Derivazioni

Definizione 6.5

Considero un anello $A$$A$ non necessariamente commutativo. Definisco una derivazione di $A$$A$ un'applicazione $\delta :A\to A$$\delta :A\to A$ tale che $\forall x,y\in A$$\forall x,y\in A$,

1. $\delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)$$\delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)$,
2. $\delta (xy)=x*\delta (y)+\delta (x)*y$$\delta (xy)=x*\delta (y)+\delta (x)*y$.

 

Esempio 6.5

Sia $A$$A$ un anello e prendo $a\in A$$a\in A$. Definisco l'applicazione $\delta _{a}:A\to A$$\delta _{a}:A\to A$ tale che $\delta _{a}(x)=xa-ax$$\delta _{a}(x)=xa-ax$. La mappa $\delta$$\delta$ è una derivazione infatti:

1. $\delta _{a}(x+y)=(x+y)a-a(x+y)=xa+ya-ax-ay=(xa-ax)+(ya-ay)=\delta _{a}(x)+\delta _{a}(y).$$\delta _{a}(x+y)=(x+y)a-a(x+y)=xa+ya-ax-ay=(xa-ax)+(ya-ay)=\delta _{a}(x)+\delta _{a}(y).$
2. $$x*\delta _{a}(y)+\delta _{a}(x)*y=x*(ya-ay)+(xa-ax)*ay=xya-xay+xay-axy$$

   $$x*\delta _{a}(y)+\delta _{a}(x)*y=x*(ya-ay)+(xa-ax)*ay=xya-xay+xay-axy$$
   $$=xya-axy=\delta _{a}(xy)$$

   $$=xya-axy=\delta _{a}(xy)$$

 

Chiamo $Der(A)$$Der(A)$ l'insieme delle derivazioni $\delta :A\to A$$\delta :A\to A$. Prendo $\delta ,\eta$$\delta ,\eta$ due derivazioni di $A$$A$, definisco la somma $\delta +\eta :A\to A$$\delta +\eta :A\to A$ ponendo $x\mapsto \delta (x)+\eta (x)$$x\mapsto \delta (x)+\eta (x)$.

Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto

$$[\delta ,\eta ]:=\delta \eta -\eta \delta$$

$$[\delta ,\eta ]:=\delta \eta -\eta \delta$$

e in particolare mostro che $[\delta ,\eta ]\in Der(A)$$[\delta ,\eta ]\in Der(A)$:

Dimostrazione

Mostro la proprietà 2:

$$(\delta \eta -\eta \delta )(xy)=\delta \eta (xy)-\eta \delta (xy)$$

$$(\delta \eta -\eta \delta )(xy)=\delta \eta (xy)-\eta \delta (xy)$$

$$=\delta (x\eta (y)+\eta (x)y)-\eta (x\delta (y)+\delta (x)y)$$

$$=\delta (x\eta (y)+\eta (x)y)-\eta (x\delta (y)+\delta (x)y)$$

sfrutto la linearità

$$=\delta (x\eta (y))+\delta (\eta (x)y)-\eta (x\delta (y))-\eta (\delta (x)y)$$

$$=\delta (x\eta (y))+\delta (\eta (x)y)-\eta (x\delta (y))-\eta (\delta (x)y)$$

applico la proprietà 2 a $\delta$$\delta$ e $\eta$$\eta$:

$$=\delta (x)\eta (y)+x\delta \eta (y)+\delta \eta (x)y+\eta (x)\delta (y)-\eta (x)\delta (y)-x\eta (\delta (y))-\eta \delta (x)y-\delta (x)\eta (y)$$

$$=\delta (x)\eta (y)+x\delta \eta (y)+\delta \eta (x)y+\eta (x)\delta (y)-\eta (x)\delta (y)-x\eta (\delta (y))-\eta \delta (x)y-\delta (x)\eta (y)$$

$$=x\delta \eta (y)+\delta \eta (x)y-x\eta (\delta (y))-\eta \delta (x)y$$

$$=x\delta \eta (y)+\delta \eta (x)y-x\eta (\delta (y))-\eta \delta (x)y$$

$$=x(\delta \eta (y)-\eta \delta (y))+(\delta \eta (x)-\eta \delta (x))y$$

$$=x(\delta \eta (y)-\eta \delta (y))+(\delta \eta (x)-\eta \delta (x))y$$

$$=x*(\delta \eta -\eta \delta )(y)+(\delta \eta -\eta \delta )(x)y$$

$$=x*(\delta \eta -\eta \delta )(y)+(\delta \eta -\eta \delta )(x)y$$

 

Definizione 6.6

$L$$L$ è un anello di Lie se

1. $L$$L$ è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
2. su $L$$L$ è definito un prodotto $[*,*]:L\times L\to L$$[*,*]:L\times L\to L$ che è additivo nelle due componenti, cioè $[a,b+c]=[a,b]+[a,c]$$[a,b+c]=[a,b]+[a,c]$ e $[a+b,c]=[a,b]+[b,c]$$[a+b,c]=[a,b]+[b,c]$, e tale che $[a,a]=0$$[a,a]=0$;
3. per il prodotto vale l'identità di Jacobi, cioe':
   $$[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0,\,\forall a,b,c\in L$$

   $$[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0,\,\forall a,b,c\in L$$

 

Proprietà delle derivazioni

Proprietà 1: Sia $A$$A$ un anello commutativo, e $\delta$$\delta$ una derivazione di $A$$A$, allora $\delta (1)=0$$\delta (1)=0$.

Dimostrazione

$$\delta (1)=\delta (1*1)=1*\delta (1)+\delta (1)*1=2*\delta (1)$$

$$\delta (1)=\delta (1*1)=1*\delta (1)+\delta (1)*1=2*\delta (1)$$

e quindi $\delta (1)=2\delta (1)$$\delta (1)=2\delta (1)$ implica $\delta (1)=0$$\delta (1)=0$.

 

Proprietà 2: dato $a\in A$$a\in A$, $\delta (a^{n})=n*a^{n-1}*\delta (a)$$\delta (a^{n})=n*a^{n-1}*\delta (a)$.

Dimostrazione

Procedo per induzione. Il passo base, $\delta (1)=0$$\delta (1)=0$, vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per $n-1$$n-1$ e lo dimostro per $n$$n$.

$$\delta (a^{n})=\delta (a*a^{n-1})=a*\delta (a^{n-1})+a^{n-1}*\delta (a)$$

$$\delta (a^{n})=\delta (a*a^{n-1})=a*\delta (a^{n-1})+a^{n-1}*\delta (a)$$

e applicando il passo induttivo al primo addendo:

$$=a*(n-1)*a^{n-2}*\delta (a)+a^{n-1}\delta (a)$$

$$=a*(n-1)*a^{n-2}*\delta (a)+a^{n-1}\delta (a)$$

$$=(n-1)*a^{n-1}*\delta (a)+a^{n-1}\delta (a)=n*a^{n-1}\delta (a)$$

$$=(n-1)*a^{n-1}*\delta (a)+a^{n-1}\delta (a)=n*a^{n-1}\delta (a)$$

 

Derivazione sullo spazio dei polinomi

Sia $A$$A$ un anello che sia una $F$$F$-algebra con $F$$F$ campo, cioè $A$$A$ è un anello, $A$$A$ è uno spazio vettoriale su $F$$F$ e

$$(\lambda a)*b=a*(\lambda b)=\lambda *(ab),\,\forall \lambda \in F,\,\forall a,b\in A.$$

$$(\lambda a)*b=a*(\lambda b)=\lambda *(ab),\,\forall \lambda \in F,\,\forall a,b\in A.$$

Sia $\delta :A\to A$$\delta :A\to A$ un'applicazione che sia $F$$F$-lineare, e tale che

$$\delta (uv)=u*\delta (v)+\delta (u)*v,\,\forall u,v\in B,$$

$$\delta (uv)=u*\delta (v)+\delta (u)*v,\,\forall u,v\in B,$$

dove $B$$B$e' un insieme di generatori per $A$$A$ come spazio vettoriale su $F$$F$. Mostro che $\delta$$\delta$ è una derivazione di $A$$A$.

Dimostrazione

Definisco due applicazioni $\alpha ,\beta :A\times A\to A$$\alpha ,\beta :A\times A\to A$ tali che:

$$\alpha (u,v):=\delta (uv)$$

$$\alpha (u,v):=\delta (uv)$$

$$\beta (u,v):=u\delta (v)+\delta (u)v$$

$$\beta (u,v):=u\delta (v)+\delta (u)v$$

$\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ sono $F$$F$-lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati $u,v,w\in A$$u,v,w\in A$, $\lambda ,\mu \in F$$\lambda ,\mu \in F$, segue che

$$\alpha (u,\lambda v+\mu w)=\delta (u*(\lambda v+\mu w))=\delta (\lambda (uv)+\mu (uw))=\lambda \delta (uv)+\mu \delta (uw)=\lambda \alpha (u,v)+\mu \alpha (u,w).$$

$$\alpha (u,\lambda v+\mu w)=\delta (u*(\lambda v+\mu w))=\delta (\lambda (uv)+\mu (uw))=\lambda \delta (uv)+\mu \delta (uw)=\lambda \alpha (u,v)+\mu \alpha (u,w).$$

Fissato $u\in B$$u\in B$ si ha che $\alpha (u,w)=\beta (u,w),\;\forall w\in A$$\alpha (u,w)=\beta (u,w),\;\forall w\in A$ per linearita' e perche'$\delta (uv)=u*\delta (v)+\delta (u)*v$$\delta (uv)=u*\delta (v)+\delta (u)*v$ in $B\times B$$B\times B$. Analogamente, fissato $v\in B$$v\in B$, si ha $\alpha (w,v)=\beta (w,v),\;\forall w\in A$$\alpha (w,v)=\beta (w,v),\;\forall w\in A$. Allora $\alpha =\beta$$\alpha =\beta$ in $A\times A$$A\times A$.

 

Teorema 6.9

Sia $F$$F$ un campo e considero l'anello dei polinomi $F[x]$$F[x]$. Allora esiste un'unica $F$$F$-derivazione di $F[x]$$F[x]$, $\delta$$\delta$, con $\delta (x)=1$$\delta (x)=1$, e tale che

$$\delta (\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i})=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$$

$$\delta (\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i})=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$$

 

Dimostrazione

Mostriamo l'esistenza della derivazione. Una base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ per $F[x]$$F[x]$ è data da $\{x^{i}\}_{i\geq 0}$$\{x^{i}\}_{i\geq 0}$. Se $\delta (x)=1$$\delta (x)=1$, per le proprietà dimostrate prima si ha

$$\delta (1)=0,\,\delta (x^{i})=ix^{i-1},\;\forall i\geq 1$$

$$\delta (1)=0,\,\delta (x^{i})=ix^{i-1},\;\forall i\geq 1$$

Per mostrare che $\delta$$\delta$ è una $F$$F$-derivazione, oltre a estenderla per linearità su $F[x]$$F[x]$, per l'osservazione precedente basta mostrare che $\delta (x^{i}*x^{j})=x^{i}*\delta (x^{j})+\delta (x^{i})*x^{j}$$\delta (x^{i}*x^{j})=x^{i}*\delta (x^{j})+\delta (x^{i})*x^{j}$. Questo è vero infatti

$$\delta (x^{i}*x^{j})=\delta (x^{i+j})=(i+j)x^{i+j-1}$$

$$\delta (x^{i}*x^{j})=\delta (x^{i+j})=(i+j)x^{i+j-1}$$

$$x^{i}*\delta (x^{j})+\delta (x^{i})*x^{j}=j*x^{i}*x^{j-1}+ix^{i}x^{j-1}=(i+j)*x^{i+j-1}$$

$$x^{i}*\delta (x^{j})+\delta (x^{i})*x^{j}=j*x^{i}*x^{j-1}+ix^{i}x^{j-1}=(i+j)*x^{i+j-1}$$

Per mostrare l'unicità, basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi $\delta (x)=1$$\delta (x)=1$, allora

$$\delta (x^{i})=ix^{i-1}\delta (x)=ix^{i-1}$$

$$\delta (x^{i})=ix^{i-1}\delta (x)=ix^{i-1}$$

e $\delta (1)=0$$\delta (1)=0$.
L'azione di $\delta$$\delta$ sui polinomi segue per linearità.