Sottogruppo

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (86)

Supponiamo di avere un gruppo . Se si dice che è un sottogruppo del gruppo se sono soddisfatte le tre condizioni seguenti:

  1. è chiuso rispetto al prodotto definito su (cioè il prodotto tra due elementi di è ancora un elemento di );
  2. è chiuso rispetto agli inversi, cioè per ogni , l'elemento , che esiste in , è anch'esso un elemento di .
 


Osservazione (87)

Un sottogruppo è a sua volta un gruppo rispetto alla restrizione ad del prodotto definito su .


Inversamente ogni sottoinsieme di che sia chiuso rispetto al prodotto soddisfa le tre condizioni della definizione di gruppo.

 


Osservazione (88)

Un gruppo ammette sempre dei sottogruppi, almeno i sottoinsiemi banali, infatti il sottoinsieme formato dalla sola unità e il gruppo soddisfano la definizione di sottogruppo di .


Inoltre, un gruppo ammette solo sottogruppi banali se e solo se il numero di elementi è un numero primo ed è finito.

 


Definizione (89)

L'ordine di un gruppo è la cardinalità dell'insieme .

 

Criterio utile[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (90)

Per verificare se un sottoinsieme non vuoto di è un sottogruppo, è utile il seguente criterio: Sia non vuoto un sottoinsieme di un gruppo . è un sottogruppo se e solo se per ogni , .


Usando la notazione additiva, questa condizione diventa , cioè il sottogruppo è chiuso rispetto alla differenza.

 


Dimostrazione

Vale la doppia implicazione: Se è un sottogruppo, per ogni elemento , , ma per la proprietà 2 segue che comunque scelga un elemento e , il loro prodotto sta ancora in e quindi la condizione è soddisfatta.


Viceversa, supponiamo che sia un sottoinsieme non vuoto di , chiuso rispetto alla differenza. Devo mostrare che sono soddisfatte le condizioni della definizione di sottogruppo.

  1. Supponiamo che per ogni , . Per segue che . (condizione 1)
  2. Per , per ogni questa condizione dice che , (condizione 3);
  3. per ogni , poiché , se , l'inverso dell'inverso appartiene ad , quindi (condizione 2).
 


Esercizio (91)

Se considero un sottoinsieme finito di un gruppo e suppongo che sia chiuso rispetto al prodotto, allora è un sottogruppo di .

 


Dimostrazione (Svolgimento dell'esercizio precedente)

Siccome è non vuoto, sia un elemento di . Siccome per ipotesi il gruppo è chiuso rispetto al prodotto, tutte le potenze sono ancora elementi di . Al variare dell'esponente , la potenza è la funzione che a ogni elemento associa . Se questa applicazione fosse iniettiva, avrei infiniti elementi distinti che stanno in . Poiché è supposto finito, esistono interi positivi tali che (cioè esistono esponenti distinti per cui gli elementi rappresentabili con le potenze coincidono). Quindi, moltiplicando per ottengo e per le proprietà delle potense . Ho due possibilità: , questo corrisponde al fatto che , allora l'uguaglianza dice che è l'unità di , quindi contiene l'unità. Sia , ovvero . Se , con , posso riscriverlo come . Quindi , quindi preso un elemento di il suo inverso essendo una potenza di sta ancora in . Da cui infine, se sta in allora il sottogruppo contiene l'unità.

 
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