Sottogruppo generato da un sottoinsieme

Unione e intersezione di sottogruppi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo, e consideriamo una collezione non vuota di sottogruppi di : . L'intersezione insiemistica di sottogruppi è un sottogruppo, ma l'unione insiemistica no.


Proposizione (128)

Posto , l'intersezione è un sottogruppo.

 
Dimostrazione

L'intersezione soddisfa la definizione di sottogruppo, infatti:

  1. l'unità sta in ciascuno dei sottogruppi , quindi sta nell'intersezione.
  2. presi , devo garantire che sta in . Se sta in , deve stare in ciascuno degli . ma ogni è chiuso rispetto al prodotto, e stanno in ciascuno degli , quindi sta nell'intersezione.
  3. lo stesso vale per la chiusura rispetto agli inversi: se , allora , quindi siccome ogni è chiuso rispetto all'inversa si ha che e .
 



L'unione insiemistica di sottogruppi può non essere un sottogruppo. Ad esempio, presi i sottogruppi dei multipli di e dei multipli di sottoinsiemi del gruppo , l'unione insiemistica (), non è un sottogruppo. Se fosse un sottogruppo, essa dovrebbe essere chiusa rispetto alla somma e contenere anche , ma questo non avviene. Il sottogruppo dato dall'unione dei due sottogruppi è il sottogruppo dei multipli di , perché è il massimo comun divisore tra e e quindi si può scrivere come combinazione lineare . Il sottogruppo dei multipli di è l'intero ed è quindi diverso dall'unione insiemistica dei due sottogruppi generati da e da .

Sottogruppo generato da un insieme[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un qualsiasi sottoinsieme non vuoto di . Allora se considero la collezione di tutti e soli i sottoinsiemi di che contengono , questa collezione è non vuota perché di sicuro contiene . L'intersezione di tutti i sottogruppi di contenenti è per la proposizione precedente un sottogruppo di , che denotiamo con .


Osservazione (129)

Il sottogruppo contiene l'insieme .

 
Osservazione (130)

è contenuto in ogni sottogruppo di contenente l'insieme .


Rispetto all'inclusione insiemistica, è il "minimo" dei sottogruppi contenenti .

 


Definizione (131)

Diremo che è il sottogruppo di generato dal sottoinsieme .


Se in particolare coincide con l'intero gruppo , allora diremo che è l'insieme di generatori di .

 


Esercizio (132)

Caratterizzare il sottogruppo generato da in base ai suoi elementi.


Il sottogruppo generato da consiste di tutti e soli gli elementi di che si possono esprimere come prodotto di un numero finito di elementi di e di inversi di elementi di . In formule, questo sottogruppo

, dove è il numero dei fattori, gli sono elementi di e vale e a seconda che sto considerando un elemento o il suo inverso.


Per far vedere che consiste solo di tutti gli elementi di questa forma, basta mostrare che l'insieme degli elementi scritti a destra è un sottogruppo di che contiene e che è contenuto in ogni sottogruppo di che contiene .


verifica la definizione di sottogruppo:

  1. c'è l'unità, se pongo e ;
  2. presi due elementi di questo tipo, il prodotto è ancora un prodotto dello stesso tipo (chiusura rispetto al prodotto)
  3. L'inverso del prodotto è il prodotto degli inversi nell'ordine opposto ed è ancora un elemento di questa forma.


Verifico che contiene , perché per può essere uguale a un qualsiasi elemento di .


Prendo un qualsiasi sottogruppo di che contiene , e che chiamo . Allora contiene tutti gli elementi di , i loro prodotti e i loro inversi, perché è chiuso rispetto al prodotto e agli inversi.

 

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio (133)

Prendiamo il gruppo additivo degli interi relativi: fissato , consideriamo il caso in cui consista di un oggetto solo. Allora il sottogruppo generato da , è dato da cioè .

 
Esempio (134)

Sia allora consideriamo il sottogruppo generato da , che consiste di tutti gli elementi della forma , cioè gli interi che si possono scrivere come combinazioni lineari di e con interi. Tutti questi oggetti sono multipli di , quindi questo sottogruppo è contenuto nel sottogruppo degli elementi multipli di .


è M.C.D. tra e e per l'identità di Bézout esistono interi e tali che . Questo sottogruppo coincide col sottogruppo generato dal numero .


In generale, le argomentazioni non dipendono da e . Quindi si può dimostrare che se considero il sottogruppo generato da e da , esso coincide con il sottogruppo generato dal massimo comun divisore fra e (usando l'identità di Bezout).

 
Esempio (135)

rispetto alla somma coincide con il gruppo generato da e da , questi sono gli unici generatori singoli di .


Ogni sottogruppo di è generabile da un solo elemento.

 



L'unione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno è contenuto nell'altro (e quindi si ottiene il più grande dei due sottogruppi).

Sottogruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (136 Sottogruppo ciclico)

Sia un gruppo. Supponiamo che sia un sottoinsieme di che consiste del solo elemento . In questo caso il sottogruppo generato da si denota con e prende il nome di sottogruppo ciclico generato dall'elemento .


Se il sottogruppo ciclico generato da è l'intero gruppo, diremo che l'intero gruppo è un gruppo ciclico generabile dal singolo elemento .

 


Osservazione (137)

In notazione moltiplicativa, gli elementi di sono tutti gli elementi di che si possono scrivere come potenze di , cioè .


In notazione additiva si ha .

 

Ordine o periodo di un elemento[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (138 Ordine o periodo di un elemento)

Sia un elemento di . Se è finito di ordine , si dice che è l'ordine o periodo dell'elemento e si scrive . Se invece il sottogruppo ciclico generato da è infinito, si dice che ha periodo infinito.

 
Osservazione (139)

In un qualsiasi gruppo l'unità ha periodo , perché il sottogruppo generato dall'unità ha un solo elemento (l'unità ha come inverso sé stessa e moltiplicata per sé stessa è sempre l'unità).

 
Osservazione (140)

Consideriamo i gruppi additivi e e . L'unità è , ogni altro elemento ha periodo infinito.


In un gruppo infinito, oltre all'unità può succedere che ogni elemento abbia periodo infinito, ma può anche avvenire che alcuni elementi abbiano periodo finito.

 

Esempi sul periodo[modifica | modifica wikitesto]

Esempio (141)

Preso il gruppo costituito dai numeri complessi non nulli che chiamo , essi formano un gruppo moltiplicativo. Gli elementi di periodo finito sono le radici dell'unità mentre tutti gli altri elementi hanno periodo infinito.


Per ogni , gli elementi di periodo sono i numeri complessi dove è un intero relativo variabile tra e , cioè le radici n-esime dell'unità, ma solo quelle per cui è primo con , cioè .


Per , posso prendere tutte le potenze fino all'-esima per ottenere . Questo è un modello moltiplicativo per ogni gruppo ciclico di ordine . In termini additivi, questo equivale al gruppo additivo delle classi di resti modulo . Il gruppo delle radici -esime dell'unità nei complessi e quello delle classi di resto modulo sono isomorfi.

 


Esempio (142)

Se considero il gruppo moltiplicativo dei reali non nulli, gli elementi di periodo finito sono solo e , cioè le uniche radici -esime dell'unità.

 


Esercizio (143)

Preso il gruppo simmetrico e presa una permutazione di oggetti, calcolarne il periodo.


Se chiamo un elemento di , un modo per calcolarne il periodo è decomporla nel prodotto di cicli disgiunti, scriviamo quindi . Supponiamo che i cicli abbiano rispettivamente lunghezze . Si può provare che il periodo o ordine della permutazione è il minimo comune multiplo delle lunghezze di questi cicli .

 


Definizione (144 Minimo comune multiplo)

Presi due o più interi si dice minimo comune multiplo un intero che sia multiplo di tutti quanti e inoltre ogni altro intero che è multiplo di tutti quanti è divisibile per .

 

Nozione di potenza[modifica | modifica wikitesto]

Con la nozione di periodo di un elemento intendiamo più precisamente parlare della nozione di potenza, cioè della funzione di dominio e di codominio definita ricorsivamente associando a ogni l'elemento , dove ricorsivamente significa che e per ogni si ha e per ,


Non ci si aspetta che questa funzione sia iniettiva, ma potrebbe avvenire che per due elementi e si abbia .


Proposizione (145)
  1. Supponiamo che abbia periodo finito (). Allora è il minimo intero positivo tale che e gli elementi distinti del sottogruppo ciclico generato da sono l'unità ,

mentre coincide nuovamente con l'unità. Equivalentemente, se e solo se è congruo a modulo .

  1. se e solo se implica (cioè se e solo se la funzione potenza in base è iniettiva).
 
Dimostrazione

Se allora esistono sicuramente due interi tali che e tali che . Se moltiplico entrambi i membri di quest'uguaglianza per l'inverso di ottengo con .


Considero il minimo intero positivo tale che . Questo è possibile per il principio del buon ordinamento.


Principio del buon ordinamento per ogni fissato intero , ogni sottoinsieme non vuoto di tutti gli interi maggiori di ammette minimo.


Presi tutti gli interi tali che , C'è un minimo intero positivo con questa proprietà: sia il minimo intero positivo tale che sia ( è il minimo degli tali che ). Prendo una qualsiasi potenza che è un elemento di . Dividiamo per .

Segue che
Preso un qualsiasi elemento di che si scrive come , esso può assumere solo valori, compresi tra e .


L'ordine del sottogruppo ciclico generato da è minore o uguale di .


D'altronde, supponiamo che con . Allora (ho moltiplicato entrambi i membri per ). Questo è assurdo, perché e . Quindi ho un intero positivo minore di tale che . Questo va contro la scelta minimale di ( è il minimo intero per cui avviene che ).


Si conclude che gli elementi della forma sono a due a due distinti. Quindi sono esattamente elementi distinti e è l'ordine del sottogruppo ciclico generato da . Allora .


Supponiamo dapprima che . Quindi . Dividiamo per il periodo , quindi

. Si ha
. è il minimo intero positivo tale che , quindi l'unica possibilità è che . Quindi è divisibile per dunque si conclude che è congruo a modulo .


Vale viceversa: se è congruo a modulo , presi due interi generici allora esiste un intero tale che da cui . Quindi se si ha .


Se la funzione potenza in base è iniettiva, il gruppo ciclico generato da consiste di infiniti elementi, quindi .


Inversamente, supponiamo che l'ordine di sia infinito e supponiamo per assurdo che , con . Possiamo supperre senza perdere generalità . Se fosse si avrebbe , con . Ragionando come nel punto 1 si otterrebbe che il periodo di è al più , contro l'ipotesi che sia infinito.

 


Corollario (146)

Se ho un intero tale che , , allora è un multiplo del periodo di .

 
Dimostrazione

Sia un elemento di e supponiamo che ci sia un intero diverso da tale che . Se questo è vero, la funzione potenza in base non è iniettiva, perché e danno luogo allo stesso elemento. Allora l'ordine di è .


Dividiamo per e scriviamo

Allora riscrivo
e , ma è il periodo di , che è il minimo intero positivo tale che , siccome , allora se , necessariamente e , cioè .

 

Osservazioni conclusive[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (147)

Se è un elemento di periodo infinito e è un intero diverso da , la potenza ha anch'essa periodo infinito (da dimostrare in seguto).

 
Osservazione (148)

Se invece , per ogni il periodo di è esattamente uguale al quoziente tra e il massimo comun divisore tra e .

 
Osservazione (149)

In particolare, se genera un sottogruppo finito di ordine , allora i generatori del sottogruppo ciclico generato da sono tutti e soli gli elementi che come potenze di si esprimono nella forma , ove il massimo comun divisore tra e è .

 

Gruppo ciclico[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (150 Gruppo ciclico)

Un gruppo si dice ciclico quando contiene un elemento tale che il sottogruppo ciclico generato da coincide con l'intero gruppo.

 
Osservazione (151)

Un gruppo ciclico infinito è isomorfo al gruppo degli interi mentre per ogni numero naturale c'è un solo gruppo ciclico finito, dato dal gruppo additivo delle classi di resto modulo .

 
Esempio (152)

Il gruppo di interi relativi è ciclico infinito e i suoi generatori sono e .


Preso un naturale maggiore di , se considero , con l'operazione di somma di classi, questo gruppo è ciclico. Presa la classe essa si può scrivere come il multiplo dell'intero della classe . Quindi la classe genera. Il gruppo è generato dalle classi dove è primo con .

 
Esempio (153)

Il gruppo delle classi della relazione di congruenza modulo ha come generatori .


Infatti se considero ad esempio la classe di equivalenza considero i suoi multipli.

Compaiono le classi di equivalenza della relazione di congruenza modulo (e quindi l'intero gruppo ) e poi ricompare l'unità.

 
Osservazione (154)

Preso un gruppo ciclico, ogni sottogruppo è ancora ciclico.

 

Teorema di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (155 Teorema di Lagrange)

L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito dev'essere necessariamente un divisore dell'ordine del gruppo.

 


Nel caso di gruppi ciclici il teorema di Lagrange si inverte: per ogni divisore esiste ed è unico un sottogruppo che ha come ordine quel divisore.

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