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto
![{\displaystyle [\delta ,\eta ]:=\delta \eta -\eta \delta }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f4a4e60a5305dcd4a9116760f3dd3db613d344b6)
e in particolare
mostro che ![{\displaystyle [\delta ,\eta ]\in Der(A)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/30335e7e2775d6db9935c177130893681845a8a1)
:
Dimostrazione
Mostro la proprietà 2:


sfrutto la linearità

applico la proprietà 2 a

e

:




Definizione 6.6
è un anello di Lie se
è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
- su
è definito un prodotto
che è additivo nelle due componenti, cioè
e
, e tale che
;
- per il prodotto vale l'identità di Jacobi, cioe':
![{\displaystyle [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0,\,\forall a,b,c\in L}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9cb1df0848e62f7ad150d2b58a222a8e1edde11e)
Proprietà 1: Sia
un anello commutativo, e
una derivazione di
, allora
.
Dimostrazione

e quindi

implica

.
Proprietà 2: dato

,

.
Dimostrazione
Procedo per induzione. Il passo base,
, vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per
e lo dimostro per
.

e applicando il passo induttivo al primo addendo:


Sia
un anello che sia una
-algebra con
campo, cioè
è un anello,
è uno spazio vettoriale su
e

Sia

un'applicazione che sia

-lineare, e tale che

dove

e' un insieme di generatori per

come spazio vettoriale su

.
Mostro che

è una derivazione di

.
Dimostrazione
Definisco due applicazioni
tali che:



e

sono

-lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati

,

, segue che

Fissato

si ha che

per linearita' e perche'

in

.
Analogamente, fissato

, si ha

.
Allora

in

.
Teorema 6.9
Sia
un campo e considero l'anello dei polinomi
. Allora esiste un'unica
-derivazione di
,
, con
, e tale che

Dimostrazione
Mostriamo l'esistenza della derivazione. Una base
per
è data da
. Se
, per le proprietà dimostrate prima si ha

Per mostrare che

è una

-derivazione, oltre a estenderla per linearità su
![{\displaystyle F[x]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/39bc9f9d8679fc385df3bccf9694283b796f3216)
, per l'osservazione precedente
basta mostrare che 
. Questo è vero infatti


Per mostrare l'unicità, basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi

, allora

e

.
L'azione di

sui polinomi segue per linearità.