Teoremi di Sylow

Proposizione introduttiva[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (230)

Sia un gruppo finito di ordine e sia un primo tale che , per qualche (sia un divisore primo dell'ordine del gruppo). Denotiamo con il numero dei sottogruppi di di ordine . Allora è congruo a modulo ed è maggiore di .

 
Dimostrazione

Cardinalità di : Sia l'insieme di tutti i sottoinsiemi tali che . La cardinalità di è data da .


Consideriamo l'azione di su definita da .


Si può verificare che valgono le proprietà di azione.


Quest'azione dà luogo a una partizione in -orbite dei sottoinsiemi. In ciascuna orbita si può scegliere un rappresentante.


Sia un insieme completo di rappresentanti per le -orbite sull'insieme . Allora per l'equazione delle orbite .


Stabilizzatore: Poniamo (lo stabilizzatore di in ).


Allora poiché , sicuramente è unione insiemistica di laterali destri del sottogruppo , infatti:

Sia , . Ne segue che l'ordine di che è è uguale a , da cui è un divisore di ed è .


Se , allora la cardinalità dell'orbita è uguale al rapporto tra l'ordine di e l'ordine dello stabilizzatore . Quindi si ha:

. (è divisibile per ).


Invece se si ha

Possiamo eliminare dalla 1 i termini congrui a modulo ottenendo:
dove sono le orbite di lunghezza .

 


Osservazione (231)

Se prendo un'orbita di lunghezza , allora e quindi l'ordine dello stabilizzatore è (lo stabilizzatore ha ordine uguale al numero delle orbite). Il sottogruppo e il sottoinsieme hanno lo stesso ordine.

 



Sottogruppo coniugato: e quindi (deriva dalla relazione ). Quindi c'è un solo laterale e . Segue che . Siccome è un sottogruppo, questo è il coniugato di mediante . Ho un sottogruppo di di ordine contenuto nell'orbita , che chiamo .


Biezione tra orbite e laterali: Quindi cioè l'orbita è unione dei laterali sinistri al variare di in . Quindi l'orbita può essere scritta come il sottoinsieme dei laterali del sottogruppo .


Inversamente, se suppongo che ci sia un sottogruppo di ordine e considero i suoi laterali sinistri che sono un'orbita per l'azione, ad esso corrisponde una -orbita data da di lunghezza .


In conclusione: se ho un'orbita di lunghezza , essa è costituita dai laterali sinistri del sottogruppo di ordine di . Se esiste un sottogruppo di ordine , l'orbita ha lunghezza .


Si può costruire una biezione tra i sottogruppi di di ordine e le orbite di lunghezza .


Se immagino di avere un sottogruppo di di ordine , posso associargli l'orbita di tutti i laterali sinistri.


Lemma (232)

Supponiamo che esistano due sottogruppi distinti e di ordine , allora le orbite e associate sono distinte.

 
Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che l'orbita sia la stessa. Allora sta in e deve essere uguale a un elemento di , quindi dev'essere . Ma preso un laterale di un sottogruppo , questo è un sottogruppo solo se coincide con stesso. Allora l'unico elemento di che può essere uguale a è , e questa è una contraddizione perché per ipotesi .

 



Conseguenze: in forza di queste osservazioni, deduciamo che il numero delle -orbite su aventi lunghezza è uguale al numero dei sottogruppi di di ordine . (le orbite distinte di lunghezza corrispondono ai sottogruppi di ordine e sono tutte disgiunte).


La cardinalità di è congrua modulo alla somma delle cardinalità orbite di lunghezza . allora


Gruppi ciclici: Questa formula dev'essere vera per ogni gruppo , e quindi anche nel caso in cui è un gruppo ciclico finito.


Per questi gruppi il teorema di lagrange si inverte: se è ciclico, , perché per ogni divisore del gruppo esiste un unico sottogruppo che ha come ordine quel divisore, e dunque si ottiene

Conclusione: Considero quindi le due disuguaglianze:

quindi unendo le due congruenze per la proprietà transitiva:

semplificando per :

Primo teorema di Silow[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (233 $p$-sottogruppo di Sylow)

Sia un gruppo finito di ordine ove è un primo e ( è la massima potenza di che divide l'ordine del gruppo). Un sottogruppo di di ordine si dice -sottogruppo di Sylow di .

 



Dalla proposizione precedente segue come corollario il primo teorema di Sylow:


Corollario (234 Primo teorema di Sylow)

Per ogni primo ogni gruppo finito contiene i sottogruppi di Sylow e il numero dei -sottogruppi di Sylow è congruo a modulo .

 

Corollario di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra conseguenza della proposizione è il corollario di Cauchy.


Corollario (235 Corollario di Cauchy)

Se è un primo che divide l'ordine del gruppo , il gruppo contiene elementi di periodo (è il caso particolare in cui la potenza di che divide è ).

 


Definizione (236 $p$-gruppo)

Sia un primo. Un gruppo non necessariamente finito si dice -gruppo se ogni suo elemento ha come periodo una potenza di .

 


Esercizio (237)

Nel caso finito, un gruppo è un -gruppo se e solo se ha come ordine una potenza di .


Supponiamo che abbia come ordine una potenza di : allora è un -gruppo, perché ogni suo elemento ha come periodo un divisore dell'ordine di , cioè una potenza di .


Viceversa, se è un -gruppo, supponiamo che per assurdo non abbia come ordine una potenza di . Allora il suo ordine deve essere divisibile per un altro primo , ma per il corollario di Cauchy questo significca che contiene elementi di periodo diverso da una potenza di e quindi non sarebbe un -gruppo.

 

Secondo teorema di Sylow[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (238 Secondo teorema di Sylow)

Sia un gruppo finito e un primo. Allora:

  1. Se è un -gruppo di Sylow, e è un qualsiasi -sottogruppo di con ordine una potenza di , allora esiste un elemento

tale che sia contenuto nel coniugato . (ogni -sottogruppo di è contenuto in un -sylow, inoltre si può considerare come un sottogruppo del coniugato di )

  1. I -sottogruppi di Sylow di formano una classe di coniugio di sottogruppi di (un'orbita), in

particolare , dove è il numero dei -sottogruppi di Sylow.

 
Dimostrazione
  1. Consideriamo l'azione di per moltiplicazione a sinistra sui laterali sinistri di , cioè l'azione di sull'insieme .

definita ponendo per ogni , . In altre parole .


Si può verificare che è un'azione del -sottogruppo sui laterali sinistri di in .


Poiché è un -gruppo, la lunghezza di ogni -orbita dev'essere un divisore dell'ordine di e quindi una potenza di . (perché ogni ha periodo una potenza di ). D'altronde, poiché è un -Sylow di , il numero dei laterali sinistri di in è coprimo con (l'indice di un Sylow è uguale a ).


Ne segue che esiste almeno una -orbita su di lunghezza , ovvero esiste almeno un laterale sinistro di in tale che costituisca da solo un'orbita di lunghezza . Quindi per ogni , per ogni . Segue che per ogni . e quindi appartiene a .


Moltiplicando a destra per l'inverso di , appartiene a , cioè Sta nel coniugati di per ogni , quindi è contenuto in .

  1. Il punto 2 segue subito dall'1. Se prendo un sottogruppo dello stesso ordine di , allora è contenuto in qualche coniugato di e quindi è uguale a .

I -Sylow costituiscono un'intera -orbita.

 


Un -sottogruppo di Sylow è unico del suo ordine se e solo se è normale in .

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Se è un gruppo finito il cui ordine è dove è un divisore primo di e è primo con , allora esistono dei sottogruppi di ordine . Essi si chiamano -sottogruppi di Sylow. Il numero di questi sottogruppi è congruo a 1 modulo e divide l'indice di un P-Sylow, cioè divide .


Per il secondo teorema di Sylow, se è un sottogruppo di dove è una potenza di ( è un p-sottogruppo) allora esiste tale che dove è un P-Sylow di .


In particolare, i -sottogruppi di Sylow di sono tutti tra loro coniugati e formano una classe completa di coniugio di .


Se è un P-Sylow, allora perché ha ordine uguale a . Il numero esatto di sottogruppi di è uguale all'indice del normalizzante di in .


Consideriamo il gruppo . Supponiamo che sia finito. Si può provare che un campo finito ha necessariamente come ordine la potenza di un primo. Supponiamo che abbia ordine . Prendendo le matrici unitriangolari alte, esse formano un P-sottogruppo di Sylow.


Per determinare l'ordine di basta prendere tutte le matrici lineari: esse sono determinate univocamente dal fatto che presa una base, si decide quali immagini hanno i vettori della base. Se , l'immagine del primo vettore di una base fissata può essere scelta tra vettori (non il vettore nullo). Per il secondo si può scegliere tra vettori (vanno scartati i vettori linearmente dipendenti agli altri).

si raccoglie la massima potenza di p che divide il prodotto e quello che si ottiene è uguale all'ordine del sottogruppo delle matrici triangolari.

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